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Lineare Optimierung: Ebene
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:47 So 08.04.2018
Autor: sancho1980

Hallo

ich habe gerade ein Verständnisproblem. Ich will es nicht vollständig aufschreiben, da das schwer zu beschreiben ist. Aber sagen wir mal so:

Das was ich verstehen will, beruht auf der Annahme, dass alle Vektoren

[mm] \vektor{a \\ b \\ 180 - 4a - 3b}, \vektor{c \\ d \\ 180 - 4c - 3d}, \vektor{x \\ y \\ 180 - 4x - 3y} [/mm]

eine Ebene bilden, also linear abhängig sind.

Im Prinzip hadere ich beim Verständnis der Aussage, dass bei der linearen Optimierung (Simplex) die Minima bzw. Maxima nur an den Eckpunkten angenommen werden können, da sich sämtliche Punkte auf einer Ebene befinden, die Vektoren also linear abhängig sind. Im Prinzip lande ich ja bei folgendem Gleichungssystem:

[mm] k_1 \vektor{a \\ b \\ 180 - 4a - 3b} [/mm] + [mm] k_2 \vektor{c \\ d \\ 180 - 4c - 3d} [/mm]  + [mm] k_3 \vektor{x \\ y \\ 180 - 4x - 3y} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm]

Wie kann man am einfachsten allgemein zeigen, dass es ein [mm] k_1, k_2, k_3 [/mm] gibt, dass ungleich null ist?

Gruß und danke,

Martin

        
Bezug
Lineare Optimierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:06 So 08.04.2018
Autor: Diophant

Hallo,

zu deinen Vektoren kann ich aus Zeitgründen gerade nichts sagen (auch halte ich die Methode nicht für sonderlich sinnvoll, da es auf das Lösen des LGS hinausläuft).

> Im Prinzip hadere ich beim Verständnis der Aussage, dass
> bei der linearen Optimierung (Simplex) die Minima bzw.
> Maxima nur an den Eckpunkten angenommen werden können, da
> sich sämtliche Punkte auf einer Ebene befinden,....

Diese Aussage ist ja so auch streng genommen falsch. Bleiben wir mal im Dreidimensionalen, dann wird so ein Simplex durch ebene Flächen begrenzt, diese wiederum durch Strecken, die in den Eckpunkten aufeinandertreffen.

Die Zielfunktion bei der linearen Optimierung ist stets eine Hyperebene im betrachteten Raum, hier also eine Ebene. Diese Ebene wird ja so lange parallel nach oben verschoben, bis sie nicht mehr durch das Innere des Simplex verläuft.

Im allgemeinen wird dieser Zustand dann erreicht sein, wenn die Ebene der Zielfunktion durch eine Ecke geht. Was aber, wenn diese Ebene parallel zu einer Simplex-Kante, oder gar einer Seitenfläche ist?

Dann wären im ersten Fall alle Punkte auf der fraglichen Kante optimale Lösungen, im zweiten Fall sogar alle Punkte auf der fraglichen Seitenfläche.

In der Praxis kommt das selten bis gar nicht vor, wegen der 'schrägen' Zahlen, die man da i.a. hat.

In Übungsaufgaben tauchen solche Lösungen aber immer mal wieder auf.

Vielleicht hilft dir dieser Gedanke ja schon ein Stück weiter?


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Lineare Optimierung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:02 So 08.04.2018
Autor: sancho1980


> > Im Prinzip hadere ich beim Verständnis der Aussage, dass
>  > bei der linearen Optimierung (Simplex) die Minima bzw.

>  > Maxima nur an den Eckpunkten angenommen werden können,

> da
>  > sich sämtliche Punkte auf einer Ebene befinden,....

>  
> Diese Aussage ist ja so auch streng genommen falsch.
> Bleiben wir mal im Dreidimensionalen, dann wird so ein
> Simplex durch ebene Flächen begrenzt, diese wiederum durch
> Strecken, die in den Eckpunkten aufeinandertreffen.

Wieso ist das falsch? Wenn die Vektoren im [mm] R^3 [/mm] eine Ebene aufspannen, dann müssen sie doch linear abhängig sein Ich habe das genannte Gleichungssystem nach [mm] k_1, k_2 [/mm] und [mm] k_3 [/mm] aufgelöst, mit dem Ergebnis [mm] k_1 [/mm] = [mm] k_2 [/mm] = [mm] k_3 [/mm] = 0. Irgendwie ist mir das alles ein Rätsel :-(

Bezug
                        
Bezug
Lineare Optimierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:08 So 08.04.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Wieso ist das falsch? Wenn die Vektoren im [mm]R^3[/mm] eine Ebene
> aufspannen, dann müssen sie doch linear abhängig sein Ich
> habe das genannte Gleichungssystem nach [mm]k_1, k_2[/mm] und [mm]k_3[/mm]
> aufgelöst, mit dem Ergebnis [mm]k_1[/mm] = [mm]k_2[/mm] = [mm]k_3[/mm] = 0. Irgendwie
> ist mir das alles ein Rätsel :-(

ich hatte doch geschrieben, dass ich zu deiner Überlegung mit den Vektoren nicht antworte (aus Zeitgründen, deshalb habe ich die Frage ja auch auf 'teilweise beantwortet' belassen).

Falsch ist die Aussage, dass ein Maximum der Zielfunktion stets in einer Ecke des Simplex liegen muss. Das stimmt nur für den Fall, dass es eine eindeutige Lösung gibt.


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Lineare Optimierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:06 So 08.04.2018
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo
> .......
> .......  
> Das was ich verstehen will, beruht auf der Annahme, dass
> alle Vektoren
>  
> [mm]\vektor{a \\ b \\ 180 - 4a - 3b}, \vektor{c \\ d \\ 180 - 4c - 3d}, \vektor{x \\ y \\ 180 - 4x - 3y}[/mm]

> ... da sich sämtliche Punkte auf einer Ebene befinden, die
> Vektoren also linear abhängig sind. Im Prinzip lande ich
> ja bei folgendem Gleichungssystem:
>  
> [mm]k_1 \vektor{a \\ b \\ 180 - 4a - 3b}\ +\ k_2 \vektor{c \\ d \\ 180 - 4c - 3d}\ +\ k_3 \vektor{x \\ y \\ 180 - 4x - 3y}\ = \ \vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  
> Wie kann man am einfachsten allgemein zeigen, dass es ein
> [mm]k_1, k_2, k_3[/mm] gibt, das ungleich null ist?
>  
> Gruß und danke,
>  
> Martin

*****************************************************************

Hallo Martin,

ohne auf das zugrunde liegende Problem im Bereich der linearen
Optimierung einzugehen, möchte ich nur mal in geometrischer
Sicht etwas klarstellen - bzw. nachfragen, was du denn mit deinen
Vektoren hier genau meinst.

Im dreidimensionalen Raum [mm] \IR^3 [/mm]  wird durch 3 beliebige Punkte
P,Q,R (beschrieben durch ihre jeweiligen Ortsvektoren [mm] \vec{P}, \vec{Q}, \vec{R}) [/mm] ,
welche nicht alle auf einer Geraden liegen, ein Dreieck PQR und
damit auch eine Ebene E aufgespannt.

Daraus, dass durch die 3 Punkte P,Q,R  eine Ebene E festgelegt wird,
darf man aber keineswegs schließen, dass etwa die 3 Ortsvektoren
[mm] \vec{P}, \vec{Q}, \vec{R} [/mm]  linear abhängig sein müssten !

Dieser Schluss wäre nur zuläßig, wenn zusätzlich noch die Infor-
mation vorläge, dass die besagte Ebene den Koordinatenursprung
O(0|0|0) enthalten muss.

Für die weitere Verfolgung des Themas wäre es wohl nützlich, wenn
du uns die Details des Optimierungsproblems und die Rolle, welche
die angegebenen Vektoren darin spielen sollen, erklären würdest.

LG ,   Al-Chwarizmi  



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