matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Lineare AlgebraLineare Optimierung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Uni-Lineare Algebra" - Lineare Optimierung
Lineare Optimierung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Lineare Optimierung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:11 Sa 20.12.2003
Autor: pete

Hallo!

Ich habe einen Sachverhalt schon in die Normalform gebracht, um mit Hilfe der Basistransformation nach dem Simplex-Algorithmus den Gewinn zu optimieren.

Ich habe 108 Geldeinheiten heraus.
Ich bin mir aber nicht sicher. Ist das richtig? (Kommen eventuell mehrere Lösungen für x1 und x2 heraus?)

Die Normalform:

z= 6*x1 + 4*x2 + 0*(x3+x4+x5+x6+x7) =>wird maximiert

3*x1 + x2+ x3 =18
2*x1 + 4*x2 + x4 = 40
3*x1 + 2*x2 + x5 = 24
x1 + x6 = 6
x2 + x7 = 4

Ich bin beim Rechnen durcheinander gekommen, weil ich schon in meiner ersten Tabelle 2 mal den Quotienten 6 hatte. Ich wusste nicht welchen ich nehmen muss, um das nächste Hauptelement zu bestimmen...

Ich bin mir dabei sehr unsicher.

Grüsse
Pete

        
Bezug
Lineare Optimierung: falsche Angabe!!! => zuerst lesen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:52 Sa 20.12.2003
Autor: pete

Die letzten beiden Zeilen waren zu viel und entsprachen nicht der Aufgabenstellung.:

Die Normalform:

z= 6*x1 + 4*x2 + 0*(x3+x4+x5+x6+x7) =>wird maximiert

3*x1 + x2+ x3 =18
2*x1 + 4*x2 + x4 = 40
3*x1 + 2*x2 + x5 = 24

Das ist die richtige Normalform.

Bezug
                
Bezug
Lineare Optimierung: / Simplex-Algorithmus
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:45 So 21.12.2003
Autor: Marc

Hallo pete,

ich rechne es mal nach:

[mm] z=6x_1+4x_2 \to \max[/mm]

[mm] \begin{array}{rrrrrrrr} 3x_1 & +x_2 & +x_3 & & & = & 18 \\ 2x_1 & +4x_2 & & +x_4 & & = & 40 \\ 3x_1 & +2x_2 & & &+x_5 & = & 24 \\ \end{array}[/mm]

Daraus mache ich das Anfangs-Simplex-Tableau:
[mm] z=6x_1+4x_2[/mm]
[mm] \Leftrightarrow z-6x_1-2x_2 = 0 [/mm]

[mm] \begin{array}{c|ccccc|c|c} z & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 &\mbox{r.S.}&\mbox{Quotient} \\ \hline 0 & \framebox{$3$} & 1 & 1 & 0 & 0 & 18 & 18/3\\ 0 & 2 & 4 & 0 & 1 & 0 & 40 & 40/2\\ 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1 & 24 & 24/3\\ \hline 1 & -6 & -4 & 0 & 0 & 0 & 0 & \end{array} [/mm]

Die Pivotspalte ist die [mm]x_1[/mm]-Spalte, da in ihr das kleinste Element (-6) der Zielfunktionszeile steht.
Der kleinste nichtnegative Quotient aus der rechten Seite (r.S.) und der Pivotspalte ist nun in der 1. Zeile zu finden (=Pivotzeile), also ist 3 das Pivotelement (umrandet).

[mm] \begin{array}{c|ccccc|c|c} z & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 &\mbox{r.S.}&\mbox{Quotient} \\ \hline 0 & 1 & 1/3 & 1/3 & 0 & 0 & 6 & 18\\ 0 & 0 & 10/3 & -2/3 & 1 & 0 & 28 & 8\frac{2}{5}\\ 0 & 0 & \framebox{$1$} & -1 & 0 & 1 & 6 & 6 \\ \hline 1 & 0 & -2 & 2 & 0 & 0 & 36 & \end{array} [/mm]

Pivotspalte und -zeile finde ich wie oben auch, das Pivotelement ist wieder markiert.

[mm] \begin{array}{c|ccccc|c|c} z & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 &\mbox{r.S.}& \\ \hline 0 & 1 & 0 & 2/3 & 0 & -1/3 & 4 &\\ 0 & 0 & 0 & 2 \frac{2}{3} & 1 & -10/3 & 8 & \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 6 & \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 48 & \end{array} [/mm]

Hier endet der Simplex-Algorithmus, da die Zielfunktionszeile nur nicht-negative Zahlen enthält.

Damit haben wir: Das Maximum ist [mm]z_{\max}=48[/mm], und es gilt:
[mm] z+2x_5 = 48 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow z=48-2x_5 [/mm]

Die Basisvariablen sind [mm] x_1,x_2,x_4 [/mm] (das sind die Spalten mit den Einheitsvektoren)

Die maximale zulässige Basislösung lautet:

[mm] (4; 6; 0; 8; 0) [/mm]

und damit liegt das Maximum in dem Punkt:

[mm] (4; 6) [/mm]

Eine hervorragende Darstellung des Simplex-Algorithmus findet sich übrigens hier:
Simplex-Algorithmus, du wirst sehen, dass ich mich bei meiner Antwort an dieser Seite orientiert habe (ist schließlich schon etwas her, dass ich das an der Uni hatte ;-))

So, ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet und konnte dir weiterhelfen.

Schönen stürmischen 4. Advent,
Marc


Bezug
                        
Bezug
Lineare Optimierung: / Simplex-Algorithmus
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:13 Mi 02.06.2004
Autor: Hugibaz

Der Simplex-Algorithmus ist mein Lieblings-Algorithmus.

Warum? Weil er mich durch's Studium gebracht hat.

Nicht dass ich meine Aufwände durch lineare Optimierung sehr viel
effektiver gestalten konnte, viel mehr war es so, dass meine erste
Vordiploms-Mathe-Prüfung ein einziges Fiasko war, denn ich wußte
sehr wenig bis gar nichts.

Da allerdings alle Unterlagen mitgebracht werden durften, konnte
ich die erste Aufgabe (l.O. mit Simplex-Algorithmus) etwa nach 3
Stunden vollenden.

Die zweite Aufgabe erschien mir auch machbar, aber hier war ich mir
nicht sicher ob ich richtig läge.

Die anderen 6 Aufgaben habe ich nicht verstanden, Analysis sowieso
gleich mal ad acta gelegt.

So habe ich denn nach vier Stunden mit zwei bearbeiteten Aufgaben
und einer angefangenen dritten zwei beschriebene Seiten Papier
abgegeben, und der einsammelnde Mensch hat sehr mitleidig ge-
lächelt.

Tja, wer zuletzt lacht.... ich war einer von <50%, die die Prüfung be-
standen hatten. Mit 4,0 - klar... aber durch.

Das hat mir dann überhaupt den Kick gegeben das Studium durchzu-
ziehen. Auch wenn's am Ende dann doch 10 Jahre gedauert hat.

Grüße, Hugibaz

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]