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Lineare Optimierung Simplex: Aufstellen des Modells
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:03 Sa 13.08.2016
Autor: Hoffmann79

Aufgabe
Die Produktion einen Erzeugnisses erfolgt auf einer Spitzendrehbank (Verfahren A). Die fixen Kosten belaufen sich auf  45.000€ und die variablen Kosten pro Stück auf 45€. Die bisherige Absatzmenge beträgt 4.000 Stück bei einem Verkaufspreis von 55€ pro Stück. Nach derzeitigen Absatzmöglichkeiten und vorhandener Kapazität könnten 5.000 Stück produziert und verkauft werden.
Die Absatzlage würde es sogar erlauben, die Kapazität auszuweiten, zumal ein anderes Unternehmen daran interessiert ist, verbindlich 10.000 Stück im Jahr zu einem Preis von 40€ pro Stück abzunehmen. Diese Absatzmenge würde eine Zusatzinvestition für die Anschaffung einer Spezialrevolverdrehbank (Verfahren B) erfordern. Dadurch fielen weitere Fixkosten in Höhe von 90.000€ und variable Stückkosten von 30€ an. Die Maschine verfügt über eine Kapazität von 12.000 Stück.

Wie muss der Betrieb die beiden Maschinen  bei 15.000 Stück Absatz auslasten, wenn er seinen Höchstgewinn erzielen will und  wie hoch ist dieser?

a) Formulieren Sie das mathematische Modell!
b) Lösen Sie das LO-Problem grafisch!
c) Lösen Sie das LO-Problem mit Hilfe des Simplexalgorithmus!

Hallo,
ich habe so meine Probleme aus den Sachaufgaben das entsprechende Modell zu formulieren, was ja die Basis für die spätere Lösung bildet.

Aus der Aufgabe entnehme ich bisher:

Verfahren A:
- fixe Kosten 45.000,-€
- variable Kosten/Stk. 45,-€
- Absatzmenge bisher 4.000 Stk.
- VK-Preis 55,-€/Stk.
- max. Produktionsmenge 5.000

Verfahren B:
- fixe Kosten 90.000,-€
- variable Kosten/Stk. 30,-€
- Absatzmenge bisher 10.000 Stk.
- VK-Preis 40,-€/Stk.
- max. Produktionsmenge 12.000

Hier fehlt mir der Ansatz die Gleichungen aufzustellen. Maximiert werden soll der Gewinn, das geht aus der Aufgabe hervor. Die fixen Kosten spielen wohl keine Rolle, da unveränderbar.

[mm] x_{1} [/mm] ... variable Stückkosten
[mm] x_{2} [/mm] ... VK-Preis/Stk.
[mm] x_{3} [/mm] ... Absatzmenge


[mm] 45x_{1} [/mm] + [mm] 55x_{2} [/mm] + [mm] 4000x_{3} \le [/mm] 5000
[mm] 30x_{1} [/mm] + [mm] 40x_{2} [/mm] + [mm] 10000x_{3} \le [/mm] 12000
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} \le [/mm] 5000
z = [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} \to [/mm] max

        
Bezug
Lineare Optimierung Simplex: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:32 Mo 15.08.2016
Autor: meili

Hallo,

> Die Produktion einen Erzeugnisses erfolgt auf einer
> Spitzendrehbank (Verfahren A). Die fixen Kosten belaufen
> sich auf  45.000€ und die variablen Kosten pro Stück auf
> 45€. Die bisherige Absatzmenge beträgt 4.000 Stück bei
> einem Verkaufspreis von 55€ pro Stück. Nach derzeitigen
> Absatzmöglichkeiten und vorhandener Kapazität könnten
> 5.000 Stück produziert und verkauft werden.
> Die Absatzlage würde es sogar erlauben, die Kapazität
> auszuweiten, zumal ein anderes Unternehmen daran
> interessiert ist, verbindlich 10.000 Stück im Jahr zu
> einem Preis von 40€ pro Stück abzunehmen. Diese
> Absatzmenge würde eine Zusatzinvestition für die
> Anschaffung einer Spezialrevolverdrehbank (Verfahren B)
> erfordern. Dadurch fielen weitere Fixkosten in Höhe von
> 90.000€ und variable Stückkosten von 30€ an. Die
> Maschine verfügt über eine Kapazität von 12.000 Stück.
>  
> Wie muss der Betrieb die beiden Maschinen  bei 15.000
> Stück Absatz auslasten, wenn er seinen Höchstgewinn
> erzielen will und  wie hoch ist dieser?
>  
> a) Formulieren Sie das mathematische Modell!
>  b) Lösen Sie das LO-Problem grafisch!
>  c) Lösen Sie das LO-Problem mit Hilfe des
> Simplexalgorithmus!
>  Hallo,
>  ich habe so meine Probleme aus den Sachaufgaben das
> entsprechende Modell zu formulieren, was ja die Basis für
> die spätere Lösung bildet.
>  
> Aus der Aufgabe entnehme ich bisher:
>  
> Verfahren A:
> - fixe Kosten 45.000,-€
>  - variable Kosten/Stk. 45,-€
>  - Absatzmenge bisher 4.000 Stk.
>  - VK-Preis 55,-€/Stk.
>  - max. Produktionsmenge 5.000
>  
> Verfahren B:
>  - fixe Kosten 90.000,-€
>  - variable Kosten/Stk. 30,-€
>  - Absatzmenge bisher 10.000 Stk.
>  - VK-Preis 40,-€/Stk.
>  - max. Produktionsmenge 12.000
>  

Ok, hier hast du die Fakten und Zahlen zusammengestellt.


> Hier fehlt mir der Ansatz die Gleichungen aufzustellen.
> Maximiert werden soll der Gewinn, das geht aus der Aufgabe
> hervor. Die fixen Kosten spielen wohl keine Rolle, da
> unveränderbar.

Ja, der Gewinn soll maximiert werden.
Die fixe Kosten spielen insofern eine Rolle, dass der Gewinn möglichst
positiv sein soll, und die fixen Kosten auch aufgebracht werden müssen.

>  
> [mm]x_{1}[/mm] ... variable Stückkosten
>  [mm]x_{2}[/mm] ... VK-Preis/Stk.
>  [mm]x_{3}[/mm] ... Absatzmenge

Diese Variablen finde ich nicht so gut.
Die Frage ist, wieviel Stück sollen mit Verfahren A und wieviel Stück mit
Verfahren B produziert werden, wenn insgesamt 15.000 Stück produziert werden sollen
und der Gewinn maximal werden soll. Dabei gibt es noch
Einschränkungen wieviel Stück mit jedem Verfahren maximal produziert
werden können.

Also hat man 2 Variable, z.B.:
[mm] $x_A$: [/mm] Stückzahl, die mit Verfahren A produziert werden
[mm] $x_B$: [/mm] Stückzahl, die mit Verfahren B produziert werden

Wie berechnet sich der Gewinn?
Gewinn = Erlös - Kosten

$G = [mm] x_A*55+x_B*40-45.000-90.000-x_A*45-x_B*30 \to$ [/mm] max
Nebenbedingungen:
$0 [mm] \le x_A \le [/mm] 5.000$
$0 [mm] \le x_B \le [/mm] 12.000$
[mm] $x_A+x_B [/mm] = 15.000$

Die Gewinngleichung lässt sich noch etwas zusammenfassen:
$G = [mm] 10*x_A+10*x_B-135.000$ [/mm]

und mit der umgeformten 3. Nebenbedingungsgleichung  
[mm] $x_B [/mm] = [mm] 15.000-x_A$ [/mm]

eingesetzt
$G = [mm] 10*x_A+10*(15.000-x_A)-135.000 [/mm] = 150.000-135.000 = 15.000$

Da frag ich mich, ob die Zahlen von Verkaufspreisen und Variablenkosten
so stimmen.
Denn wenn das der Fall ist, ist der maximale Gewinn erreicht,
wenn $3.000 [mm] \le x_A \le [/mm] 5.000$ und [mm] $x_B [/mm] = 15.000 - [mm] x_A$ [/mm] entsprechend.

Nachtrag:
Für 10.000 Stück gibt es eine Absatzusage für 40 € pro Stück, also sollten
diese auch mit Verfahren B produziert werden, da bei Verfahren A die
variablen Kosten pro Stück schon 45 € betragen. Wenn man aber die
restlichen 5.000 Stück für 55 € verkaufen kann, egal ob mit Verfahren A
oder B produziert, muss man das Modell anpassen.

$G = [mm] 10.000*40+5.000*55-45.000-90.000-45*x_A-30*x_B$ [/mm]
$G = [mm] 540.000-45*x_A-30*x_B \to$ [/mm] max
Nebenbedingungen:
$0 [mm] \le x_A \le [/mm] 5.000$
$10.000 [mm] \le x_B \le [/mm] 12.000$
[mm] $x_A+x_B [/mm] =15.000$

Mit der 3. Nebenbedingung in die Gewinngleichung eingesetzt:
$G = -135.000 + [mm] 15*x_B \to$ [/mm] max
Nebenbedingungen:
$0 [mm] \le x_A \le [/mm] 5.000$
$10.000 [mm] \le x_B \le [/mm] 12.000$
[mm] $x_A+x_B [/mm] =15.000$

>  
>
> [mm]45x_{1}[/mm] + [mm]55x_{2}[/mm] + [mm]4000x_{3} \le[/mm] 5000
>  [mm]30x_{1}[/mm] + [mm]40x_{2}[/mm] + [mm]10000x_{3} \le[/mm] 12000
>  [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3} \le[/mm] 5000
>  z = [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3} \to[/mm] max

Gruß
meili


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