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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 Fr 30.10.2015 | | Autor: | Physis |
| Aufgabe | Seien $x,y [mm] \in \IQ$ [/mm] gegeben, also $x = [mm] \bruch{a}{b}$ [/mm] und [mm] $y=\bruch{c}{d}$ [/mm] mit $a,c [mm] \in \IZ$ [/mm] und $b,d [mm] \in \IN \backslash \{0\}$. [/mm] Setze dann
$x [mm] <_\IQ [/mm] y [mm] \gdw [/mm] ad [mm] <_\IZ [/mm] bc.$
Hierbei bezeichne [mm] $<_\IZ$ [/mm] die auf den ganzen Zahlen wohlbekannte Ordnung.
(1) Zeigen Sie, dass [mm] $<_\IQ$ [/mm] wohldefiniert ist, das heißt, dass die Beziehung $x [mm] <_\IQ [/mm] y$ nicht von der konkreten Bruchdarstellung von $x$ und $y$ abhängt.
(2) Zeigen Sie, dass die Struktur [mm] $(\IQ, <_\IQ)$ [/mm] einen angeordneten Körper darstellt. |
Hallo,
ich werde mich erstmal nur mit der ersten Teilaufgabe beschäftigen. Meine Frage ist, ob meine Vorgehensweise richtig ist. Ich habe angenommen, dass die Ordnungsaxiome für [mm] $\IQ$ [/mm] gelten müssten, auch wenn [mm] $\bruch{a}{b} [/mm] = [mm] \bruch{a'}{b'}$ [/mm] sowie [mm] $\bruch{c}{d} [/mm] = [mm] \bruch{c'}{d'}$. [/mm] Ich fange einfach mal an, obwohl ich mir nicht sicher bin, ob das, was ich mache, zulässig ist.
Damit [mm] $<_\IQ$ [/mm] eine lineare Ordnung ist, müssen die folgenden drei Punkte erfüllt sein:
1) Irreflexivität:
$ x [mm] \not< [/mm] x [mm] \Rightarrow$ $\bruch{a'}{b'} \not< \bruch{a'}{b'}$ $\Rightarrow [/mm] ab = a'b' [mm] \not< [/mm] a'b' = ab $, was wegen der Annahme in der Aufgabe wahr ist.
2) Transitivität:
$x < y [mm] \wedge [/mm] y < z [mm] \Rightarrow [/mm] x < z$. Hieraus folgt [mm] $\bruch{a'}{b'} [/mm] < [mm] \bruch{e'}{f'}$ [/mm] mit $z = [mm] \bruch{e}{f} [/mm] = [mm] \bruch{e'}{f'}$. [/mm] Also gilt $af = a'f' < b'e' = be$, was wiederum wegen der Annahme in der Aufgabenstellung wahr ist.
3) Linearität:
$x < y [mm] \vee [/mm] x = y [mm] \vee [/mm] y < x$. Hier weiß ich nun nicht, ob ich die einzelnen Fälle gesondert betrachten muss, oder ob ich etwas Anderes beweisen muss. Vielleicht kann hier jemand auch noch etwas drüber sagen.
So, erstmal bis hier hin. Vielen Dank schon mal :)
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:46 So 01.11.2015 | | Autor: | Physis |
Es wurde eine Formel aus irgendeinem Grund nicht richtig angezeigt. Ich hab es nun hinbekommen, dass sie korrekt in LaTeX erscheint. Ich bitte um Hilfe :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:33 Mo 02.11.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Wo ist denn 1), also dass die Definition wohldefiniert ist? Damit würde ich anfangen:
Sei [mm] x=\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}, [/mm] y= [mm] \frac{c_1}{d_1}=\frac{c_2}{d_2} [/mm] jeweils zwei verschiedene Darstellungen von x,y [mm] \in \mathbb{Q}.
[/mm]
D.h. [mm] a_1 b_2 [/mm] = [mm] a_2 b_1 [/mm] und [mm] c_1 d_2 =c_2 d_1
[/mm]
Sei nun [mm] a_1 d_1 <_{\mathbb{Z}} b_1 c_1
[/mm]
ZZ.: [mm] a_2 d_2 <_{\mathbb{Z}} b_2 c_2
[/mm]
Beweis: [mm] 0<_{\mathbb{Z}} b_2, 0<_{\mathbb{Z}}d_2 [/mm] nach Definition
[mm] a_1 d_1 <_{\mathbb{Z}} b_1 c_1 [/mm] multipliziere mit [mm] b_2 [/mm] und anschließend mit [mm] d_2 [/mm]
[mm] \iff a_1 d_1 b_2 d_2 <_{\mathbb{Z}} b_1 c_1 b_2 d_2 [/mm] nutze [mm] a_1 b_2 [/mm] = [mm] a_2 b_1 [/mm] und [mm] c_1 d_2 =c_2 d_1 [/mm]
[mm] \iff a_2 b_1 d_1 d_2 <_{\mathbb{Z}} c_2 d_1 b_1 b_2
[/mm]
[mm] \iff a_2 d_2 <_{\mathbb{Z}} d_1 b_1
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
Dein Beitrag zur Transitivität versteht man so nicht,auch wenn du dir vlt. das richtige gedacht hast:
Sei [mm] x=\frac{a}{b}\in \mathbb{Q}, [/mm] y= [mm] \frac{c}{d}\in \mathbb{Q}, z=\frac{e}{f} \in \mathbb{Q} [/mm] mit
x<y und y<z. D.h. [mm] ad<_{\mathbb{Z}}bc [/mm] und [mm] cf<_{\mathbb{Z}}de
[/mm]
ZZ.: x<z, d.h. [mm] af<_{\mathbb{Z}}be
[/mm]
Beweis: Wegen [mm] 0<_{\mathbb{Z}}b, 0<_{\mathbb{Z}}f [/mm] gilt [mm] bcf<_{\mathbb{Z}}bde [/mm] und [mm] adf<_{\mathbb{Z}}bcf
[/mm]
Nun verwendest du die Transitivität von [mm] <_{\mathbb{Z}} [/mm] und kommst damit auf:
adf [mm] <_{\mathbb{Z}} [/mm] bde
[mm] \Rightarrow [/mm] af < be
[mm] \Box
[/mm]
Irreflexivität ist auch etwas konfus aufgeschrieben(einmal Striche einmal keine) aber mit den richtigen Gedanken. Aber ja es folgt sofort aus der Irreflexivität von [mm] <_{\mathbb{Z}}.
[/mm]
Ich denke damit hast du eine gute Idee wie die Beweise ausschauen.
Was fehlt dir also noch zu beweisen um eine lineare Ordnung zu erhalten? Wie ist die Definition von einen angeordnten Körper?
LG,
sissi
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:25 Mo 02.11.2015 | | Autor: | Physis |
Hallo,
danke für deine Hilfe :) Mir ist nicht klar gewesen, dass man scheinbar nicht verstanden hat, was ich meinte. Dann bitte gerne einfach kurz mitteilen (geht nicht an dich, sondern generell :) ).
Ich habe noch mal darüber nachgedacht und würde meinen (neuen) Lösungsansatz gerne erst mal präsentieren, weil er wesentlich kürzer ist als der, den ich vorher gepostet hatte. Sollte der sich als falsch rausstellen, mach ich da weiter, wo ich aufgehört habe und wo du mir geholfen hast.
Also, seien $x = [mm] \bruch{a}{b} [/mm] = [mm] \bruch{K\cdot a'}{K\cdot b'}$ [/mm] und $y = [mm] \bruch{c}{d} [/mm] = [mm] \bruch{L\cdot c'}{L\cdot d'}$ [/mm] mit $0 [mm] \not= [/mm] K, L [mm] \in \IZ$. [/mm] Dann schreibe ich:
[mm] $\bruch{Ka'}{Kb'} [/mm] < [mm] \bruch{Lc'}{Ld'}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow KL\cdot [/mm] a'b' < [mm] KL\cdot [/mm] c'd'$, mit $| [mm] \cdot \bruch{1}{KL}$ [/mm] multiplizieren
[mm] $\Rightarrow [/mm] a'd' < c'd'$,
was aufgrund der Annahme $x [mm] <_\IQ [/mm] < [mm] \gdw [/mm] ad [mm] <_\IZ [/mm] bc$ wahr ist. Damit haben wir die Wohldefiniertheit von [mm] $<_\IQ$ [/mm] gezeigt (im besten Falle).
> Was fehlt dir also noch zu beweisen um eine lineare
> Ordnung zu erhalten? Wie ist die Definition von einen
> angeordnten Körper?
Da wir ja wissen, dass [mm] $<_\IZ$ [/mm] eine lineare Ordnung ist, stellt aufgrund der Annahme in der Aufgabe [mm] $<_\IQ$ [/mm] auch eine lineare Ordnung dar. Nun haben wir in der Vorlesung noch zwei Axiome genannt, die (neben den Körperaxiomen und den Ordnungsaxiomen) benötigt werden, um einen angeordneten Körper zu erhalten, nämlich:
1) $x, y > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] xy > 0$ für alle $x$ und $y$ und
2) $x < y [mm] \Rightarrow [/mm] x + z < y + z$ für alle $x, y$ und $z$.
Zu 1):
Seien [mm] $\bruch{a}{b}, \bruch{c}{d} [/mm] > 0$. Dann muss gelten, dass $a$ und $b$ bzw. $c$ und $d$ entweder alle positiv oder alle negativ sind, oder dass entweder $a,b$ oder $a,c$ negativ sind.
Sind alle Zahlen positiv, dann folgt ganz einfach, dass [mm] $\bruch{ac}{bd} [/mm] > 0$ aus der linken Seite in 1). Sind beide negativ, folgt
[mm] $\bruch{(-a)(-c)}{(-b)(-d)} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{-1}\cdot \bruch{-1}{-1} \cdot \bruch{ac}{bd} [/mm] = [mm] 1\cdot [/mm] 1 [mm] \cdot \bruch{ac}{bd} [/mm] = [mm] \bruch{ac}{bd} [/mm] > 0$ aus der linken Seite in 1).
Ist eines der beiden Paare negativ, so gilt:
[mm] $\bruch{-(ac)}{-(bd)} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{-1} \cdot \bruch{ab}{cd} [/mm] = [mm] \bruch{ab}{cd} [/mm] > 0$ aus demselben Grunde wie oben. Somit gilt die Annahme für alle möglichen Fälle.
Zu 2):
Sei [mm] $\bruch{a}{b} [/mm] < [mm] \bruch{c}{d}$. [/mm] Somit ist:
[mm] $\bruch{a}{b} [/mm] < [mm] \bruch{c}{d}$, \qquad $-\bruch{c}{d}$ [/mm] addieren
[mm] $\Rightarrow \bruch{a}{b}-\bruch{c}{d} [/mm] < 0$
[mm] $\Rightarrow \bruch{a}{b}-\bruch{c}{d} [/mm] < [mm] \bruch{e}{f}-\bruch{e}{f}$ \qquad [/mm] für $e [mm] \in \IZ$ [/mm] und $f [mm] \in \IZ\backslash \{0\}, \bruch{e}{f}$ [/mm] addieren
[mm] $\Rightarrow \bruch{a}{b}-\bruch{c}{d} [/mm] + [mm] \bruch{e}{f} [/mm] < [mm] \bruch{e}{f}$, \qquad $\bruch{c}{d}$ [/mm] addieren
[mm] $\Rightarrow \bruch{a}{b}+\bruch{e}{f} [/mm] < [mm] \bruch{c}{d}+\bruch{e}{f}$,
[/mm]
womit die Behauptung bewiesen wäre.
Geht das so? Ich hoffe, es ist weniger chaotisch.
Liebe Grüße :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Do 05.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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