Lineare Probleme < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Mo 21.05.2007 | | Autor: | nmerten |
| Aufgabe | Hallo :D
UNd zwar hab ich folgende Probleme:
1) Unterscuehn Sie, ob die Unterräume U:=<v1,v2,v3> und W:=<w1,w2> des [mm] R^4 [/mm] gleich sind, für:
v1= 3 5 1 7
v2=-1 0 3 1
v3=0 -1 -2 -2
w1= 1 3 3 5
w2=3 2 -5 1
____
2) Bestimmen sie eine Basis von U :=< (3 5 1 7), (-1 0 3 1) , (7 10 -1 13), (1 1 0 1) ,( 9 10 -7 11)>
___
3) Es sei (v1,v2,v3) ein linear unabhängiges system eines r-vektorraumes V; untersuchen sie, für welche a element R (av,av+v1-v3,-2v1 -3v2 -3v3) mit v= 4v1-3v2+v3 linear unabhängig ist.
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Könntet ihr mir da helfen? mir würde ein roter faden genügen, bin nicht an endgültigen ergebnissen interesiert!! DANKE!
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 Mo 21.05.2007 | | Autor: | barsch |
Antwort ist Nicht fehlerhaft. Missverständnis hat sich geklärt. Angela hat dies in ihren Beiträgen jetzt berücksichtigt.
Hi,
vorweg: Es sind Tipps. Nur die Vorgehensweise. Aber vielleicht merkst du selbst, wenn du dir die Tipps durchliest, wie es funktioniert. Du hast ja geschrieben, du bist mit einem roten Faden zufrieden 
Wenn nicht, kannst du ja noch mal nachfragen.
>1) Unterscuehn Sie, ob die Unterräume U:=<v1,v2,v3> und W:=<w1,w2> des $ [mm] R^4 [/mm] $ gleich sind, für:
> v1= 3 5 1 7
> v2=-1 0 3 1
> v3=0 -1 -2 -2
> w1= 1 3 3 5
> w2=3 2 -5 1
Naja, die Unterräume U und W sind gleich, wenn sie den selben "Raum aufspannen."
Tipp: Prüfe [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] auf lineare Unabhangigkeit. Du wirst feststellen, [mm] v_3 [/mm] ist linear abhängig. Eines Basis des UR U ist demnach v1,v2.
W besteht aus zwei linear unabhängigen Vektoren.
Jetzt teste, ob [mm] v_1,v_2 [/mm] von [mm] w_1,w_2 [/mm] linear abhängig sind. Du wirst sehen, sie sind linear abhängig. Dann kannst du sagen, die Räume sind gleich.
> 2) Bestimmen sie eine Basis von U :=< (3 5 1 7), (-1 0 3 1) , (7 10 -1 13), (1 1 0 1) ,( 9 10 -7 11)>
Naja, eine Basis besteht ja aus linear unabhängigen Vektoren. Du hast hier 5 Vektoren [mm] \in\IR^4 [/mm] und weißt, im [mm] \IR^4 [/mm] sind maximal 4 Vektoren linear unabhängig. Nun musst du die Vektoren die linear abhängig sind finden und dann bilden die linear unabhängigen Vektoren eine Basis von U.
> ___
> 3) Es sei (v1,v2,v3) ein linear unabhängiges system eines
> r-vektorraumes V; untersuchen sie, für welche a element R
> (av,av+v1-v3,-2v1 -3v2 -3v3) mit v= 4v1-3v2+v3 linear
> unabhängig ist.
Ich würde erst einmal die Vektoren [mm] v,v_1,v_2,v_3 [/mm] einsetzen.
Dann schreibst du diese Vektoren (damit meine ich (av,av+v1-v3,-2v1 -3v2 -3v3))in eine Matrix und versuchst es mal mit Gauß. Sind die Vektoren linear unabhängig, lässt sich per Gauß-Algoritmus eine obere bzw untere Dreiecksmatrix erzeugen.
Du musst das a so bestimmen, dass in keiner Zeile bzw Spalte nur 0 steht.
> Könntet ihr mir da helfen? mir würde ein roter faden
> genügen, bin nicht an endgültigen ergebnissen interesiert!!
> DANKE!
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
MfG
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Mo 21.05.2007 | | Autor: | nmerten |
und zwar hab ich zu allen 3 ne frage:
1) ich hab ja den UR U und W... so, ich soll die vektoren der einzelnen räume erstmal für sich auf lineare abhäniggekit(oder nicht prüfen); wie mach ich das? sind nicht 2 vektoren dann abhängig wenn sie(geom) auf einer geraden liegen bzw wenn vektor1 mal x = vektor2 ist?
dann soll ich die LU untereinander auf lineare abhänigkeit prüfen; v1 mit v2, v1 mit w1...v2 mit w2 , richtig? wenn diese abhängi sind, dann sind die beiden unterräume gleich, wenn nicht, dann sind sie nicht gleich, seh ich das richtig?
2) ich soll wie bei aufgabe 1 alle kombinationen rausfinden, wobei aber wenn v1 mit v2 und v2 mit v3 linear abhängig sind, sind auch v2 mit v3 abhängig, richtig? also einfach wieder untereinander rumprobieren, bis man die linear unabhängigen hat? was wäre eine gültige antwort? die basis von U ist der vektor/sind die vektoren : bla bla
3)das musste mir bitte nochmal in kleineren brocken erklären..hab wirklich noch nie was von gauß, ausser in der stochastik, gehört... auch kann ich mit der dreieckmatrix nix anfangen
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> 1) ich hab ja den UR U und W... so, ich soll die vektoren
> der einzelnen räume erstmal für sich auf lineare
> abhäniggekit(oder nicht prüfen); wie mach ich das?
Kannst Du die Definition für lineare Unabhängigkeit aufsagen?
Die ist ungeheuer wichtig, weil sie den Weg weist für die Berechnung auch in Fällen, in denen die Anschauung versagt.
Schreib sie mal auf, und versuche, sie auf [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] anzuwenden.
Ja, wenn der eine Vektor das Vielfache des anderen ist, sind die beiden linear abhängig. Aber wir haben es hier mit mehr als zwei Vektoren zu tun.
Zu 2.
Das kannst Du so machen:
Starte mit [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2, [/mm] guck, ob sie unabhängig sind.
Sind sie unabhängig, behältst Du [mm] u_2.
[/mm]
Wenn nicht, versuchst Du Dein Glück mit [mm] u_3, [/mm] sind die beiden linear unabhängig, behältst Du ihn, ansonsten fliegt er.
usw.
IFalls Du irgendwann einen weiteren Vektor gefunden hast, so daß [mm] (u_1, [/mm] u_?) linear unabhängig sind, knöpfst Du Dir den nächsten vor, und prüfst, ob die drei linear unabhängig sind. Wenn ja: behalten. Wenn nein: wegwerfen.
Immer so weiter, bis Du die zur Verfügung stehende Menge aufgebraucht hast.
zu 3.
Hier ist wieder die Def. für lineare Unabhängigkeit wichtig.
Zu untersuchen ist, für welche [mm] a\in \IR [/mm] das LGS
[mm] \lambda av+\mu(av+v_1-v_3)+\nu(-2v_1 -3v_2 -3v_3)=0 [/mm] nur die Lösung [mm] \lambda=\mu=\nu=0 [/mm] hat.
Ausnutzen muß man hierbei die lin.Unabhängigkeit von [mm] (v_1,v_2,v_3),
[/mm]
daß also aus [mm] lv_1+mv_2+nv_3=0 [/mm] folgt l=m=n=0
Das läuft auf die Lösung eines GS hinaus, wie Du das machst, ist egal. Sinnigerweise mit einer Methode, die Du beherrschst...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Di 22.05.2007 | | Autor: | nmerten |
Hallo und danke für die ganze Hilfe!!
1)
Also kann ich im Endeffekt sagen: Auch wenn die Vektoren der beiden Unterräume LA wären, sind sie nicht gleich, weil Unterraum U einen3-dimensionalen Raum aufspannt und W nur einen 2-dimensionalen?
2)
Also: u1 und u2 auf LU überprüfen, wenn LU u2 behalten, wenn nicht, wegwerfen, dann u1 und u3 überprüfen dann u1-u4, u1-u5; immer wenn ich einen LU finde den behalten, wenn LA dann rausschmeißen? irgendwie versteh ich das, aber auch nicht: die basis bildelt halt alle LU vektoren von U(in dem fall hier max4 aus 5); aber wenn ich mir mein beispiel anschaue dann sehe ich kein einziges linear abhängiges paar...jednfalls von 2 untereinander...
3)
Das versteh ich nun überhaupt nicht...tut mir leid für meine doofheit, aber irgendwie steh ich aufm schlauch...
... welche [mm] \alpha \in \IR
[/mm]
( [mm] \alpha [/mm] v , [mm] \alpha [/mm] v + [mm] v_{1} [/mm] - [mm] v_{3}, -2v_{1} [/mm] - [mm] 3v_{2} [/mm] - [mm] 3v_{3}) [/mm] mit v= [mm] 4v_{1} [/mm] - [mm] 3v_{2} [/mm] + [mm] v_{3} [/mm] linear abhängig ist. Tut mir leid, ich les da vieles raus...nur leider keine Matrix bzw ein LGS
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> 1)
barsch wies mich auf einen Fehler hin, die Vektoren [mm] (u_1,u_2, u_3) [/mm] sind linear abhängig, [mm] (u_1,u_2) [/mm] ist eine Basis des aufgespannten Raumes.
Daher EDITIERT:
Wenn Du die lineare Abhängigkeit von [mm] (u_1,u_2, u_3) [/mm] (Def.!) nachgewiesen hast und die Unabhängigkeit von [mm] (u_1,u_2),
[/mm]
kannst Du als nächstes versuchen, die [mm] w_i [/mm] als Linearkombination der [mm] v_i [/mm] darzustellen.
Sofern Dir das gelingt, sind die aufgespannten Räume gleich.
> 2)
> Also: u1 und u2 auf LU überprüfen, wenn LU u2 behalten,
> wenn nicht, wegwerfen, dann u1 und u3 überprüfen dann
> u1-u4, u1-u5; immer wenn ich einen LU finde den behalten,
> wenn LA dann rausschmeißen? irgendwie versteh ich das,
Gut.
> aber
> auch nicht:
Schlecht.
die basis bildelt halt alle LU vektoren von
> U(in dem fall hier max4 aus 5);
Nicht ganz.
Jede linear unabhängige Teilmenge der zur Verfügung stehenden Vektoren, welche die größtmögliche Größe hat, bildet eine Basis.
Ein VR hat in der Regel ja durchaus mehrere verschiedene Basen, welche eines verbindet: sie haben alle dieselbe Anzahl von Elementen.
Bei Deiner Aufgabe sind durchaus verschiedene "Vektorensortimente" denkbar, welche die gesuchte Basis bilden.
Das beschriebenen Verfahren dient dazu, systematisch eine zu finden.
> aber wenn ich mir mein
> beispiel anschaue dann sehe ich kein einziges linear
> abhängiges paar...jednfalls von 2 untereinander...
Das wäre auch ein sehr einfaches Beispiel, wenn Du auf einen Blick abhängige Paare sehen würdest.
Hier geht es um mehr! Um die Abhängigkeit von mehr als zwei Vektoren.
Nun rächt sich bitterlich, daß Du nicht die Def. für lineare Unabhängigkeit aufgeschrieben hast, wie ich es Dir anempfahl...
Du mußt bei dieser Vorgehensweise keinesfalls immer nur Paare von Vektoren auf Unabhängigkeit untersuchen, sondern
erst eins, dann zwei, dann drei, dann vier...
Und - um einen beliebten Fehler gleich vorwegzunehmen:
wenn [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] lin. unabhängig sind und auch [mm] u_2 [/mm] und [mm] u_3 [/mm] und auch [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_3, [/mm] dann sind noch längst nicht unbedingt [mm] (u_1,u_2, u_3) [/mm] linear unabhängig...
Beispiel: [mm] \vektor{1 \\ 0\\0},\vektor{1 \\ 1\\0}, \vektor{0 \\ 1\\0}
[/mm]
>
> 3)
> Das versteh ich nun überhaupt nicht...tut mir leid für
> meine doofheit, aber irgendwie steh ich aufm schlauch...
> ... welche [mm]\alpha \in \IR[/mm]
> ( [mm]\alpha[/mm] v , [mm]\alpha[/mm] v + [mm]v_{1}[/mm] -
> [mm]v_{3}, -2v_{1}[/mm] - [mm]3v_{2}[/mm] - [mm]3v_{3})[/mm] mit v= [mm]4v_{1}[/mm] - [mm]3v_{2}[/mm] +
> [mm]v_{3}[/mm] linear abhängig ist. Tut mir leid, ich les da vieles
> raus...nur leider keine Matrix bzw ein LGS
Wie gesagt: Du mußt Dich mit der linearen Unabhängigkeit beschäftigen.
Wann sind Vektoren [mm] u_1,u_2,u_3 [/mm] linear unabhängig?
Wenn Du das weißt, verstehst Du (eventuell mit etwas Hilfe), daß die Aufgabe über die Gleichung
$ [mm] \lambda av+\mu(av+v_1-v_3)+\nu(-2v_1 -3v_2 -3v_3)=0 [/mm] $ und die Analyse der Bedingungen, unter welchen $ [mm] \lambda=\mu=\nu=0 [/mm] $ folgt, zu lösen ist, und zwar, indem Du in [mm] \lambda av+\mu(av+v_1-v_3)+\nu(-2v_1 -3v_2 -3v_3) [/mm] zunächst nach [mm] v_1, v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] sortierst.
Darüber können wir uns en detail weiterunterhalten, wenn Du die Def. für lineare Unabhängigkeit geliefert hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Do 24.05.2007 | | Autor: | nmerten |
http://www14.in.tum.de/~mnuk/teaching/MAT1/Skriptum/K2node7.html
damit sollte ich wohl nachgeschaut haben, richtig??^^
(1) also muss ich beide räume erstmal untereinander auf lu oder la prüfen, richtig? dann wenn einer lu der andere la ist, eine linearkombination bilden, wenn diese lösbar ist(bzw ich ein ergebnis bekomme) dann ist es der selbe raum, wenn das nicht geht, dann ist es nicht der selbe raum, richtig?
(2) ich denke ich verstehe langsam: ich hab meine 5 vektoren, dann hol ich mir die ersten beiden und schaue, ob sie lu sind, ist dies der fall, dann behalte ich beide erstmal(anscheinend bleibt v1 immer ein vektor der basis, oder?..also in diesem falle) wenn la, dann schmeiß ich den v2 raus...so...dann sagen wir sind v1 und v3 lu, dann muss ich alle v1 UND v3 UND v4 (beispielsweise) zusammen prüfen, wenn lu dann behalte ich auch v4, wenn nicht dann raus mit v4, bis ich nachher meine 3-4 lu vektoren habe, die dann in diesem beispiel meine base bilden, richtig??
dies mache ich dann so:
ich hab den vektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] setze den gleich mit [mm] x_{1} [/mm] (zB) mal meinen v1 vektor + [mm] x_{2} [/mm] mal meinen v2 vektor + .... dann muss ich die halt so zusammenrechnen das am ende 0 rauskommt, richtig? ist das der fall, sind diese lu, wenn ein widerspruch kommt, la und rausschmeißen...hoffentlich war das jetzt für euch verständlich, und für mich richtig ^^
(3) ich hab dir denke ich mal(*hoff*) die def von lu gepostet, und in (2) richtig angewendet(*nochmal-hoff*) aber ich verstehe leider immer noch nicht was du mir damit sagen willst, irgendwie verstehe ich das niht so ganz mit dem umsortieren....können wir dann jetzt ins detail gehen?? ^^
danke im voraus
Nico Merten
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>
> (1) also muss ich beide räume erstmal untereinander auf lu
> oder la prüfen, richtig?
Hallo,
um den hier vorgeschlagenen Weg zu gehen, mußt Du das tun.
Und zwar nicht einfach aus Jux und Tollerei und Langeweile: wenn Du in einem der Räume lineare Abhängigkeit festgestellt hast, filterst Du Dir eine Basis heraus - z.B. wie in 2. beschrieben.
> dann wenn einer lu der andere la
> ist,
Was meinst Du mit "einer"?
Ein Raum kann nicht linear (un)abhängig sein, höchstens die Vektoren, die ihn aufspannen.
> eine linearkombination bilden, wenn diese lösbar
> ist(bzw ich ein ergebnis bekomme) dann ist es der selbe
> raum, wenn das nicht geht, dann ist es nicht der selbe
> raum, richtig?
Wenn die Basen Deiner Räume [mm] (u_1, u_2) [/mm] und [mm] (w_1,w_2) [/mm] sind, schaust Du, ob Du Koeffizienten a,b,c,d findest mit [mm] u_1=aw_1+bw_2 [/mm] und [mm] u_2=cw_1+dw_2.
[/mm]
Ist das der Fall, kannst Du die eine durch die andere Basis ausdrücken, und die Räume sind gleich.
>
> (2) ich denke ich verstehe langsam: ich hab meine 5
> vektoren, dann hol ich mir die ersten beiden und schaue, ob
> sie lu sind, ist dies der fall, dann behalte ich beide
> erstmal(anscheinend bleibt v1 immer ein vektor der basis,
> oder?..also in diesem falle) wenn la, dann schmeiß ich den
> v2 raus...so...dann sagen wir sind v1 und v3 lu, dann muss
> ich alle v1 UND v3 UND v4 (beispielsweise) zusammen prüfen,
> wenn lu dann behalte ich auch v4, wenn nicht dann raus mit
> v4, bis ich nachher meine 3-4 lu vektoren habe, die dann in
> diesem beispiel meine base bilden, richtig??
> dies mache ich dann so:
> ich hab den vektor [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] setze den gleich
> mit [mm]x_{1}[/mm] (zB) mal meinen v1 vektor + [mm]x_{2}[/mm] mal meinen v2
> vektor + .... dann muss ich die halt so zusammenrechnen
> das am ende 0 rauskommt, richtig? ist das der fall, sind
> diese lu, wenn ein widerspruch kommt, la und
> rausschmeißen...hoffentlich war das jetzt für euch
> verständlich, und für mich richtig ^^
Ich habe den Eindruck, daß Du es jetzt richtig verstanden hast.
Du vergrößerst Deine Familie von linear unabhängigen Vektoren nach Möglichkeit um einen weiteren Vektor, und führst dies so lange fort, bis alle "aufgebraucht" sind.
>
> (3) ich hab dir denke ich mal(*hoff*) die def von lu
> gepostet, und in (2) richtig angewendet(*nochmal-hoff*)
> aber ich verstehe leider immer noch nicht was du mir damit
> sagen willst, irgendwie verstehe ich das niht so ganz mit
> dem umsortieren....können wir dann jetzt ins detail gehen??
> ^^
Zur Erinnerung: gegeben sind drei linear unabhängige Vektoren [mm] v_i, [/mm] und es soll nun für festes [mm] a\in \IR
[/mm]
die (UN_)Abhängigkeit von
( $ [mm] \alpha [/mm] $ v , $ [mm] \alpha [/mm] $ v + $ [mm] v_{1} [/mm] $ - $ [mm] v_{3}, -2v_{1} [/mm] $ - $ [mm] 3v_{2} [/mm] $ - $ [mm] 3v_{3}) [/mm] $ mit v= $ [mm] 4v_{1} [/mm] $ - $ [mm] 3v_{2} [/mm] $ + $ [mm] v_{3} [/mm] $
untersucht werden.
Also mußt Du untersuchen, für welche [mm] \lambda, \mu,\nu [/mm] die Gleichung
$ [mm] \lambda av+\mu(av+v_1-v_3)+\nu(-2v_1 -3v_2 -3v_3)=0 [/mm] $
nur die triviale Lösung hat.
Du sollst nun in dieser Gleichung v= [mm] 4v_{1} [/mm] - [mm] 3v_{2} [/mm] + [mm] v_{3}
[/mm]
einsetzen, und anschließend die [mm] v_i [/mm] ausklammern, so daß Du folgendes erhältst:
[mm] (...)v_1+(...)v_2 +(...)v_3=0.
[/mm]
Wenn Du das hast, besinne Dich darauf, daß die [mm] v_i [/mm] nach Voraussetzung linear unabhängig sind.
Was bedeutet das für die drei (...)?
Du erhältst aus dieser Überlegung 3 Gleichungen, deren Lösbarkeit (abh. v. a) zu untersuchen ist.
Gruß v. Angela
P.S.:Falls Du zu 3. weitere Fragen hast, poste die Gleichungen, wesentliche Umformungen und Ausklammerungen bitte mit.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 10:13 Di 22.05.2007 | | Autor: | angela.h.b. |
>
> >1) Unterscuehn Sie, ob die Unterräume U:=<v1,v2,v3> und
> W:=<w1,w2> des [mm]R^4[/mm] gleich sind, für:
>
> > v1= 3 5 1 7
> > v2=-1 0 3 1
> > v3=0 -1 -2 -2
> > w1= 1 3 3 5
> > w2=3 2 -5 1
>
> Naja, die Unterräume U und W sind gleich, wenn sie den
> selben "Raum aufspannen."
Hallo,
das stimmt.
> Tipp: Prüfe [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] auf lineare Unabhangigkeit. Du
> wirst feststellen, [mm]v_3[/mm] ist linear abhängig. Eines Basis des
> UR U ist demnach v1,v2.
Nein, [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] sind NICHT linear abhängig.
Sie spannen also einen Raum der Dimension 3 auf.
EDIT: barsch wies mich darauf hin, daß ich mich verrechnet habe:
es sind [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] linear abhängig, man kann auf [mm] v_3 [/mm] verzichten, [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] bilden dann eine Basis des aufgespannten Raumes.
[mm] w_1,w_2 [/mm] können (egal wie sie aussehen) einen Raum von höchstens der Dimension 2 aufspannen. Sie sind hier linear unabhängig, spannen also ebenfalls einen Raum der Dimension 2 auf.
Wir haben also zwei Unterräume der Dimension 2.
Deren Gleichheit können wir keinesfalls so testen:
> W besteht aus zwei linear unabhängigen Vektoren.
> Jetzt teste, ob [mm]v_1,v_2,w_1,w_2[/mm] linear abhängig sind. Du
> wirst sehen, sie sind linear abhängig. Dann kannst du
> sagen, die Räume sind gleich.
Gegenbeispiel: [mm] u_1=\vektor{1 \\ 0\\0\\0}, u_2=\vektor{0 \\ 1\\0\\0}
[/mm]
[mm] w_1=\vektor{1 \\ 1\\0\\0}, w_2=\vektor{0 \\ 1\\1\\0}
[/mm]
Diese Vektoren sind linear abhängig, aber es ist [mm] \not=.
[/mm]
Bleibt die Frage, WIE man herausfindet, ob zwei Räume gleich sind.
Eine Möglichkeit wäre die:
Man stellt fest, ob die Dimensionen gleich sind, und schaut dann, ob man die erzeugenden Vektoren der einen Menge durch Linearkombination der erzeugenden Vektoren der anderen Menge ausdrücken kann.
Gruß v. Angela
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