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Lineare Programmierung: Aufgabe + Lösungsansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:40 Mi 13.02.2013
Autor: morealis

Aufgabe
Die Tomaten-AG möchte ihr Produktionsprogramm an die geänderte Nachfrage anpassen und zwei neue Produkte, Ketchup -und Dosenparadeiser, erzeugen. Die Produktion erfolgt in verschiedenen Arbeitsschritten. Bei drei Arbeitsstationen ist die für die neuen Produkte verfügbare Kapazität beschränkt:

Station 1 (Zerkleinern der Paradeiser) steht 8 Stunden pro Tag zur Verfügung, Station 2 (Schälen der Paradeiser) 12 Stunden und Station 3 (Abfüllen der fertigen Produkte) 18 Stunden.

Für die Produktion einer Tonne Ketchup werde 1 Stunde in Station 1 und 2 Stunden in Station 3
benötigt, für eine Tonne Dosenparadeiser 2 Stunden in Station 2 und 2 Stunden in Station 2.

Wenn ein Kilogramm Ketchup einen DeckungsbeItrag von 3 € bringt und ein Kilogramm Dosenparadeiser 2 €, wie viel soll von jedem Produkt erzeugt werden?


a) Formuluieren Sie ein lineares Programm zur Bestimmung der Produktionsmengen, die maximalen Deckungsbeitrag sichern.

b) Lösen Sie das lineare Programm graphisch.

c) Lösen Sie das lineare Problem mit Hilfe des Simplex-Algorithmus.

d) Geben Sie die Auslastung der Stationen bei optimalem Produktionsprogramm an.

Hallo :)

a)

ZF - > MAX! 3000x1 + 2000x2

NB:

1) x1 [mm] \le [/mm] 8
2) 2x2 [mm] \le [/mm] 12
3) 2x1 + 2x2 [mm] \le [/mm] 18


b) Komme ich leider auf ein Optimum von (X1/X2) = ( 3/6)

Z = 21.000

c)

x1 = 8
x2 = 6

Z = 36.000

d) Stationen sind voll ausgelastet - keine Restkapazität vorhanden.

Vielen Dank für Eure Hilfe :)

LG,
morealis




        
Bezug
Lineare Programmierung: Graphische Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:03 Mi 13.02.2013
Autor: morealis

Hier noch die graphische Lösung:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
        
Bezug
Lineare Programmierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:31 Fr 15.02.2013
Autor: meili

Hallo morealis,

> Die Tomaten-AG möchte ihr Produktionsprogramm an die
> geänderte Nachfrage anpassen und zwei neue Produkte,
> Ketchup -und Dosenparadeiser, erzeugen. Die Produktion
> erfolgt in verschiedenen Arbeitsschritten. Bei drei
> Arbeitsstationen ist die für die neuen Produkte
> verfügbare Kapazität beschränkt:
>
> Station 1 (Zerkleinern der Paradeiser) steht 8 Stunden pro
> Tag zur Verfügung, Station 2 (Schälen der Paradeiser) 12
> Stunden und Station 3 (Abfüllen der fertigen Produkte) 18
> Stunden.
>
> Für die Produktion einer Tonne Ketchup werde 1 Stunde in
> Station 1 und 2 Stunden in Station 3
> benötigt, für eine Tonne Dosenparadeiser 2 Stunden in
> Station 2 und 2 Stunden in Station 2.
>
> Wenn ein Kilogramm Ketchup einen DeckungsbeItrag von 3 €
> bringt und ein Kilogramm Dosenparadeiser 2 €, wie viel
> soll von jedem Produkt erzeugt werden?
>  
>
> a) Formuluieren Sie ein lineares Programm zur Bestimmung
> der Produktionsmengen, die maximalen Deckungsbeitrag
> sichern.
>  
> b) Lösen Sie das lineare Programm graphisch.
>  
> c) Lösen Sie das lineare Problem mit Hilfe des
> Simplex-Algorithmus.
>
> d) Geben Sie die Auslastung der Stationen bei optimalem
> Produktionsprogramm an.
>  Hallo :)
>  
> a)
>
> ZF - > MAX! 3000x1 + 2000x2
>  
> NB:
>  
> 1) x1 [mm]\le[/mm] 8
>  2) 2x2 [mm]\le[/mm] 12
>  3) 2x1 + 2x2 [mm]\le[/mm] 18

[ok]

>  
>
> b) Komme ich leider auf ein Optimum von (X1/X2) = ( 3/6)

Leider nicht die richtige Lösung.
Es ist schon richtig auf dem Rand zu suchen,
und noch genauer in den Ecken. Aber:
3000*8+2000*1 = 26.000 > 21.000

>
> Z = 21.000
>  
> c)
>  
> x1 = 8
>  x2 = 6

Das kann doch nicht sein (widerspricht NB 3.):
2*8+2*6 = 28

>  
> Z = 36.000
>  
> d) Stationen sind voll ausgelastet - keine Restkapazität
> vorhanden.

[notok]
Station 1 und Station 3 sind voll ausgelastet.
Station 2 hat noch reichlich Restkapazität

>  
> Vielen Dank für Eure Hilfe :)
>  
> LG,
>  morealis
>  
>
>  

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Lineare Programmierung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:07 Sa 16.02.2013
Autor: morealis

Aufgabe
zu d)


Hallo meili,

stimmt.

D.h. ich habe bei s2 eine Auslastung von 2/12 = 0,1667 = 16,67% und s1 und s2 wären voll ausgelastet richtig?

Bezug
                        
Bezug
Lineare Programmierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:36 Sa 16.02.2013
Autor: meili

Hallo,
> zu d)
>  
> Hallo meili,
>  
> stimmt.
>  
> D.h. ich habe bei s2 eine Auslastung von 2/12 = 0,1667 =
> 16,67% und s1 und s2 wären voll ausgelastet richtig?

[ok]

Gruß
meili

Bezug
        
Bezug
Lineare Programmierung: Aufgabe b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:25 Sa 16.02.2013
Autor: morealis

Wie berechne ich eigentlich die Steigung um sie dann in die Zeichnung einzufügen?

Bezug
                
Bezug
Lineare Programmierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:54 Sa 16.02.2013
Autor: meili

Hallo morealis,

> Wie berechne ich eigentlich die Steigung um sie dann in die
> Zeichnung einzufügen?

Wenn Du von der Ungleichung [mm] $2x_1+2x_2 \le [/mm] 18$ ausgehst, nimmst Du
[mm] $2x_1+2x_2 [/mm] = 18$.

Auflösen nach [mm] $x_2$: [/mm]
[mm] $2x_1+2x_2 [/mm] = 18$  |:2
[mm] $x_1+x_2 [/mm] = 9$        | [mm] $-x_1$ [/mm]
[mm] $x_2 [/mm] = [mm] 9-x_1$ [/mm]

Vergleiche mit []Geradengleichung  [mm] $x_2 [/mm] = [mm] k*x_1+d$. [/mm]
Steigung: k = -1

Gruß
meili

Bezug
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