Lineare Selbstabbildung < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Mo 10.01.2011 | | Autor: | mo1985 |
| Aufgabe | Eine lineare Selbstabbildung [mm] \nu [/mm] : [mm] \IR^{4} [/mm] -> [mm] \IR^{4} [/mm] werde hinsichtlich der kanonischen Basis beschrieben durch die Matrix
P = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 3 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 3}
[/mm]
a) ist die Abbildung [mm] \nu [/mm] bijektiv?
b) Wie lautet die Matrix q die der Umkehrabbildung [mm] \nu1{1} [/mm] hinsichtlich der kanonisches Basis zugeordnet ist?
c) Ermittel Sie sämtliche Eigenwerte und Eigenräume der Abbildung [mm] \nu [/mm] |
zu a) ist bijektiv da Rang = 4
zu b) muss ich doch nur invertieren oder?
zu c) irgendwann bekomme ich [mm] (-2-t)*(-t^{3}+7t^{2}-15t+7) [/mm] raus. wie rechne ich denn da weiter? habe gerade ein brett vorm kopf. Es sollte ja am ende irgendwas mit [mm] t^{4}... [/mm] rauskommen
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> Eine lineare Selbstabbildung [mm]\nu[/mm] : [mm]\IR^{4}[/mm] -> [mm]\IR^{4}[/mm] werde
> hinsichtlich der kanonischen Basis beschrieben durch die
> Matrix
>
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> P = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 0 & 0 \\
-4 & 0 & 3 & 0 \\
5 & 0 & 0 & 3}[/mm]
>
> a) ist die Abbildung [mm]\nu[/mm] bijektiv?
> b) Wie lautet die Matrix q die der Umkehrabbildung [mm]\nu1{1}[/mm]
> hinsichtlich der kanonisches Basis zugeordnet ist?
> c) Ermittel Sie sämtliche Eigenwerte und Eigenräume der
> Abbildung [mm]\nu[/mm]
>
> zu a) ist bijektiv da Rang = 4
> zu b) muss ich doch nur invertieren oder?
Hallo,
ja, richtig.
> zu c) irgendwann bekomme ich [mm](-2-t)*(-t^{3}+7t^{2}-15t+7)[/mm]
> raus. wie rechne ich denn da weiter? habe gerade ein brett
> vorm kopf. Es sollte ja am ende irgendwas mit [mm]t^{4}...[/mm]
> rauskommen
Ich weiß nicht, was genau Du planst. Wenn Du ausmultiplizierst, hast Du ja "was mit [mm] t^4".
[/mm]
Allerdings sieht es mir so aus, als hättest Du Dich beim charakteristischen Polynom verrechnet, da man das, was vor Deinem "irgendwann" kommt nicht sieht, weiß ich natürlich nicht, an welcher Stelle.
Daß man die Determinante einer Dreiecksmatrix leicht ausrechnen kann, ist Dir klar? Die Eigenwerte der Matrix (=Nullstellen des charakteristischen Polynoms) springen Dir hier ja geradezu mit einem Freudenjauchzer in die Arme...
Wenn Du die Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] hast,
berechne jeweils eine Basis von Kern( [mm] P-\lambda [/mm] E).
Damit hast Du dann die gesuchten Basen der Eigenräume.
Gruß v. Angela
[mm] x^4 [/mm] - [mm] 5x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + 21x - 18
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Mo 10.01.2011 | | Autor: | mo1985 |
Ja das mit den Nullstellen ist mir dann auch aufgefallen :D Aber wofür brauche ich die Determinante?
Rechne das hier nocheinmal vor.
Also ich löse zur zweiten Spalte hin auf. Also :
(-2-t)[(1-t)(3-t)(3-t)] = (2-t)[(3-t-3t-t²)(3-t)] = (-2-t)(9-3t-9t+3t²-3t+t²+3t²-t³) = (-2-t)(-t³+7t²-15t+9)
Erste Nullstelle ist demnach -2
Zweite Nullstelle "geraten" 1
Dritte und vierte Nullstelle nach Polynomdivison von (-t³...) = -t²+6t+9 = 0 ....
?
Polynomdivison geht nicht auf. VErmute das ich das Vorzeichen an der letzten STelle falsch habe, aber sehe meinen FEhler nicht :(
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> Ja das mit den Nullstellen ist mir dann auch aufgefallen :D
> Aber wofür brauche ich die Determinante?
Hallo,
nun, das charakteristische Polynom ist doch det(P- t*E).
> Rechne das hier nocheinmal vor.
> Also ich löse zur zweiten Spalte hin auf. Also :
det(P- t*E)=
> (-2-t)[(1-t)(3-t)(3-t)]
An dieser Stelle kannst (und solltest) Du aufhören! Du hast das charakteristische Polynom vorliegen als Produkt von Linearfaktoren.
Besser geht es nicht! Du kannst die Nullstellen directement ablesen: -2, 1 und 3.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:44 Mo 10.01.2011 | | Autor: | mo1985 |
Ja...das seh ich jetzt auch :D ich habe auch meinen Fehler gefunden :) Vielen Danke
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