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Hallo Zusammen,
wie kann man sich vorstellen, was z.B. grafisch passiert, wenn man Beobachtungswerte einer statistischen Erhebung linear transformiert?
(Anders, was ist mit Transformieren gemeint?)
Bsp. für Beobachtungswerte [mm] x_i:
[/mm]
[mm] y_i=a+bx_i
[/mm]
Danke Euch im Voraus,
Mfg Pedro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 Mi 24.01.2007 | | Autor: | Walde |
hi Alex,
vielleicht kennst du eine solche Transformation von normalverteilten Zufallsvariablen.
Hat man zum Beispiel ein Merkmal X von dem man weiss, dass es normalverteilt ist mit Parametern [mm] \mu=1 [/mm] und [mm] \sigma^2=1,5 [/mm] (kurz [mm] $X\sim\mathcal{N}(1;1,5)$)
[/mm]
und führt die lineare Transformation [mm] Y=\bruch{X-\mu}{\sigma}=\bruch{1}{\sigma}X-\bruch{\mu}{\sigma} [/mm] durch, erhält man ein Merkmal Y, dass standardnormalverteilt ist [mm] ($Y\sim\mathcal{N}(0;1)$).
[/mm]
Graphisch sieht das z.b ![[]](/images/popup.gif) so aus.
Hilft dir das? Wenn nicht, müsstest du vielleicht ein von euch konkret benutztes Beispiel anführen.
Man macht solche Transformationen, wenn man z.B. mit der Transformierten besser rechnen kann.
Normalverteilte Zufallsgrössen transformiert man immer auf die Standardnormalverteilung, trifft dort z.B. Aussagen über die Wahrscheinlichkeit und transformiert dann wieder zurück auf X. Die Aussagen bleiben erhalten (die transformiert man mit). Das war jetzt mal sehr umgangssprachlich(=unmathematisch) ausgedrückt, ich hoffe trotzdem, dass es dir geholfen hat.
LG walde
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Hallo Zusammen,
Habe mir mal ein Bsp. überlegt.
geg: Merkmale X und Y mit
Merkmalsausprägungen [mm] x_i: [/mm] 1, 2, 3, 4, 5, 6
Merkmalsausprägungen [mm] y_i: [/mm] 2, 3, 4, 5, 6, 7
Die hier gegebenen Daten stellen in einem Streudiagramm eine Gerade mit positiver Steigung dar.
Frage 1:
Wenn man nun Merkmal X linear transformiert [mm] (X_transformiert=a_X*X+b_X), [/mm] verschiebt man dann jede Merkmalsausprägung von X, also [mm] x_i, [/mm] um den Wert des Y-Achsenabschnittes und den der Steigung einer gewählten Gerade?
Frage 2:
Wenn man nun alle [mm] x_i [/mm] von X mit 3 multipliziert, handelt es sich dann auch um eine lineare Transformation?
Frage 3:
Kann mir evtl. jmd. noch erklären, was monotone Transformation ist?
Meine aktuelle Idee von linearer Transformation:
lineare Transformation = Verschiebung der Punkte in einem Streudiagramm
ausgehend von einem Pkt. (x,y)
macht man y+1 -> Pkt. verschiebt sich um 1 nach oben
macht man x+1 -> Pkt. verschiebt sich um 1 nach rechts
macht man y*2 -> Pkt. springt um 2*y nach oben
macht man x*2 -> Pkt. springt um 2*x nach rechts
Vielen Dank!
Gruß Peter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Mi 07.02.2007 | | Autor: | Walde |
hi alex,
> Hallo Zusammen,
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> Habe mir mal ein Bsp. überlegt.
>
> geg: Merkmale X und Y mit
> Merkmalsausprägungen [mm]x_i:[/mm] 1, 2, 3, 4, 5, 6
> Merkmalsausprägungen [mm]y_i:[/mm] 2, 3, 4, 5, 6, 7
>
> Die hier gegebenen Daten stellen in einem Streudiagramm
> eine Gerade mit positiver Steigung dar.
>
> Frage 1:
> Wenn man nun Merkmal X linear transformiert
> [mm](X_transformiert=a_X*X+b_X),[/mm] verschiebt man dann jede
> Merkmalsausprägung von X, also [mm]x_i,[/mm] um den Wert des
> Y-Achsenabschnittes und den der Steigung einer gewählten
> Gerade?
Naja, wenn du x transformierst, durch [mm] x_t=ax+b, [/mm] dann multiplizierst du erst den Wert von x mit a und addierst dann b. Das hört sich so an, als ob ich nur lese was da steht, aber genau das passiert doch. Z.B. a=2 und b=1, dann wird aus x=3 [mm] \to x_t=7
[/mm]
>
> Frage 2:
> Wenn man nun alle [mm]x_i[/mm] von X mit 3 multipliziert, handelt
> es sich dann auch um eine lineare Transformation?
Ja. Alle Trafo's der Form [mm] x_t=a*x+b [/mm] nennt man linear. Bei deinem Beispiel wäre a=3 und b=0. Ist erlaubt.
>
> Frage 3:
> Kann mir evtl. jmd. noch erklären, was monotone
> Transformation ist?
Aus einem
online economics dictionary:
Eine monotone Transformation ist eine, die Ungleichheiten, bzw. Rangfolgen unverändert lässt, d.h. eine Trafo T ist monoton genau dann, wenn aus x<y auch T(x)<T(y) folgt.
Beispiel für eine monotone Trafo:
[mm] x_t=T(x)=2x+2, [/mm] denn:
sei x<y, dann ist T(x)=2x+2<2y+2=T(y)
Beispiel für nicht monoton: T(x)=-1*x
denn , wenn x<y, ist T(x)=-x>-y=T(y)
>
> Meine aktuelle Idee von linearer Transformation:
> lineare Transformation = Verschiebung der Punkte in einem
> Streudiagramm
Äh, ja auch. Wenn du allerdings Punkte in der Ebene verschiebst, bewegst du dich in einem (bei dir mit x und y) 2-dimensionalen Raum. Das sind zwar auch lineare Abblildungen, aber ich glaube, du verwechselst lineare Transformation mit dem Thema einen linearen Zusammenhang zwischen 2 Merkmalen zu finden. Siehe meine Frage weiter unten.
>
> ausgehend von einem Pkt. (x,y)
> macht man y+1 -> Pkt. verschiebt sich um 1 nach oben
ja
> macht man x+1 -> Pkt. verschiebt sich um 1 nach rechts
ja
> macht man y*2 -> Pkt. springt um 2*y nach oben
eigentlich springt er um y nach oben. aus (2|3) wird (2|6) er ist also um 3 nach oben nicht um 2*3=6
> macht man x*2 -> Pkt. springt um 2*x nach rechts
siehe oben
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß Peter
Sag mal, ne kleine Frage von mir. Macht ihr wirklich lineare Transformationen oder versucht ihr eher einen linearen Zusammenhang zwischen 2 Variablen (x und y) zu finden? (lineare Regression)
So ala: gegeben sind die Daten [mm] x_i [/mm] und [mm] y_i [/mm] (so wie du oben zum Beispiel). Kann man aus den Daten auf einen linearen Zusammenhang zwischen den [mm] x_i [/mm] und den [mm] y_i [/mm] schliessen? (der wäre bei deinem Beispiel oben z.B. sehr deutlich ausgeprägt.)
Das hängt zwar zusammen, ist aber schon was anderes. Darf ich mal fragen: studierst du? In welchem Fach tauchen die Fragen auf ? Das könnte mir vielleicht bei der Einschätzung deiner Schwierigkeiten helfen.
lG walde
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![[]](http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Normal_density.png){kind=small}
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