Lineare (Un)abhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo ihr lieben,
ich verstehe irgendwie überhaupt nciht, wie man ermittelt, ob zwei oder mehrere Vektoren linear abhängig oder unabhängig sind.
ich habe hier die folgende aufgabe:
Überprüfe ob die Vektorewn linear abhängig oder unabhängig sind:
(1/-1/2) (3/ 0/ 1) (2/ 2/ -1)
dann hat man doch jetzt die wahl, ob man das mit der Linearkombination macht oder ob man jeden vektor mit einer Variabel multipliziert und gleich (0/ 0/ 0) setzt, oder?
wenn ich das jetzt mit der linearkombination machen will würde da doch stehen:
r* (1/ -1/ 2) + s* (3/ 0/ 1) = (2/ 2/ -1)
und wenn ich das dann ausrechnen würde bekäme ich doch für r= -2 und für s= 4/3 heraus. wenn ich diese beiden jetzt in die noch übrige gleichung einsetzen will käme da -2*2/3 = -1 heraus. Das heißt ja, dass die Gleichung nciht erfüllt ist. Heißt das dann auch gleichzeitig, dass die drei Vektoren linear unabhängig sind?
so jetzt zu dem zweiten Lösungsansatz. So wie ich das verstanden habe, kann man ja auch schreiben r* (1/ -1/ 2) + s* (3/ 0/ 1) + t* (2/ 2/ -1) = (0/ 0/ 0), oder?
nur leider weiß ich nicht, wie man hierbei auf ein Ergebnis kommt und woran man dann erkennt, ob die vektoren linear abhängig oder unabhängig sind. kann mir vlt jemand die richtige lösung vorrechnen und erklären? das wäre super lieb.
ich bin euch schon jetzt für jeden rat unendlich dankbar! Ganz liebe Grüße,
Gabi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:00 Sa 29.05.2010 | | Autor: | Marie_ |
Hallo Gabi,
erst einmal lässt sich festhalten, dass die Vektoren
(1/-1/2), (3/ 0/ 1), (2/ 2/ -1) linear unabhängig sind.
Das werde ich dir nun zeigen:
Man hat zu prüfen, welche Lösungen die Gleichung
r * (1/-1/2) + s * (3/ 0/ 1) + t * (2/ 2/ -1) = (0/0/0) ; r,s,t [mm] \in \IR
[/mm]
besitzt. Sind es nur die Lösungen r = s = t = 0 , dann sind die Vektoren linear unabhängig. Erhält man andere Lösungen, so sind die Vektoren linear abhängig.
Aus der oben angegebenen Gleichung bekommt man ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen, die drei Variablen enthalten:
r + 3s + 2t = 0 [mm] \wedge [/mm] -r + 2t = 0 [mm] \wedge [/mm] 2r + s - t = 0
Dieses Gleichungssystem besitzt nur die Lösungen r = s = t = 0 (Nachrechnen! - Lösungsermittlung z.B. durch das Gaußsche Eliminationsverfahren).
Daher sind Deine drei angegebenen Vektoren linear unabhängig.
Dein erster Lösungsansatz mit der Linearkombination ist leider falsch gerechnet, da die Gleichung
r * (1/ -1/ 2) + s * (3/ 0/ 1) = (2/ 2/ -1)
keine Lösungen besitzt (Nachrechnen!). Somit lässt sich der dritte Vektor nicht als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darstellen.
Ich hoffe, dass ich dir weiterhelfen konnte.
Liebe Grüße
Marie
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Liebe Marie, zunächst einmal vielen Dank für deine Mühe.
Allerdings habe ich noch ein paar Fragen:
heißt das, dass man durch die Linearkombination von Vektoren nie bestimmen kann, ob sie linaer abhängig oder unabhängig sind?
und
wenn ich das dann versuche zu ermitteln, indem ich alle drei vektoren mit einer variabel multipliziere und gleich 0 setze, dann muss doch für r=0 für s=0 und für t=0 rauskommen, damit es unabhängig ist, oder?
und wenn jetzt irgendetwas anderes herauskäme, z.B. r=0, s=0, t=7 oder r=4, s=4, t=4 dann hieße dass automatisch, dass die vektoren linear abhängig sind?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Sa 29.05.2010 | | Autor: | Marie_ |
Hallo Gabi,
zu deinen Fragen:
Man kann die lineare Ab- bzw. Unabhängigkeit auch mithilfe von Linearkombinationen ermitteln. Bei Wikipedia steht nämlich:
"In der linearen Algebra wird eine Familie von Vektoren eines Vektorraums linear unabhängig genannt, wenn sich der Nullvektor nur durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt, in der alle Koeffizienten der Kombination auf den Wert Null gesetzt werden. Man kann zeigen, dass diese Bedingung dazu äquivalent ist, dass sich keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen lässt."
Der erste Weg ist jedoch die Definition und für allgemeinere Fälle besser geeignet.
Deine zweite Frage kann ich mit ja beantworten. Bekommt man für r, s, t Lösungen (auch unendlich viele sind möglich), so sind die Vektoren linear abhängig.
Gruß
Marie
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okay, vielen dank!
nun noch eine frage:
kannst du mir evtl. das einmal ausführlich vorrechnen, wie man von
I. r+3s+2t=0
II. -r+2t=0
III. 2r+s+t=0
dann hinterher auf die Lösung r=0, s=0 und t=0 kommt? irgendwie kann ich das nämlich nicht und bleibe jedesmal stecken.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Sa 29.05.2010 | | Autor: | Marie_ |
Zu dem Gleichungssytem:
I. r+3s+2t=0
II. -r+2t=0
III. 2r+s+t=0
Ich rechne das jetzt einmal mit einfachen Äquivalenzumformungen durch:
Ia = I - 3*III: -5r-t=0
II: -r+2t=0
Also haben wir schon einmal ein Gleichungssystem mit nur zwei Unbekannten.
Ia - 5*II: -11t=0 [mm] \gdw [/mm] t=0
Durch Einsetzen in II folgt: r = 0.
Durch Einsetzen in III folt: s = 0.
Liebe Grüße
Marie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 Sa 29.05.2010 | | Autor: | gabi.meire |
oh super, jetzt habe ich auch endlich verstanden, was ich die ganze zeit falsch gemacht habe. ich habe nämlich herausbekommen 0=-11/14 r usw. und dann hätte ich ja einfach nur noch durch -11/14 dividieren müssen. manchmal habe ich echt ein brett vorm kopf. vielen lieben dank.
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Hiho,
> Dein erster Lösungsansatz mit der Linearkombination ist
> leider falsch gerechnet, da die Gleichung
die Aussage ist falsch. Sie hat richtig gerechnet.
>
> r * (1/ -1/ 2) + s * (3/ 0/ 1) = (2/ 2/ -1)
>
> keine Lösungen besitzt (Nachrechnen!). Somit lässt sich
> der dritte Vektor nicht als Linearkombination der beiden
> anderen Vektoren darstellen.
ja, das war ja auch ihre Idee.
Also erstmal an Gabi: Ja du kannst das natürlich auch so machen.
An Mari: Sie hat folgendes gemacht:
Die ersten beiden Gleichungen liefern ihr:
$1*r + 3s = 2 [mm] \wedge [/mm] -1*r + 0*s = 2$
Die Gleichungen löst man nun nach r und s und schaut, ob sie auch die 3. Gleichung erfüllen.
$2*r + 1*s = -1$
Tun sie das nicht d.h. kommt da ein Widerspruch raus, sind die Vektoren natürlich linear unabhängig.
Also ja Gabi, der Weg geht auch.
Ist für Vektoren obiger Form auch recht praktikabel, allerdings nicht mehr wenn man allgemeine Linearkombinationen in abstrakten Vektorräumen macht.
Wenn man also später höhere Mathematik machen will, sollte man sich die von Mari vorgeführte Variante einprägen.
MFG,
Gono.
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 12:36 Sa 29.05.2010 | | Autor: | Marie_ |
Hi,
Gono hat recht. Gabi, Deine erste Rechnung war richtig.
Ich war fälschlicherweise von der Aussage "wenn ich das dann ausrechnen würde bekäme ich doch für r= -2 und für s= 4/3 heraus" aussgegangen, die sich bei dir nur auf die ersten beiden Gleichungen des Gleichungssystems mit drei Gleichungen bezog.
Liebe Grüße
Marie
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