Lineare Unabhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Fr 11.11.2005 | | Autor: | frau-u |
Hi,
Ich habe hier eine Aufgabe, für die ich keinen Beweis finde:
Sei V ein [mm] \IK-Vektorraum [/mm] und [mm] v_1,v_2,v_3 \varepsilon [/mm] V.
Wir definieren: [mm] w_1:=v_2+v_3, w_2:=v_1+v_3, w_3:= v_1+v_2
[/mm]
1. Zeigen sie, dass für [mm] K=\IR [/mm] gilt: [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] sind genau dann linear unabhängig, wenn [mm] w_1, w_2 [/mm] und [mm] w_3 [/mm] linear unabhängig sind.
2. Gilt das für beliebige Körper K?
Kann mir jemand helfen?
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> Sei V ein [mm]\IK-Vektorraum[/mm] und [mm]v_1,v_2,v_3 \varepsilon[/mm] V.
> Wir definieren: [mm]w_1:=v_2+v_3, w_2:=v_1+v_3, w_3:= v_1+v_2[/mm]
>
> 1. Zeigen sie, dass für [mm]K=\IR[/mm] gilt: [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] sind genau
> dann linear unabhängig, wenn [mm]w_1, w_2[/mm] und [mm]w_3[/mm] linear
> unabhängig sind.
Hallo, zunächst einmal mußt du natürlich wissen, woran man erkennt, daß Vektoren linear unabhängig sind. Weißt Du das?
Dann mußt Du Dir die Behauptung in zwei Richtungen zerlegen.
A) [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] lin. [mm] unabh==>w_1,w_2,w_3 [/mm] lin. unabhängig
B) Das fällt dir selber ein.
Ich zeig dir den Anfang von A)
Voraussetzung: [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] lin. unabh.
Das bedeutet, daß aus [mm] \lambda v_1 [/mm] + [mm] \mu v_2 +\nu v_3=0 [/mm] folgt [mm] \lambda=\mu=\nu=0
[/mm]
Nun soll die lineare Unabhängigkeit für [mm] w_1,w_2,w_3 [/mm] gezeigt werden.
Also muß man zeigen, daß aus [mm] \lambda w_1 [/mm] + [mm] \mu w_2 +\nu w_3=0 [/mm] folgt [mm] \lambda=\mu=\nu=0
[/mm]
Seien also [mm] \lambda, \mu, \nu \in [/mm] K und sei
0= [mm] \lambda w_1 [/mm] + [mm] \mu w_2 +\nu w_3=...
[/mm]
hier kannst du jetzt [mm] w_1:=v_2+v_3, w_2:=v_1+v_3, w_3:= v_1+v_2 [/mm] einsetzen. Danach sortier Dir die Gleichung nach [mm] v_1, v_2 [/mm] und [mm] v_3. [/mm] Du weißt, daß die lin. unabh. sind. Also sind die Vorfaktoren =0. Du kriegst ein Gleichungsystem mit drei Gleichungen, und wenn Du alles richtig gemacht hast, kommt [mm] \lamba=\mu=\nu=0 [/mm] heraus.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:50 Sa 12.11.2005 | | Autor: | frau-u |
Wow, das ist ja wirklich so trivial, wie ich es schon "befürchtet" hatte.
Vielen Dank!
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