Lineare Unabhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 Mo 16.02.2009 | | Autor: | Raidon |
| Aufgabe | Beweise dass drei der Vektoren [mm] \overrightarrow{A} \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \overrightarrow{B} \vektor{-1 \\ 1 \\ 1}, \overrightarrow{C} \vektor{1 \\ -1 \\ 1}, \overrightarrow{D} \vektor{1 \\ 1 \\ -1} [/mm] linear unabhängig sind.
Dabei gilt :
[mm] \overrightarrow{A} [/mm] = [mm] \overrightarrow{e_{1}} +\overrightarrow{e_{2}} [/mm] + [mm] \overrightarrow{e_{3}}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{B} [/mm] = [mm] -\overrightarrow{e_{1}} +\overrightarrow{e_{2}} [/mm] + [mm] \overrightarrow{e_{3}}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{C} [/mm] = [mm] \overrightarrow{e_{1}} -\overrightarrow{e_{2}} [/mm] + [mm] \overrightarrow{e_{3}}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{D} [/mm] = [mm] \overrightarrow{e_{1}} +\overrightarrow{e_{2}} [/mm] - [mm] \overrightarrow{e_{3}}
[/mm]
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Ich stecke ein wenig fest, da ich nicht weiß ob mein Beweis so 100 % richtig ist.
Ich habe gesagt, dass da [mm] \overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D} [/mm] = [mm] \overrightarrow{A}
[/mm]
ich diesen Vektor A auch gleich in die Nullvektorgleichung mit den anderen Vekoren B,C und D ausdrücken kann, sodass ich nur noch drei Vektoren habe:
[mm] \overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D} [/mm] + [mm] \overrightarrow{A} [/mm] = 0
[mm] \gdw \overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D} [/mm] + [mm] \overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D} [/mm] + = 0
[mm] \gdw [/mm] 2 [mm] \overrightarrow{B}+ [/mm] 2 [mm] \overrightarrow{C}+ [/mm] 2 [mm] \overrightarrow{D} [/mm] = 0
Da aus der Matrix folgt, dass sie linear unabhängig ist, gilt für diese vier Vektoren, dass jeweils drei linear unabhängig sind, oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 Mo 16.02.2009 | | Autor: | smarty |
Hallo Raidon,
> Beweise dass drei der Vektoren [mm]\overrightarrow{A} \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \overrightarrow{B} \vektor{-1 \\ 1 \\ 1}, \overrightarrow{C} \vektor{1 \\ -1 \\ 1}, \overrightarrow{D} \vektor{1 \\ 1 \\ -1}[/mm]
> linear unabhängig sind.
> Dabei gilt :
> [mm]\overrightarrow{A}[/mm] = [mm]\overrightarrow{e_{1}} +\overrightarrow{e_{2}}[/mm]
> + [mm]\overrightarrow{e_{3}}[/mm]
> [mm]\overrightarrow{B}[/mm] = [mm]-\overrightarrow{e_{1}} +\overrightarrow{e_{2}}[/mm]
> + [mm]\overrightarrow{e_{3}}[/mm]
> [mm]\overrightarrow{C}[/mm] = [mm]\overrightarrow{e_{1}} -\overrightarrow{e_{2}}[/mm]
> + [mm]\overrightarrow{e_{3}}[/mm]
> [mm]\overrightarrow{D}[/mm] = [mm]\overrightarrow{e_{1}} +\overrightarrow{e_{2}}[/mm]
> - [mm]\overrightarrow{e_{3}}[/mm]
>
> Ich stecke ein wenig fest, da ich nicht weiß ob mein Beweis
> so 100 % richtig ist.
> Ich habe gesagt, dass da
> [mm]\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}[/mm] =
> [mm]\overrightarrow{A}[/mm]
> ich diesen Vektor A auch gleich in die Nullvektorgleichung
> mit den anderen Vekoren B,C und D ausdrücken kann, sodass
> ich nur noch drei Vektoren habe:
> [mm]\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}[/mm] +
> [mm]\overrightarrow{A}[/mm] = 0
Nein, es müsste doch [mm] \red{\text{-}}A [/mm] heißen.
> [mm]\gdw \overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}[/mm]
> + [mm]\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}[/mm]
> + = 0
> [mm]\gdw[/mm] 2 [mm]\overrightarrow{B}+[/mm] 2 [mm]\overrightarrow{C}+[/mm] 2
> [mm]\overrightarrow{D}[/mm] = 0
da kommt aber so nicht der Nullvektor raus (Anm. s.o.)
> Da aus der Matrix folgt, dass sie linear unabhängig ist,
> gilt für diese vier Vektoren, dass jeweils drei linear
> unabhängig sind, oder?
so zeigt man nur, das Vektoren von einander abhängig sind, also genau das, was du nicht zeigen solltest.
Grüße
Smarty
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