Lineare Unabhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:02 Mi 06.01.2010 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | Zeigen Sie jeweils, dass im Vektorraum aller Funktionen f: [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR [/mm] die Funktionen [mm] f_{1},f_{2},...,f_{n} [/mm] linear unabhängig sind:
a) [mm] f_{1}= [/mm] sin(x), [mm] f_{2}= sin(2x),...,f_{n}= [/mm] sin(nx)
b) [mm] f_{1}=sin(x), f_{2}= sin^{2}(x),...,f_{n} [/mm] = [mm] sin^{n}(x) [/mm] |
Hi an alle,
Ich wünsche euch einen guten Start ins neue Jahr!
Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe.
Meine Idee zum Aufgabenteil b wäre:
Man substituiere sin(x) = a dann erhält man:
[mm] {\vektor{a \\0 \\... \\0 \\0} , \vektor{0\\ a^{2} \\0\\...\\0} , ..., \vektor{0\\0\\...\\0\\ a^{n}}}
[/mm]
und das sind linear unabhängige Vektoren.
Für a habe ich noch keinen Ansatz, wäre aber für jeden Tipp dankbar.
Danke schon im voraus.
Gruß
|
|
| |
|
> Zeigen Sie jeweils, dass im Vektorraum aller Funktionen f:
> [mm]\IR[/mm] --> [mm]\IR[/mm] die Funktionen [mm]f_{1},f_{2},...,f_{n}[/mm] linear
> unabhängig sind:
>
> a) [mm]f_{1}=[/mm] sin(x), [mm]f_{2}= sin(2x),...,f_{n}=[/mm] sin(nx)
>
> b) [mm]f_{1}=sin(x), f_{2}= sin^{2}(x),...,f_{n}[/mm] =
> [mm]sin^{n}(x)[/mm]
> Hi an alle,
> Ich wünsche euch einen guten Start ins neue Jahr!
> Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe.
> Meine Idee zum Aufgabenteil b wäre:
> Man substituiere sin(x) = a dann erhält man:
> [mm]{\vektor{a \\0 \\... \\0 \\0} , \vektor{0\\ a^{2} \\0\\...\\0} , ..., \vektor{0\\0\\...\\0\\ a^{n}}}[/mm]
Hallo,
nein, so geht das nicht.
Ich nehme mal an, das a soll eine reelle Zahl sein?
Du kannst doch nicht eine komplette Funktion durch eine reelle Zahl ersetzen!
Das andere: was sollen diese Spaltenvektoren? Spaltenvektoren machen nur Sinn, wenn man eine Basis vorgegeben hat, bzgl derer sie sein sollen, bzw. wenn man sich im [mm] K^n [/mm] bewegt. Beides ist hier nicht der Fall.
Das Problem ist ein grundsätzliches: Du mußt Dich auf den Stoff der Uni einlassen. Schau Dir an, wie Ihr "Vektorraum" definiert habt. Da kam nix von irgendwelchen Spalten vor...
Das, was Du in der Schule als Vektoren kennengelernt hast, eben solche Spalten, sind nur Elemente von ganz bestimmten Vektorräumen, nämlich dem [mm] \IR^n.
[/mm]
Aber Vektorräume können aus ganz verschiedenen Elementen bestehen, und der Vektorraum, den Du gerade vorliegen hast, besteht aus Funktionen, die aus dem [mm] \IR [/mm] ind den [mm] \IR [/mm] abbilden. Deine Vektoren (=Elemente des Vektorraumes) sind hier also Funktionen.
Mach Dich mit diesem Vektorraum vertraut.
Schau Dir genau an, wie die Verknüpfungen definiert sind, und vollziehe nach, warum es sich um einen Vektorraum handelt.
Vorher ist die Beschäftigung mit der Aufgabe sinnlos.
Ich hatte an anderer Stelle gesagt, daß die Definitionen das A und O sind.
Schau Dir an, wie lineare Unabhängigkeit definiert ist.
zu a)
Was ist also zu zeigen, wenn Du die lineare Unabhängigkeit von [mm] f_1, ...,f_n [/mm] zeigen willst?
Erst, wenn das dasteht, können wir über das "Wie" sprechen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Do 07.01.2010 | | Autor: | Ultio |
zu a:
> zu a)
> Was ist also zu zeigen, wenn Du die lineare
> Unabhängigkeit von [mm]f_1, ...,f_n[/mm] zeigen willst?
0 = [mm] a_1 [/mm] sin(x) + [mm] a_2 [/mm] sin(2x) + ... + [mm] a_n [/mm] sin(nx)
sin(2x) ist aber gleich 2 sin(x)cos(x)
damit ist sin(nx) = n sin(x)cos(x)
-->
0 = [mm] a_1 [/mm] sin(x) + [mm] a_2 [/mm] 2 sin(x)cos(x) + ... + [mm] a_n [/mm] n sin(x)cos(x)
[mm] \gdw [/mm] 0 = sin(x) [mm] (a_1 [/mm] + cos(x) * (2 [mm] a_2+...+n a_n))
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 = [mm] a_1 [/mm] + cos(x) (2 [mm] a_2 [/mm] + ... + n [mm] a_n) \vee [/mm] 0 = sin(x)
0 = sin(x) zu betrachten bringt mich offenbar nicht weiter also den anderen Term betrachten
0 = [mm] a_1 [/mm] + cos(x) (2 [mm] a_2 [/mm] + ... + n [mm] a_n)
[/mm]
--> [mm] a_1 [/mm] = cos(x) (2 [mm] a_2 [/mm] + ... + n [mm] a_n)
[/mm]
aber [mm] a_i [/mm] sind reelle Koeffizienten und nicht irgendwelche Polynome in Abhängigkeit von x...
hat jemand eine andere Idee?
zu b:
0 = [mm] a_1 [/mm] sin(x) + [mm] a_2 (sin(x))^2 [/mm] + ... + [mm] a_n (sin(x))^n
[/mm]
Oder wie muss ich umformen? habe irgendwie keine Ideen mehr wie ich das alles umformen soll.Kann mir dabei jemand weiterhelfen, bitte?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Do 07.01.2010 | | Autor: | abakus |
> zu a:
> > zu a)
> > Was ist also zu zeigen, wenn Du die lineare
> > Unabhängigkeit von [mm]f_1, ...,f_n[/mm] zeigen willst?
>
> 0 = [mm]a_1[/mm] sin(x) + [mm]a_2[/mm] sin(2x) + ... + [mm]a_n[/mm] sin(nx)
> sin(2x) ist aber gleich 2 sin(x)cos(x)
> damit ist sin(nx) = n sin(x)cos(x)
> -->
> 0 = [mm]a_1[/mm] sin(x) + [mm]a_2[/mm] 2 sin(x)cos(x) + ... + [mm]a_n[/mm] n
> sin(x)cos(x)
> [mm]\gdw[/mm] 0 = sin(x) [mm](a_1[/mm] + cos(x) * (2 [mm]a_2+...+n a_n))[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] 0
> = [mm]a_1[/mm] + cos(x) (2 [mm]a_2[/mm] + ... + n [mm]a_n) \vee[/mm] 0 = sin(x)
> 0 = sin(x) zu betrachten bringt mich offenbar nicht weiter
> also den anderen Term betrachten
> 0 = [mm]a_1[/mm] + cos(x) (2 [mm]a_2[/mm] + ... + n [mm]a_n)[/mm]
> --> [mm]a_1[/mm] = cos(x) (2 [mm]a_2[/mm] + ... + n [mm]a_n)[/mm]
> aber [mm]a_i[/mm] sind reelle Koeffizienten und nicht irgendwelche
> Polynome in Abhängigkeit von x...
> hat jemand eine andere Idee?
>
>
> zu b:
> 0 = [mm]a_1[/mm] sin(x) + [mm]a_2 (sin(x))^2[/mm] + ... + [mm]a_n (sin(x))^n[/mm]
>
>
> Oder wie muss ich umformen? habe irgendwie keine Ideen mehr
> wie ich das alles umformen soll.Kann mir dabei jemand
> weiterhelfen, bitte?
Hallo,
ich habe nur ein paar verschwommene Ideen.
Im ersten Teil bezweifle ich stark, dass aus der Linearkombination der ersten Funktionen die letzte Funktion sin(nx) erzeugt werden kann, weil diese eine kleinste Periode besitzt, die von den "langwelligeren" anderen Funktionen kaum erzeugt werden kann.
Wenn im zweiten Teil [mm] sin^n(x) [/mm] eine Linearkombination der vorherigen Funktionen wäre, könnte man die gesamte Ansatzgleichung durch sin(x) teilen (bzw. sin(x) ausklammern).
Damit kommt ein konstanter Summand in die Linearkombination von [mm] sin^{n-1}x.
[/mm]
Der kann eigentlich nicht von Null verschieden sein (da wäre f(0) nicht mehr Null), also müsste er Null sein. Dann könnte man noch einmal sin(x) ausklammern ... am Ende wäre alle Koeffizienten der Linearkombiation Null.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:29 Do 07.01.2010 | | Autor: | Ultio |
Klasse!
Vielen Dank euch allen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Fr 08.01.2010 | | Autor: | wilmi |
| Aufgabe | Wenn im zweiten Teil $ [mm] sin^n(x) [/mm] $ eine Linearkombination der vorherigen Funktionen wäre, könnte man die gesamte Ansatzgleichung durch sin(x) teilen (bzw. sin(x) ausklammern).
Damit kommt ein konstanter Summand in die Linearkombination von $ [mm] sin^{n-1}x. [/mm] $
Der kann eigentlich nicht von Null verschieden sein (da wäre f(0) nicht mehr Null), also müsste er Null sein. Dann könnte man noch einmal sin(x) ausklammern ... am Ende wäre alle Koeffizienten der Linearkombiation Null.
Gruß Abakus |
hi
das vertsehe ich nicht ganz, denn wenn ich sinx ausklammere warum muss dan [mm] a_1 [/mm] 0 o sein.... da steht doch dann : sinx [mm] (a_1+a_2 [/mm] sinx+ .....) da muss doch sinx nicht null sein oder??
viele dank gruß wilmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Fr 08.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Wenn im zweiten Teil [mm]sin^n(x)[/mm] eine Linearkombination der
> vorherigen Funktionen wäre, könnte man die gesamte
> Ansatzgleichung durch sin(x) teilen (bzw. sin(x)
> ausklammern).
> Damit kommt ein konstanter Summand in die
> Linearkombination von [mm]sin^{n-1}x.[/mm]
> Der kann eigentlich nicht von Null verschieden sein (da
> wäre f(0) nicht mehr Null), also müsste er Null sein.
> Dann könnte man noch einmal sin(x) ausklammern ... am Ende
> wäre alle Koeffizienten der Linearkombiation Null.
> Gruß Abakus
> hi
> das vertsehe ich nicht ganz, denn wenn ich sinx
> ausklammere warum muss dan [mm]a_1[/mm] 0 o sein.... da steht doch
> dann : sinx [mm](a_1+a_2[/mm] sinx+ .....) da muss doch sinx nicht
> null sein oder??
>
>
> viele dank gruß wilmi
Es geht nicht um sin x.
Der Restterm [mm](a_1+a_2[/mm] sinx+ .....) wurde ja dann dem Term [mm] sin^{n-1}x [/mm] entsprechen.
Und auch [mm] sin^{n-1}x [/mm] müsste an der Stelle x=0 den Funktionswert 0 haben - und das geht nur, wenn [mm] a_1=0 [/mm] ist.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Fr 08.01.2010 | | Autor: | wilmi |
| Aufgabe | Es geht nicht um sin x.
Der Restterm $ [mm] (a_1+a_2 [/mm] $ sinx+ .....) wurde ja dann dem Term $ [mm] sin^{n-1}x [/mm] $ entsprechen.
Und auch $ [mm] sin^{n-1}x [/mm] $ müsste an der Stelle x=0 den Funktionswert 0 haben - und das geht nur, wenn $ [mm] a_1=0 [/mm] $ ist.
Gruß Abakus
|
was meinst du genau mit Term $ [mm] sin^{n-1}x [/mm] $ genau. und warum muss dieser an der stelle null = null sein....
steh gerad ein bisschen auf dem schlauch
vielen dank im vorraus
|
|
|
| |
|
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Auch ich kann abakus' Idee nicht bis ins Letzte folgen, möchte Dir aber meine für die Aufgabe b) nicht vorenthalten:
Wir wollen zeigen, daß aus [mm] a_1f_1+a_2f_2+...+a_nf_n=Nullfunktion [/mm] folgt, daß die [mm] a_i [/mm] alle =0 sind.
Sei also [mm] a_1f_1+a_2f_2+...+a_nf_n=Nullfunktion
[/mm]
==>
Für alle [mm] x\in \IR [/mm] ist [mm] a_1f_1(x)+a_2f_2(x)+...+a_nf_n(x)=0
[/mm]
==>
Für alle x ist [mm] a_1sin(x)+a_2sin^2(x)+...+a_nsin^n(x)=0
[/mm]
Da dies für alle x gilt, gilt es insbesondere auch für die x, die man schreiben kann als x=arcsin y mit [mm] y\in [/mm] [-1,1]
==>
Für alle [mm] y\in [/mm] [-1,1] gilt [mm] a_1y+a_2y^2+...+a_3y^n=0,
[/mm]
und damit sind wir dann bei der Gleichheit von Polynomen.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
