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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Di 09.02.2010 | | Autor: | notinX |
| Aufgabe | Seien K ein Körper, V ein K-VR und [mm] $\{v_1\dots v_n\}\subset [/mm] V$ linear unabhängig. Zeigen Sie, dass
[mm] $\{v_{1}+v_{2},v_{2}+v_{3},\dots,v_{n-1}+v_{n},v_{n}\}$
[/mm]
l.u. ist |
Da [mm] $\{v_1,\dots,v_n\}$ [/mm] linear unabhängig sind, gilt:
[mm] $\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}+\dots+\lambda_{n}v_{n}=0\Rightarrow\lambda_{i}=0\quad\forall i\in\{1,\dots,n\}$
[/mm]
[mm] $\lambda_{1}(v_{1}+v_{2})+\lambda_{2}(v_{2}+v_{3})+\dots+\lambda_{n-1}(v_{n-1}+v_{n})+\lambda_{n}v_{n}=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\underbrace{\lambda_{1}}_{=0}v_{1}+\lambda_{1}v_{2}+\underbrace{\lambda_{2}}_{=0}v_{2}+\lambda_{2}v_{3}+\dots+\underbrace{\lambda_{n-1}}_{=0}v_{n-1}+\lambda_{n-1}v_{n}+\underbrace{\lambda_{n}}_{=0}v_{n}=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\lambda_{1}v_{2}+\lambda_{2}v_{3}+\dots+\lambda_{n-1}v_{n}=0$ [/mm]
weil $ [mm] \{v_2,\dots,v_n\} [/mm] $ linear unabhängig sind müssen auch hier alle Koeffizienten =0 sein, also [mm] $\lambda_1=\dots=\lambda_{n-1}=0$
[/mm]
stimmt das?
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> Seien K ein Körper, V ein K-VR und [mm]\{v_1\dots v_n\}\subset V[/mm]
> linear unabhängig. Zeigen Sie, dass
> [mm]\{v_{1}+v_{2},v_{2}+v_{3},\dots,v_{n-1}+v_{n},v_{n}\}[/mm]
> l.u. ist
> Da [mm]\{v_1,\dots,v_n\}[/mm] linear unabhängig sind, gilt:
>
> [mm]\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}+\dots+\lambda_{n}v_{n}=0\Rightarrow\lambda_{i}=0\quad\forall i\in\{1,\dots,n\}[/mm]
Hallo,
soweit richtig.
>
>
Sei nun
> [mm]\lambda_{1}(v_{1}+v_{2})+\lambda_{2}(v_{2}+v_{3})+\dots+\lambda_{n-1}(v_{n-1}+v_{n})+\lambda_{n}v_{n}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\underbrace{\lambda_{1}}_{=0}v_{1}+\lambda_{1}v_{2}+\underbrace{\lambda_{2}}_{=0}v_{2}+\lambda_{2}v_{3}+\dots+\underbrace{\lambda_{n-1}}_{=0}v_{n-1}+\lambda_{n-1}v_{n}+\underbrace{\lambda_{n}}_{=0}v_{n}=0[/mm]
>
Die Klammern, die andeuten, daß die [mm] \lambda_i [/mm] =0 sein müssen, stimmen so nicht,
denn es steht ja in Deiner Gleichung
> > [mm]\lambda_{1}(v_{1}+v_{2})+\lambda_{2}(v_{2}+v_{3})+\dots+\lambda_{n-1}(v_{n-1}+v_{n})+\lambda_{n}v_{n}=0[/mm]
nirgendwo, daß [mm] \summe\lambda_iv_i=0 [/mm] sein soll. da hast Du Dir nur gewünscht...
Du mußt das anders machen. Sortiere Deine Gleichung so:
[mm] (...)v_1+(...)v_2+...+(...)v_n=0
[/mm]
==> ???
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Di 09.02.2010 | | Autor: | notinX |
> [mm]\Rightarrow\underbrace{\lambda_{1}}_{=0}v_{1}+\lambda_{1}v_{2}+\underbrace{\lambda_{2}}_{=0}v_{2}+\lambda_{2}v_{3}+\dots+\underbrace{\lambda_{n-1}}_{=0}v_{n-1}+\lambda_{n-1}v_{n}+\underbrace{\lambda_{n}}_{=0}v_{n}=0[/mm]
> >
>
> Die Klammern, die andeuten, daß die [mm]\lambda_i[/mm] =0 sein
> müssen, stimmen so nicht,
> denn es steht ja in Deiner Gleichung
> > >
> [mm]\lambda_{1}(v_{1}+v_{2})+\lambda_{2}(v_{2}+v_{3})+\dots+\lambda_{n-1}(v_{n-1}+v_{n})+\lambda_{n}v_{n}=0[/mm]
> nirgendwo, daß [mm]\summe\lambda_iv_i=0[/mm] sein soll. da hast Du
> Dir nur gewünscht...
aber das steht doch in der Voraussetzung, denn die Vektoren sind ja linear unabhängig, oder?
>
> Du mußt das anders machen. Sortiere Deine Gleichung so:
>
> [mm](...)v_1+(...)v_2+...+(...)v_n=0[/mm]
>
> ==> ???
[mm] $\lambda_{1}v_{1}+(\lambda_{1}+\lambda_{2})v_{2}+(\lambda_{2}+\lambda_{3})v_{3}+\dots+(\lambda_{n-1}+\lambda_{n})v_{n}+\lambda_{n}v_{n}=0$
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] da $ [mm] \{v_1,\dots,v_n\} [/mm] $ l.u. sind folgt:
[mm] $\lambda_{1}=(\lambda_{1}+\lambda_{2})=(\lambda_{2}+\lambda_{3})=\dots=(\lambda_{n-1}+\lambda_{n})=\lambda_{n}=0$ [/mm] ?
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Hallo [mm] $\notin [/mm] X$,
> >
> [mm]\Rightarrow\underbrace{\lambda_{1}}_{=0}v_{1}+\lambda_{1}v_{2}+\underbrace{\lambda_{2}}_{=0}v_{2}+\lambda_{2}v_{3}+\dots+\underbrace{\lambda_{n-1}}_{=0}v_{n-1}+\lambda_{n-1}v_{n}+\underbrace{\lambda_{n}}_{=0}v_{n}=0[/mm]
> > >
> >
> > Die Klammern, die andeuten, daß die [mm]\lambda_i[/mm] =0 sein
> > müssen, stimmen so nicht,
> > denn es steht ja in Deiner Gleichung
> > > >
> >
> [mm]\lambda_{1}(v_{1}+v_{2})+\lambda_{2}(v_{2}+v_{3})+\dots+\lambda_{n-1}(v_{n-1}+v_{n})+\lambda_{n}v_{n}=0[/mm]
> > nirgendwo, daß [mm]\summe\lambda_iv_i=0[/mm] sein soll. da hast
> Du
> > Dir nur gewünscht...
> aber das steht doch in der Voraussetzung, denn die
> Vektoren sind ja linear unabhängig, oder?
Ja, die LK der [mm] $v_i$ [/mm] des Nullvektors liefert für alle Koeffizienten $=0$
Aber die LK irgendeiner Summe der [mm] $v_i$ [/mm] noch lange nicht.
>
> >
> > Du mußt das anders machen. Sortiere Deine Gleichung so:
> >
> > [mm](...)v_1+(...)v_2+...+(...)v_n=0[/mm]
> >
> > ==> ???
>
> [mm]\lambda_{1}v_{1}+(\lambda_{1}+\lambda_{2})v_{2}+(\lambda_{2}+\lambda_{3})v_{3}+\dots+(\lambda_{n-1}+\lambda_{n})v_{n}\red{+\lambda_{n}v_{n}}=0[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Der letzte Summand ist zuviel
> [mm]\Rightarrow[/mm] da [mm]\{v_1,\dots,v_n\}[/mm] l.u. sind folgt:
>
> [mm]\lambda_{1}=(\lambda_{1}+\lambda_{2})=(\lambda_{2}+\lambda_{3})=\dots=(\lambda_{n-1}+\lambda_{n})=\red{\lambda_{n}}=0[/mm]
Das rote Ding ist wieder zuviel ...
> ?
Ganz recht!
Was ist also die Quintessenz?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Di 09.02.2010 | | Autor: | notinX |
Achso...
Ich danke euch.
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