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| Aufgabe | [mm] (b_1,...,b_n) [/mm] heißt Basis von V, wenn gilt:
1) linear unabhängig
2) bilden Erzeugendensystem
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Meine Frage:
Im befinde mich z.B. in V mit dim=3.
Angenommen ich habe [mm] b_1, b_2 [/mm] Vektoren, die sind linear unabhängig.
Verstehe ich das richtig, dass der Zusatz Erzeugendensystem meint, dass ich in diesem Fall 3 Vektoren brauche und damit es ein Erzeugendensystem ist die anderen beiden ergänzen muss?
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Hallo,
> [mm](b_1,...,b_n)[/mm] heißt Basis von V, wenn gilt:
> 1) linear unabhängig
> 2) bilden Erzeugendensystem
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> Meine Frage:
> Im befinde mich z.B. in V mit dim=3.
>
> Angenommen ich habe [mm]b_1, b_2[/mm] Vektoren, die sind linear
> unabhängig.
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> Verstehe ich das richtig, dass der Zusatz Erzeugendensystem
> meint, dass ich in diesem Fall 3 Vektoren brauche und damit
> es ein Erzeugendensystem ist die anderen beiden ergänzen
> muss?
$\ [mm] span(b_1,b_2) [/mm] $ ist Erzeugendensystem von $\ V [mm] \gdw [/mm] V = [mm] span(b_1,b_2) [/mm] = [mm] \{\lambda_1 b_1 + \lambda_2 b_2 : \lambda_{1,2} \in \IK \}$
[/mm]
D.h. jeder Vektor aus $\ V $ lässt sich als Linearkombination von $\ [mm] b_1, b_2 [/mm] $ darstellen.
Einen Vektorraum der Dimension $\ 3 $, kannst du nur mit mindestens $\ 3 $ linear unabhängigen Vektoren erzeugen (minimales Erzeugendensystem).
Ein Erzeugendensystem muss aber nicht maximal linear unabhängig sein.
D.h. du kannst einen dreidimensionalen Vektorraum $\ V $ auch durch mehr als drei Vektoren erzeugen. Unter diesen Vektoren sind aber maximal $\ 3 $ Vektoren linear unabhängig. Und gerade diese drei Vektoren (minimal Erzeugend + maximal linear unabhängig) sind (d)eine Basis von $\ V $.
Grüße
ChopSuey
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