Lineare Unabhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
| Aufgabe | Sei [mm] \produkt [/mm] 4 der [mm] \IR [/mm] Vektorraum der der Polynome vom Höchstgrad 4. Sind die folgenden 4 Polynome
a1(x)= [mm] x^4 [/mm] - 2x -1
a2(x)= [mm] 3x^4 -2x^3 [/mm] + [mm] 5x^2 [/mm] -2
a3(x)= [mm] x^3 +x^2 [/mm] +x
a4(x)= [mm] 7x^2 [/mm] + 8x +1
linear unahängig? Begründe deine Antwort! |
Also ich habe bis jetztt folgendes:
Sind [mm] \lambda [/mm] 1, ....., [mm] \lambda [/mm] 4 [mm] \in \IR [/mm] und ist [mm] \lambda [/mm] 1 [mm] v1+....+\lambda4 [/mm] v4=0
so folgt
[mm] \lambda [/mm] 1=....= [mm] \lambda [/mm] 4 =0
Also: 0= [mm] \summe_{i=1}^{4} \lambda [/mm] i * a i (x)= [mm] \lambda [/mm] 1 [mm] (x^4-2x-1) [/mm] + [mm] \lambda [/mm] 2 [mm] (3x^4-2x^3+5x^2-2) [/mm] + [mm] \lambda [/mm] 3 [mm] (x^3+x^2+x) [/mm] + [mm] \lambda [/mm] 4 [mm] (7x^2+8x+1)
[/mm]
Wie gehts nun weiter? :S
Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Bilmem,
> Sei [mm]\produkt[/mm] 4 der [mm]\IR[/mm] Vektorraum der der Polynome vom
> Höchstgrad 4. Sind die folgenden 4 Polynome
>
> a1(x)= [mm]x^4[/mm] - 2x -1
> a2(x)= [mm]3x^4 -2x^3[/mm] + [mm]5x^2[/mm] -2
> a3(x)= [mm]x^3 +x^2[/mm] +x
> a4(x)= [mm]7x^2[/mm] + 8x +1
>
> linear unahängig? Begründe deine Antwort!
> Also ich habe bis jetztt folgendes:
>
> Sind [mm]\lambda[/mm] 1, ....., [mm]\lambda[/mm] 4 [mm]\in \IR[/mm] und ist [mm]\lambda[/mm] 1
> [mm]v1+....+\lambda4[/mm] v4=0
> so folgt
>
> [mm]\lambda[/mm] 1=....= [mm]\lambda[/mm] 4 =0
>
> Also: 0= [mm]\summe_{i=1}^{4} \lambda[/mm] i * a i (x)= [mm]\lambda[/mm] 1
> [mm](x^4-2x-1)[/mm] + [mm]\lambda[/mm] 2 [mm](3x^4-2x^3+5x^2-2)[/mm] + [mm]\lambda[/mm] 3
> [mm](x^3+x^2+x)[/mm] + [mm]\lambda[/mm] 4 [mm](7x^2+8x+1)[/mm]
Besser:
[mm]0= \summe_{i=1}^{4} \lambda_{i} * a_{i}(x)= \lambda_{1}
(x^4-2x-1) + \lambda_{2}(3x^4-2x^3+5x^2-2) + \lambda_{3}(x^3+x^2+x)+\lambda_{4}(7x^2+8x+1)[/mm]
>
> Wie gehts nun weiter? :S
Führe dies auf die lineare Unabhängigkeit von [mm]1, \ x, \ x^{2}, \ x^{3}, \ x^{4}[/mm] zurück.
Das heisst, auf die Gleichung
[mm]a*1+b*x+c*x^{2}+d*x^{3}+e*x^{4}=0[/mm]
mit [mm]a=b=c=d=e=0[/mm]
Sortiere demnach Deine erhalten Gleichung nach x-Potenzen.
>
> Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
Heißt es, dass [mm] \lambda [/mm] = 0 ist? Wie beweise ich es? :S
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Hallo Bilmem,
> Heißt es, dass [mm]\lambda[/mm] = 0 ist? Wie beweise ich es? :S
Aus der Zurückführung Deiner Gleichung auf die Gleichung
[mm]a*1+b*x+c*x^{2}+d*x^{3}+e*x^{4}=0[/mm]
erhältst Du ein Gleichungssystem für [mm]\lambda_{i}, \ i=1,2,3,4[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
Wie meinst du das?
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> Wie meinst du das?
Hallo,
Du sollst die rechte Seite von
$ 0= [mm] \lambda_{1} (x^4-2x-1) [/mm] + [mm] \lambda_{2}(3x^4-2x^3+5x^2-2) [/mm] + [mm] \lambda_{3}(x^3+x^2+x)+\lambda_{4}(7x^2+8x+1) [/mm] $
nach Potenzen von x sortieren, also schreiben
0= [mm] (...)*x^4+(...)*x^3+(...=*x^2+(...)*x+(....)*1.
[/mm]
Wenn Du nun nutzt, daß die vier vektoren [mm] 1,x,x^2,x^3 [/mm] und [mm] x^4 [/mm] linear unabhängig sind, bekommst Du, daß jededer Klammern =0 ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
Ich habe jetzt folgendes:
0 = [mm] (\lambda_1 [/mm] + 3 [mm] \lambda_2) [/mm] * [mm] x^4 [/mm] + (-2 [mm] \lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3) [/mm] * [mm] x^3 [/mm] +(5 [mm] \lambda_2 +\lambda_3 [/mm] +7 [mm] \lambda_4 [/mm] ) [mm] *x^2 [/mm] + (-2 [mm] \lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] + 8 [mm] \lambda_4 [/mm] ) * x + (-1-2+1) *1
Ist das so richtig ?
Wie mache ich das jetzt mit den Vektoren? :S
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> Ich habe jetzt folgendes:
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> 0 = [mm](\lambda_1[/mm] + 3 [mm]\lambda_2)[/mm] * [mm]x^4[/mm] + (-2 [mm]\lambda_2[/mm] +
> [mm]\lambda_3)[/mm] * [mm]x^3[/mm] +(5 [mm]\lambda_2 +\lambda_3[/mm] +7 [mm]\lambda_4[/mm] )
> [mm]*x^2[/mm] + (-2 [mm]\lambda_1[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] + 8 [mm]\lambda_4[/mm] ) * x +
> [mm] (-1*\red{\lambda_1}-2*\red{\lambda_2}+1\red{\lambda_4}) [/mm] *1
>
> Ist das so richtig ?
Hallo,
ich hab' jetzt nicht jeden Summanden in den Klammern einzeln nachgeprüft, aber auf jeden Fall hast Du verstanden, was ist von Dir wollte.
>
> Wie mache ich das jetzt mit den Vektoren? :S
Ich hatte doch geschreiben, wie es weitergeht:
weil die Vektoren (=Elemente des VRes) 1, x, [mm] x^2, x^4 [/mm] linear unabhängig sind, müssen alle klammern =0 sein.
Das liefert Dir ein Gleichungssystem.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:07 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
Warum sind [mm] 1,x,x^2, x^3, x^4 [/mm] denn linear abhängig? Wie kann ich das beweisen, wie bekomme ich den Nullvektor heraus??
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 22:17 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
Dann müsste ja folgendes sein:
[mm] x=x^2=x^3=x^4=1=0 [/mm] oder? :S
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> Dann müsste ja folgendes sein:
>
> [mm]x=x^2=x^3=x^4=1=0[/mm] oder? :S
Hallo,
vielleicht liest Du Dir meine Antwort nochmal durch.
Habe ich irgendwo gesagt, daß man die x-Potenzen =0 setzen muß?
Gruß v. Angela
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> Warum sind [mm]1,x,x^2, x^3, x^4[/mm] denn linear abhängig? Wie
> kann ich das beweisen, wie bekomme ich den Nullvektor
> heraus??
Hallo,
ich würde vorschlagen, daß Du erstmal in Deinem Skript/Mitschrift nachschlägst. Ich bin mir sehr sicher, daß Ihr die Dimension (und damit auch eine Basis) des VRes der Polynome vom Höchstgrad n behandelt habt.
Rückfragen zum nachgearbeiteten dann gerne.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
Also ich habe jetzt folgende Gleichungen:
1. [mm] \lambda_1 [/mm] + 3 [mm] \lambda_2 [/mm] = 0
2. -2 [mm] \lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] = 0
3. 5 [mm] \lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] + 7 [mm] \lambda_4 [/mm] = 0
4. -2 [mm] \lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] + 8 [mm] \lambda_4 [/mm] = 0
5. - [mm] \lambda_1 [/mm] - 2 [mm] \lambda_2 [/mm] + 1 [mm] \lambda_4 [/mm] = 0
--> [mm] \lambda_1 [/mm] = -3 [mm] \lambda_2
[/mm]
--> 5. minus 4 --> -7 [mm] \lambda_4 [/mm] = 0 [mm] \lambda_4= [/mm] 0
--> 3. minus 2. --> [mm] 7\lambda_2 [/mm] = 0 [mm] \lambda_2 [/mm] = 0
[mm] \lambda_1= [/mm] -3 [mm] \lambda_2
[/mm]
[mm] \lambda_1 [/mm] = 0
-2 [mm] \lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] = 0 2 *0 = [mm] \lambda_3
[/mm]
somit bekomme ich für alle lambdas 0 heraus. ist das so richtig??
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> Also ich habe jetzt folgende Gleichungen:
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> 1. [mm]\lambda_1[/mm] + 3 [mm]\lambda_2[/mm] = 0
> 2. -2 [mm]\lambda_2[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] = 0
> 3. 5 [mm]\lambda_2[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] + 7 [mm]\lambda_4[/mm] = 0
> 4. -2 [mm]\lambda_1[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] + 8 [mm]\lambda_4[/mm] = 0
> 5. - [mm]\lambda_1[/mm] - 2 [mm]\lambda_2[/mm] + 1 [mm]\lambda_4[/mm] = 0
>
> --> [mm]\lambda_1[/mm] = -3 [mm]\lambda_2[/mm]
> --> 5. minus 4 --> -7 [mm]\lambda_4[/mm] = 0 [mm]\lambda_4=[/mm] 0
> --> 3. minus 2. --> [mm]7\lambda_2[/mm] = 0 [mm]\lambda_2[/mm] = 0
>
> [mm]\lambda_1=[/mm] -3 [mm]\lambda_2[/mm]
> [mm]\lambda_1[/mm] = 0
>
> -2 [mm]\lambda_2[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] = 0 2 *0 = [mm]\lambda_3[/mm]
>
> somit bekomme ich für alle lambdas 0 heraus. ist das so
> richtig??
Hallo,
ja.
Was weißt Du jetzt?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:36 Do 20.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
jetzt weiß ich dass lineare unabhängigkeit vorliegt!
Und die [mm] x^4 [/mm] etc.. muss ich weiter nicht beachten ?
das wärs dann ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:40 Do 20.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> jetzt weiß ich dass lineare unabhängigkeit vorliegt!
>
> Und die [mm]x^4[/mm] etc.. muss ich weiter nicht beachten ?
>
> das wärs dann ?
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Di 25.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
mir ist aufgefallen dass ich das gleichungssystem falsch aufgelöst habe...
könnte das bitte jemand jetzt kontrollieren ? ich muss die aufgabe votragen .. das wäre wirklich nett:
1. [mm] \lambda [/mm] 1 + 3 [mm] \lambda2= [/mm] 0 -> [mm] \lambda1= -3\lambda2
[/mm]
2. [mm] \lambda3= [/mm] 2 [mm] \lambda2
[/mm]
3. 5 [mm] \lambda2+ \lambda3 [/mm] + 7 [mm] \lambda4=0
[/mm]
4. ..
5. - [mm] \lambda1- [/mm] 2 [mm] \lambda2+ \lambda4=0
[/mm]
[mm] \lambda3 [/mm] in die dritte gleichung setzen:
[mm] \lambda2= [/mm] - [mm] \lambda4
[/mm]
wenn ich jetzt lambda1, lambda2 in die 5 gleichung einsetze, erhalte ich:
3 [mm] \lambda2 [/mm] - 2 [mm] \lambda2 [/mm] - [mm] \lambda2=0
[/mm]
0=0
das ist ja eine wahre aussage kann ich daraus folgern dass dieses lineare system trotzdem linear unabhängig ist ? das verwirrt mich bischen ..
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Hallo Bilmem,
> mir ist aufgefallen dass ich das gleichungssystem falsch
> aufgelöst habe...
>
> könnte das bitte jemand jetzt kontrollieren ? ich muss die
> aufgabe votragen .. das wäre wirklich nett:
>
> 1. [mm]\lambda[/mm] 1 + 3 [mm]\lambda2=[/mm] 0 -> [mm]\lambda1= -3\lambda2[/mm]
> 2.
> [mm]\lambda3=[/mm] 2 [mm]\lambda2[/mm]
> 3. 5 [mm]\lambda2+ \lambda3[/mm] + 7 [mm]\lambda4=0[/mm]
> 4. ..
> 5. - [mm]\lambda1-[/mm] 2 [mm]\lambda2+ \lambda4=0[/mm]
>
> [mm]\lambda3[/mm] in die dritte gleichung setzen:
>
> [mm]\lambda2=[/mm] - [mm]\lambda4[/mm]
>
> wenn ich jetzt lambda1, lambda2 in die 5 gleichung
> einsetze, erhalte ich:
>
> 3 [mm]\lambda2[/mm] - 2 [mm]\lambda2[/mm] - [mm]\lambda2=0[/mm]
>
> 0=0
>
> das ist ja eine wahre aussage kann ich daraus folgern dass
> dieses lineare system trotzdem linear unabhängig ist ? das
> verwirrt mich bischen ..
Nein, das kannst Du nicht folgern, weil es außer der
trivialen Lösung noch andere Lösungen gibt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Di 25.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
Wie müsste ich dann vorgehen ? :(
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Hallo Bilmem,
> Wie müsste ich dann vorgehen ? :(
Die Lösungsmenge des aufgestellten Gleichunssystems bestimmen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Di 25.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
okay und wie kann ich das machen ?
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Hallo,
am besten postest Du jetzt mal Dein Gleichungssystem und das, was Du damit getan hast.
Da Du im Hochschulbereich postest, sollte Dir das Gaußverfahren ein Begriff sein:
stelle also die Koeffizientenmatrix des Systems auf, bring sie in Zeilenstufenform oder besser noch in reduzierte Zeilenstufenform.
Bei der Interpretation können wi dann helfen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Di 25.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
da kommt überall 0=0 raus.. ich versteh das nicht..was mach ich denn falsch :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 Mi 26.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> da kommt überall 0=0 raus.. ich versteh das nicht..was
> mach ich denn falsch :(
dann musst Du Dich "vor allem auf die anderen Gleichungen konzentrieren", da die Gleichung [mm] $0=0\,$ [/mm] immer gilt, egal, was mit den [mm] $\lambda_1,\ldots,\lambda_4$ [/mm] ist. (Es gibt Begriffe wie den der redundanten Gleichung, das sind Gleichungen in einem GLS, die die Lösungsmenge des GLS unverändert lassen, wenn man sie aus dem GLS entfernt.)
Angela hat Dir aber schon gesagt, was Du tun sollst: siehe hier.
Du kennst sowas aber doch schon:
Betrachte mal zwei Ebenen:
[mm] $$E_1=\{(x,y,z) \in \IR^3: x+y+z=1\}\,,$$
[/mm]
und
[mm] $$E_2=\{(x,y,z) \in \IR^3: x+2y+2z=2\}\,.$$
[/mm]
Wir wollen die Schnittmenge bestimmen, also
[mm] $$S=\{(x,y,z): (x,y,z) \in E_1 \text{ und (gleichzeitig) }(x,y,z) \in E_2\}\,.$$
[/mm]
Dann wird ein solches [mm] $(x,y,z)\,$ [/mm] aus [mm] $S\,$ [/mm] charakterisiert durch die beiden Gleichungen
[mm] $$1.)\;\; x+y+z=1\,,$$
[/mm]
[mm] $$2.)\;\; x+2y+2z=2\,.$$
[/mm]
Zieht man von 2.) die Gleichung $1.)$ ab, so verbleibt nur
[mm] $$2\,')\;\;y+z=1\,.$$
[/mm]
Dies liefert das GLS
[mm] $$1'=1.)\;\; x+y+z=1\,,$$
[/mm]
[mm] $$2\,')\;\;y+z=1\,.$$
[/mm]
Damit ist $x=0$ (folgt aus 2') - 1')) und zwischen [mm] $y,z\,$ [/mm] besteht die koppelnde Beziehung
[mm] $$z=1-y\,,$$
[/mm]
so dass man [mm] $S\,$ [/mm] schreiben kann als
[mm] $$S=\{(0,y,1-y): y \in \IR\}\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$S=\{(0,0,1)+y*(0,1,-1): y \in \IR)\}\,,$$
[/mm]
was offenbar eine Gerade des [mm] $\IR^3$ [/mm] ist.
Nun bzgl. Deiner Aufgabe:
Schlage bitte unbedingt nach, wann ein Gleichungssystem
$$Ax=b$$
lösbar, unlösbar oder eindeutig lösbar ist. Das kann man mithilfe des Ranges der um die Spalte [mm] $b\,$ [/mm] erweiterten Matrix $A'=(A|b)$ feststellen. (Tipp: ![[]](/images/popup.gif) Gawronski, Grundlagen der linearen Algebra; kostet knapp 3 Euro und den Satz findest Du dort auf Seite 164, Satz 4.1.3).
Mach' Dir auch klar, was das mit dem Gaußverfahren zu tun hat. Dann verstehst Du auch, was Angela hier von Dir will, und noch wichtiger: Du verstehst auch, wie mein obiges "geometrisches Beispiel" mit algebraischen Überlegungen zusammenhängt. Das wichtigste aber überhaupt: Du lernst, wie man (homogene oder inhomogene) lineare Gleichungssysteme überhaupt "strukturiert algorithmisch so behandelt, dass das Ergebnis 'einfach' interpretierbar ist".
P.S.:
Mal ein anderes Beispiel:
Betrachte das GLS
1.) $x+y+z=1$
2.) $2x+y-z=1$
3.) $2x+3y+5z=3$
4.) $2y+6z=2$
Da stehen 4 Gleichungen in 3 Variablen, daher denkt man vielleicht zunächst, dass das GLS nicht lösbar ist, oder bestenfalls nur eine Lösung hat (Lösung im Sinne von Lösungstripel [mm] $(x,y,z)\,$). [/mm] Weil aber
3.) nichts anderes ist als
das Vierfache von 1.) [mm] $-\,$ [/mm] 2.)
und
4.) nichts anderes ist als
3.) [mm] $-\,$ [/mm] 2.)
kann man das Gleichungssystem auf z.B. die ersten beiden reduzieren, ohne dessen Lösungsmenge zu verändern. Dies würde man auch am Ergebnis des Gaußalgorithmus erkennen, wobei man hier zuvor vielleicht besser die Zeilen vertauscht, also 2.) als erste Zeile der entsprechenden Matrix zugrundelegt.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:22 Mi 26.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> mir ist aufgefallen dass ich das gleichungssystem falsch
> aufgelöst habe...
>
> könnte das bitte jemand jetzt kontrollieren ? ich muss die
> aufgabe votragen .. das wäre wirklich nett:
dann wäre es vielleicht sinnvoll, wenn Du Stichwortartig hier mal vorführst, wie Du nun die Aufgabe gelöst hast.
> 1. [mm]\lambda[/mm] 1 + 3 [mm]\lambda2=[/mm] 0 -> [mm]\lambda1= -3\lambda2[/mm]
> 2.
> [mm]\lambda3=[/mm] 2 [mm]\lambda2[/mm]
> 3. 5 [mm]\lambda2+ \lambda3[/mm] + 7 [mm]\lambda4=0[/mm]
> 4. ..
> 5. - [mm]\lambda1-[/mm] 2 [mm]\lambda2+ \lambda4=0[/mm]
>
> [mm]\lambda3[/mm] in die dritte gleichung setzen:
>
> [mm]\lambda2=[/mm] - [mm]\lambda4[/mm]
>
> wenn ich jetzt lambda1, lambda2 in die 5 gleichung
> einsetze, erhalte ich:
>
> 3 [mm]\lambda2[/mm] - 2 [mm]\lambda2[/mm] - [mm]\lambda2=0[/mm]
>
> 0=0
>
> das ist ja eine wahre aussage kann ich daraus folgern dass
> dieses lineare system trotzdem linear unabhängig ist ? das
> verwirrt mich bischen ..
Ein lineares System soll linear unabhängig sein? Welches meinst Du?
Ich kann Dir aber nochmal kurz ein Resümee geben, was Du hier eigentlich machst:
Wissen solltest Du: Für die Polynome [mm] $p_0,p_1,p_2,\ldots$ [/mm] mit
[mm] $$p_k: \IR \to \IR \text [/mm] { mit [mm] }p_k(x):=x^k\;(x \in \IR),\; [/mm] k [mm] \in \IN_0$$
[/mm]
gilt, dass sie ein linear unabhängiges System im [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] aller Funktionen [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] bilden. Wie die Addition und die Multiplikation auf diesem definiert sind ("punktweise"), siehe etwa hier.
Die erwähnte lineare Unabhängigkeit obigens Systems bedeutet definitionsgemäß: Ist $E [mm] \subseteq \IN_0$ [/mm] eine endliche Menge, so bildet die Familie [mm] $(p_j)_{j \in E}$ [/mm] ein linear unabhängiges System; man sagt auch: Die [mm] $p_j$ [/mm] ($j [mm] \in [/mm] E$) sind linear unabhängig, bzw. wenn $|E|=n$ und [mm] $E=\{e_1,\ldots,e_n\}$ [/mm] ist:
[mm] $p_{e_1},\ldots,p_{e_n}$ [/mm] sind linear unabhängig.
[mm] $\produkt [/mm] 4$ ist ein Unterraum des [mm] $\IR$-Vektorraums [/mm] aller Funktionen [mm] $\IR \to \IR\,.$ [/mm] (Warum?) Bekannt sein sollte, bzw. Du solltest Dir klarmachen:
Die (endliche) Familie [mm] $(p_0,\ldots,p_4)$ [/mm] bildet eine Basis dieses 5-dimensionalen Unterraums.
Nun hast Du andere Funktionen [mm] $a_1,\dots,a_4$ [/mm] gegeben, welche jeweils Linearkombinationen dieser fünf Polynome (Polynomfunktionen) des obigen Basissystems sind. Diese hast Du auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen.
Dazu machst Du den Ansatz
[mm] $$(\star)\;\;\;\summe_{k=1}^4 \lambda_k a_k=O\,,$$
[/mm]
d.h.
[mm] $$\summe_{k=1}^4 \lambda_k a_k(x)=O(x)\,,$$
[/mm]
für alle $x [mm] \in \IR\,,$ [/mm] wobei [mm] $O(x)=0\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR\,,$ [/mm] d.h. [mm] $O\,$ [/mm] ist das Nullpolynom [mm] $\IR \to \IR\,.$ [/mm]
Durch Umsortieren bringst Du dieses GLS in eine Form
[mm] $$\sum_{j=0}^4 \mu_j p_j=O\,,$$
[/mm]
wobei die [mm] $\mu_j$ [/mm] in Abhängigkeit der [mm] $\lambda_k$ [/mm] stehen. (Ein [mm] $\mu_j$ [/mm] hängt allerdings durchaus von mehreren [mm] $\lambda_k$ [/mm] ab, d.h. [mm] $\mu_0=\mu_0(\lambda_1,\ldots,\lambda_4)\,,$ $\mu_1=\mu_1(\lambda_1,\ldots,\lambda_4)\,,$ [/mm] etc. pp. )
Weil man [mm] $O\,$ [/mm] in eindeutiger Weise schreiben kann als
[mm] $$O=0*p_0+0*p_1+0*p_2+0*p_3+0*p_4\,,$$
[/mm]
liefert [mm] $(\star)$ [/mm] dann, weil zwei Polynome genau dann identisch sind, wenn die Faktoren vor den Monomen [mm] $p_k$ [/mm] ($k [mm] \in \IN_0$) [/mm] alle gleich sind [mm] ($\to$ [/mm] Analysis):
[mm] $$\mu_0=0\,,$$
[/mm]
[mm] $$\mu_1=0\,,$$
[/mm]
$$.$$
$$.$$
$$.$$
[mm] $$\mu_4=0\,,$$
[/mm]
und weil jedes dieser [mm] $\mu_j$ [/mm] in Abhängigkeit der [mm] $\lambda_1,\ldots,\lambda_4$ [/mm] steht, ein Gleichungssystem bestehend aus [mm] $5\,$ [/mm] Gleichungen in den vier Variablen [mm] $\lambda_1,\ldots,\lambda_4\,,$ [/mm] welches wir, wenn wir nochmal einen Blick auf [mm] $(\star)$ [/mm] werfen, ja gebrauchen können. Denn die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems in den Variablen [mm] $\lambda_1,\ldots,\lambda_4$ [/mm] sagt uns ja gerade, ob [mm] $(\star)$ [/mm] nur für [mm] $\lambda_1=\ldots=\lambda_4=0$ [/mm] lösbar ist, oder ob es neben dieser "trivialen Lösung" auch andere gibt.
Wenn Du das bis dahin verstanden hast, dann kannst Du die Aufgabe auch vernünftig vortragen und überhaupt auch erklären, wie Du zu dem obigen Gleichungssystem gekommen bist und was der Sinn des Aufstellens dieses GLS ist.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:59 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
upps die letzte klammer ist falsch
(- [mm] \lambda_1 [/mm] - 2 [mm] \lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_4 [/mm] ) * 1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
Ich verstehe nicht so ganz, wie ich das Gleichungssystem aufbauen soll. Sieht es denn nachher so aus :
[mm] \lambda_1 [/mm] = .....
[mm] \lambda_2= [/mm] .....
[mm] \lambda_3=....
[/mm]
[mm] \lambda_4=.....
[/mm]
????
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