Lineare Unabhängigkeit < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Fr 25.11.2011 | | Autor: | yangwar |
| Aufgabe | | Wenn (v1,v2,v3) unabhängig ist, dann (v1+v2,v2+v3,v3+v1+v2) linear unabhängig. |
Diese Aussage muss ich beweisen oder widerlegen. Ich bin mir noch ein bisschen unsicher mit dem Zeigen von linearer Unabhängigkeit.
Beispielsweise kann ich doch drei Vektoren nehmen:
v1=(0,1,0);v2=(1,0,1);v3=(2,1,2). Diese wären doch linear unabhängig.
Die neuen Vektoren sind dann v1+v2=(1,1,1);v2+v3=(3,2,3),v3+v1+v3=(3,2,3).
Folglich ist der zweite und der dritte gleich, also nicht mehr linear unabhängig.
Oder sind die ersen Vektoren linear abhängig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Wenn (v1,v2,v3) unabhängig ist, dann
> (v1+v2,v2+v3,v3+v1+v2) linear unabhängig.
> Diese Aussage muss ich beweisen oder widerlegen. Ich bin
> mir noch ein bisschen unsicher mit dem Zeigen von linearer
> Unabhängigkeit.
> Beispielsweise kann ich doch drei Vektoren nehmen:
> v1=(0,1,0);v2=(1,0,1);v3=(2,1,2). Diese wären doch linear
> unabhängig.
Hallo,
nein, diese 3 Vektoren sind linear abhängig:
es ist doch [mm] v_1+2v_2-v_3=0, [/mm] dh. es gibt eine nichttriviale Linearkombination der drei Vektoren, welche den Nullvektor ergibt.
> Die neuen Vektoren sind dann
> v1+v2=(1,1,1);v2+v3=(3,2,3),v3+v1+v3=(3,2,3).
> Folglich ist der zweite und der dritte gleich, also nicht
> mehr linear unabhängig.
> Oder sind die ersen Vektoren linear abhängig?
Ja.
Tip zum Lösen der Aufgabe:
Vorausgesetzt wird, daß [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] linear unabhängig sind, dh
aus [mm] \lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3=0 [/mm] folgt [mm] \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0
[/mm]
Du mußt nun herausfinden, ob aus
[mm] \mu_1(v_1+v_2)+\mu_2(v_2+v_3)+\mu_3(v_3+v_1+v_2)=0 [/mm] folgt,
daß die [mm] \mu_i=0 [/mm] sind.
Sei also [mm] \mu_1(v_1+v_2)+\mu_2(v_2+v_3)+\mu_3(v_3+v_1+v_2)=0.
[/mm]
[mm] \mu_1(v_1+v_2)+\mu_2(v_2+v_3)+\mu_3(v_3+v_1+v_2)=0
[/mm]
<==>
[mm] (...)v_1+(...)v_2+(...)v_3=0.
[/mm]
Wenn Du hier angekommen bist, kannst Du die Voraussetzung verwenden...
Gruß v. Angela
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:01 Fr 25.11.2011 | | Autor: | yangwar |
In den Klammern steht dann praktisch 0. v1+v2 ist linear unabhängig.
Also delta*v1+delta2*v2=0.
Somit steht: u1(0)+u2(0)+u3(0)=0
Daraus kann ich nun folgern, dass sie linear unabhängig sind?
eigentlich muss ich doch zeigen, dass u1=u2=u3=0
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> In den Klammern steht dann praktisch 0.
Hallo,
mach mal vor, wie Du von meiner Gleichung ausgehend weitergerechnet hast.
Ich will sehen, was genau in den Klammern steht.
> v1+v2 ist linear
> unabhängig.
Irgendwie hast Du etwas völlig falsch verstanden.
[mm] v_1+v_2 [/mm] ist ein einziger Vektor!
Beantworten sollst Du die frage, ob die drei Vektoren [mm] v_1+v_2, v_2+v_3 [/mm] und [mm] v_1+v_2+v_3 [/mm] linear unabhängig sind, wenn die drei Vektoren [mm] v_1, v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] linear unabhängig sind.
> Also delta*v1+delta2*v2=0.
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> Somit steht: u1(0)+u2(0)+u3(0)=0
> Daraus kann ich nun folgern, dass sie linear unabhängig
> sind?
> eigentlich muss ich doch zeigen, dass u1=u2=u3=0
Von welchen u's redest Du gerade? Wie sind die definiert?
Bitte poste Deine Gedanken zusammenhängend.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Fr 25.11.2011 | | Autor: | yangwar |
Also v1,v2,v3 sind linear unabhängig.
Somit gilt a1*v1+a2*v2+a3*v3=0 mit a1=a2=a3=0 als einzige Lösung.
Jetzt muss nachgewiesen werden, dass aus b1(v1+v2)+b2*(v2+v3)+b3*(v3+v1+v2)=0 folgt, dass b1=b2=b3=0 ist.
Ich hätte jetzt gedacht. Da a1=a2=0 gilt auch, dass a1*v1+a2*v2=0
Ich hätte also in die Klammer a1 und a2 hinzugefügt und gesagt, dass dies null ist.
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> Also v1,v2,v3 sind linear unabhängig.
> Somit gilt a1*v1+a2*v2+a3*v3=0 mit a1=a2=a3=0 als einzige
> Lösung.
Hallo,
ja genau. Das ist lineare Unabhängigkeit.
Entscheidend ist, daß [mm] a_1=a_2=a_3=0 [/mm] wirklich die einzige Lösung ist.
Denn daß 0*v1+0*v2+0*v3=0, ist ja jetzt wirklich - trivial.
>
> Jetzt muss nachgewiesen werden, dass aus
> b1(v1+v2)+b2*(v2+v3)+b3*(v3+v1+v2)=0 folgt, dass b1=b2=b3=0
> ist.
Ganz genau.
>
> Ich hätte jetzt gedacht. Da a1=a2=0 gilt auch, dass
> a1*v1+a2*v2=0
Es gilt nicht [mm] a_1=a_2=0.
[/mm]
Es gilt: sofern a1*v1+a2*v2+a3*v3=0 gilt, ist [mm] a_1=a_2=a_3 [/mm] die einzige Lösung.
> Ich hätte also in die Klammer a1 und a2 hinzugefügt und
> gesagt, dass dies null ist.
Wir gehen aus von
> b1(v1+v2)+b2*(v2+v3)+b3*(v3+v1+v2)=0
Jetzt klammere mal [mm] v_1, v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] aus und schreib es als
[mm] (...)v_1+(...)v_2+(...)v_3=0
[/mm]
In den Klammern stehen Summen von b's.
Und wenn Du das hast, kommt die lineare Unabhängigkeit der [mm] v_i [/mm] ins Spiel: dann weißt Du etwas über die drei Klammern.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Fr 25.11.2011 | | Autor: | yangwar |
ok. Dann muss ich also zuerst die b1,b2,b3 in die Klammer multiplizieren, dann die v1,v2,v3 ausklammern und erhalte:
v1(b1+b3)+v2(b1+b2+b3)+v3(b2+b3).
Wir haben angenommen, dass diese 3 vektoren linear unabhängig sind, somit ist auch die "Verkettung" linear unabhängig. Mit der Begründung das b1+b3=a1 aufgefasst werden kann bzw. es eine andere Darstellung ist?
Dann habe ich noch eine weitere Frage:
(v1,v2) ist linear unabhängig genau dann, wenn (v1+v2, v1-v2) linear unabhängig.
Ich möchte dies mit einem Gegenbeispiel widerlegen.
Aber ich finde keine Vektoren:
v1(0,1) und v2(1,0) sind linear unabhängig. v1+v2=(1,1) v1-v2=-1,1.
Die wären aber auch wieder linear unabhängig.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Fr 25.11.2011 | | Autor: | Stoecki |
es gilt:
[mm] a_{1}*v_{1} [/mm] + [mm] a_{2}*v_{2} [/mm] = 0 => [mm] a_{1} [/mm] = [mm] a_{2} [/mm] = 0
betrachte nun:
[mm] b_{1}*(v_{1}+ v_{2}) [/mm] + [mm] b_{2}*(v_{1} [/mm] - [mm] v_{2}) [/mm] = 0
<=>
[mm] (b_{1}+b_{2})*v_{1} [/mm] + [mm] (b_{1} [/mm] - [mm] b_{2})*v_{2} [/mm] = 0
=> [mm] b_{1}+b_{2} [/mm] = 0 und [mm] (b_{1} [/mm] - [mm] b_{2}) [/mm] = 0 (wegen [mm] v_{1}, v_{2} [/mm] l.u.)
für welche [mm] b_{i} [/mm] gilt das?
wenn ein gegenbeispiel nicht funktioniert, gibt es genau zwei mögliche erklärungen: das gegenbeispiel war nicht das richtige und es gibt keins 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Fr 25.11.2011 | | Autor: | yangwar |
Das gilt, sofern ich das jetzt richtig überblicke nur für b1 und b2=0.
Das wäre aber seltsam. Eine meiner beiden Aussagen ist aber laut Aufgabenstellung falsch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Fr 25.11.2011 | | Autor: | Stoecki |
wie lautet denn wörtlich deine aufgabenstellung?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 Fr 25.11.2011 | | Autor: | yangwar |
(v1,v2) ist linear unabängig genau dann, wenn (v1+v2,v1-v2) linear unabhängig ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 Fr 25.11.2011 | | Autor: | Stoecki |
das meinte ich eig nicht. wie genau kommst du darauf, dass eine der aussagen falsch sein muss?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 Fr 25.11.2011 | | Autor: | yangwar |
b1-b2=0
Wenn ich für b1 eine Zahl einsetze, dann muss b2 das additiv inverse sein.
2+(-2)=0
b1-b2=0
2-(-2)=4
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Fr 25.11.2011 | | Autor: | Stoecki |
Du hast eben geschrieben:"Das wäre aber seltsam. Eine meiner beiden Aussagen ist aber laut Aufgabenstellung falsch. "
wo in der aufgabe steht das geschrieben, bzw wie kommst du darauf?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:35 Fr 25.11.2011 | | Autor: | yangwar |
Man soll eine Aussage widerlegen, die andere beweisen. Die erste Aussage war doch korrekt, dann muss die zweite aussage falsch sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Fr 25.11.2011 | | Autor: | Stoecki |
ok, aber ich denke man kann sich darauf einigen, dass beides zu stimmen scheint
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Fr 25.11.2011 | | Autor: | yangwar |
Hast du auch die Äquivalenz bedacht? Also dass aus der "Verkettung" auhc linear unabhängig folgt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Fr 25.11.2011 | | Autor: | Stoecki |
also noch mal:
[mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] l.u.
es gilt:
$ [mm] a_{1}\cdot{}v_{1} [/mm] $ + $ [mm] a_{2}\cdot{}v_{2} [/mm] $ = 0 => $ [mm] a_{1} [/mm] $ = $ [mm] a_{2} [/mm] $ = 0
betrachte nun:
$ [mm] b_{1}\cdot{}(v_{1}+ v_{2}) [/mm] $ + $ [mm] b_{2}\cdot{}(v_{1} [/mm] $ - $ [mm] v_{2}) [/mm] $ = 0
<=>
$ [mm] (b_{1}+b_{2})\cdot{}v_{1} [/mm] $ + $ [mm] (b_{1} [/mm] $ - $ [mm] b_{2})\cdot{}v_{2} [/mm] $ = 0
=> $ [mm] b_{1}+b_{2} [/mm] $ = 0 und $ [mm] (b_{1} [/mm] $ - $ [mm] b_{2}) [/mm] $ = 0 (wegen $ [mm] v_{1}, v_{2} [/mm] $ l.u.)
also: [mm] b_{1} [/mm] = [mm] b_{2} [/mm] = 0
rückrichtung:
(v1+v2, v1-v2) l.u.
also [mm] b_{1} [/mm] * (v1+v2) + [mm] b_{2} [/mm] * (v1-v2) = 0 => [mm] b_{1} [/mm] = [mm] b_{2} [/mm] = 0
also: [mm] (b_{1} [/mm] + [mm] b_{2}) [/mm] * [mm] v_{1} [/mm] + [mm] (b_{1}-b_{2}) [/mm] * [mm] v_{2} [/mm] = 0
also wegen [mm] b_{1} [/mm] = [mm] b_{2} [/mm] = 0 ist [mm] a_{1} [/mm] := [mm] b_{1} [/mm] + [mm] b_{2} [/mm] = [mm] b_{1} -b_{2} =:a_{2} [/mm] = 0
fertig
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> ok. Dann muss ich also zuerst die b1,b2,b3 in die Klammer
> multiplizieren, dann die v1,v2,v3 ausklammern und erhalte:
> v1(b1+b3)+v2(b1+b2+b3)+v3(b2+b3).
> Wir haben angenommen, dass diese 3 vektoren linear
> unabhängig sind, somit ist auch die "Verkettung" linear
> unabhängig. Mit der Begründung das b1+b3=a1 aufgefasst
> werden kann bzw. es eine andere Darstellung ist?
Hallo,
ist die ursprüngliche Aufgabe für Dich jetzt eigentlich gelöst?
Ich habe jedenfalls nicht im Thread gefunden, wie die Sache zu einem glücklichen Ende kommt.
Stattdessen hast Du die nächste Aufgabe ins Rennen gebracht, was nicht gerade für Übersicht sorgt.
Gruß v. Angela
>
> Dann habe ich noch eine weitere Frage:
> (v1,v2) ist linear unabhängig genau dann, wenn (v1+v2,
> v1-v2) linear unabhängig.
> Ich möchte dies mit einem Gegenbeispiel widerlegen.
> Aber ich finde keine Vektoren:
> v1(0,1) und v2(1,0) sind linear unabhängig. v1+v2=(1,1)
> v1-v2=-1,1.
> Die wären aber auch wieder linear unabhängig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Sa 26.11.2011 | | Autor: | yangwar1 |
a1+a3=0
a1+a2+a3=0
a2+a3=0
ich habe dann alles in ein LGS geschrieben:
Und habe erhalten:
1 0 1 0
0 1 1 0
0 1 0 0
Somit ist:
a1+a3=0
a2+a3=0
a2=0
Dann folgt, dass a1+a3=0;a1+a2+a3=0;a2+a3=0
Also ist auch (v1+v2,v2+v3,v3+v1+v2) linear unabhängig.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Sa 26.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hattest ursprünglich:
Somit gilt(**) a1*v1+a2*v2+a3*v3=0 mit a1=a2=a3=0 als einzige Lösung.
Jetzt muss nachgewiesen werden, dass aus b1(v1+v2)+b2*(v2+v3)+b3*(v3+v1+v2)=0 folgt, dass b1=b2=b3=0 ist.
jetz tauchen plötzlich Gl für a1,a2,a3 auf. woher kommen die?
du willst doch zeigen dass aus (**) folgt dass :
aus b1(v1+v2)+b2*(v2+v3)+b3*(v3+v1+v2)=0 folgt, dass b1=b2=b3=0
das seh ich an deinem GS nicht. welche b hast du in welche a umgetauft oder wie kommen die a zustande?
Gruss leduart
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