Lineare Unabhängigkeit, Basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum mit Basis [mm] x_1,x_2. [/mm] Seien a,b,c,d [mm] \in [/mm] K und seien [mm] y_1:=ax_1+cx_2 [/mm] & [mm] y_2:=bx_1+dx_2
[/mm]
1) Zeigen sie, dass [mm] y_1, y_2 [/mm] genau dann linear unabhängig sind, wenn ad-bc [mm] \not= [/mm] 0 gilt und zeigen sie, dass sie unter Voraussetzung der linearen Unabhängigkeit eine Basis bilden.
2) Jede Basis von V besteht aus zwei Elementen. |
So grundsätzlich hatte ich erstmal keine Ahnung, wie ich 1) zeigen sollte, also hab ich erstmal angenommen, dass ad-bc=0, also ad=bc, also a/c=b/d.
Für mich erscheint es nun logisch, dass sich unter der Voraussetzung [mm] y_1 [/mm] also [mm] ey_2 [/mm] darstellen lässt, sie also linear abhängig wären, ich hab nur überhaupt keine wie es "richtig" ginge.
Unter der obigen Voraussetzung konnte ich jdfls. zeigen, dass [mm] y_1=c/d*y_2 [/mm] ist, aber würde ich annehmen, dass [mm] ad\not=bc, [/mm] dann wäre doch nur diese Darstellung, nämlich [mm] c/d*y_2 [/mm] ausgeschlossen, oder?
Dass sie bei linearer Unabhängigkeit eine Basis wären, folgt meines Erachtens daraus, dass [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] ohnehin als Basen gegeben wurden und [mm] y_1 [/mm] & [mm] y_2 [/mm] deswegen linear abhängig zu den Basen wären.. es also quasi "dieselben" sind, aber ich weiß nicht, wie ich das mathematisch formulieren kann.
zu 2) Naja, wenn schon eine zweielementige Basis existiert, kann es doch keine weniger oder mehrelementige Basis geben, oder irre ich da? Das folgt doch aus der Definition der Basis als minimales Erzeugendensystem. Kann man das auch noch mathematisch präziser formulieren bzw. würde dieser Satz reichen?
Danke schonmal..
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 Mi 27.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Vicarious
zu 1) Wenn ihr noch keine Matrizen und determinanten habt musst du einfach nach der def. von lin unabh. vorgehen :
wenn y1 und y2 lin unabh. sind gibt es fuer die gleichung
r1*y1+r2*y2=0 nur die Loesung r1=r2=0
also schreib r1*y1+r2*y2=0 aus. dann nach x1 und x2 ordnen:
du kriegst ne gl. Ax1+Bx2=0 und weisst , weil x1,x2 lin unabh. A=) und B=0 jetzt musst du daraus ein r1 bzw r2 ungleich 0 finden (oder zeigen, dass es das nicht gibt.
Dein 2. Argument ist richtig. Aber sicher hattet ihr einen Satz in der Vorlesung, dass jedes Paar lin unabhaengiger Vektoren in [mm] \IR^2 [/mm] eine basis bilden, den musst du zitieren, oder durch hinschreiben zeigen, dass du jeden Vektor v=s1*x1+s2*x2 als Linearkombination von y1 und y2 schreiben kannst. mit der Vorbereitung im 1. teil geht das schnell.
2. hast du richtig geloest, wenn 2 Vektoren ne Basis bilden , dann sind auch 2 andere ein minimales Erzeugenden system. und dass sie erzeugend sind, hast du ja grade in 1 gezeigt.
Was ich geschrieben habe benutzt jetzt ja nichts aus deiner Vorlesung. Villeicht siehst du mal nach ob du nicht einfach bewiesene Saetze aus der Vorlesungfuer alles ausser dem 1. punkt zitieren kannst.
gruss leduart
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Danke für deine Hilfestellungen!
Ich habe noch nicht verstanden, wie du das mit nach [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] ordnen meintest.
Ich bin nun bei [mm] x_1*(r_1 *a+r_2 [/mm] *b) + [mm] x_2*(r_1 *c+r_2 [/mm] *d)=0
aber ich weiß nicht, wie mir hier weiterhelfen kann, dass ad-bc [mm] \not= [/mm] 0..
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> Ich habe noch nicht verstanden, wie du das mit nach [mm]x_1[/mm] und
> [mm]x_2[/mm] ordnen meintest.
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> Ich bin nun bei [mm]x_1*(r_1 *a+r_2[/mm] *b) + [mm]x_2*(r_1 *c+r_2[/mm]
> *d)=0
Hallo,
das hast Du schon völlig richtig und so, wie es gemeint war, sortiert.
>
> aber ich weiß nicht, wie mir hier weiterhelfen kann, dass
> ad-bc [mm]\not=[/mm] 0..
Ich möchte nochmal weiter vorne ansetzen und etwas ausholen, vielleicht wird's dann etwas klarer.
Du hast also gegeben einen Vektorraum V mit einer Basis [mm] (x_1,x_2),
[/mm]
und zwei Vektoren [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2, [/mm] die durch $ [mm] y_1:=ax_1+cx_2 [/mm] $ und $ [mm] y_2:=bx_1+dx_2 [/mm] $ definiert sind.
Zu zeigen ist nun folgendes:
[mm] y_1, y_1 [/mm] linear unabhängig <==> ad-bc=0.
Zunächst mal sollte man sich klarmachen, daß hier zwei Richtungen zu beweisen sind, nämlich
A. [mm] y_1, y_2 [/mm] linear unabhängig ==> [mm] ad-bc\not=0
[/mm]
B. [mm] ad-bc\not=0 [/mm] ==> [mm] y_1, y_1 [/mm] linear unabhängig
Wenn man beide Richtungen getrennt beweist bei solchen Aufgaben, macht man meist weniger Fehler, denn man versteht besser, was Voraussetzung ist und was nicht.
Zusammensetzen kann man es später ja ggf. immer noch.
Die nächste Sache: statt der beiden Aussagen A. und B. kann man auch deren dazu äquivalente Kontrapositionen zeigen. Mir fiele das hier etwas leichter.
Die Kontrapositionen:
A. ad-bc=0 ==> [mm] y_1, y_2 [/mm] linear abhängig
B. [mm] y_1, y_2 [/mm] linear abhängig ==> ad-bc =0
Zu den Beweisen:
A. Behauptung: ad-bc=0 ==> [mm] y_1, y_2 [/mm] linear abhängig
Es sei also ad-bc=0.
1.Fall: a,b,c,d sind alle =0 .
Dann ist [mm] y_1=y_2 [/mm] =0, also linear abhängig.
2.Fall: eine der Zahlen a,b,c,d ist von 0 verschieden. OBdA sei [mm] a\not=0. [/mm]
[Man muß nun vorrechnen, daß man [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2 [/mm] findet, die nicht beide =0 sind, und für welche [mm] 0=r_1y_1+r_2y_2 [/mm] ist.
Schau Dir dazu nun Deine Umformung [mm] 0=r_1y_1+r_2y_2= x_1*(r_1 *a+r_2*b) [/mm] + [mm] x_2*(r_1 *c+r_2 [/mm] *d)=0 an, und versuche, passende [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2 [/mm] zu finden.
Bedenke, daß Du wegen der lin. Unabhängigkeit von [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] in den Klammern die Null haben mußt, und daß außerdem eines der [mm] r_1 [/mm] von 0 verschieden sein muß.
Wenn Du's hast, rechnest Du vor:]
Mit [mm] r_1:= [/mm] ... [mm] \not=0 [/mm] und [mm] r_2:= [/mm] ... erhält man [mm] 0=r_1y_1+r_2y_2, [/mm] also sind [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] linear abhängig.
B. Behauptung: [mm] y_1, y_2 [/mm] linear abhängig ==> ad-bc =0
Beweis: Seien [mm] y_1, y_2 [/mm] linear abhängig. Dann gibt es [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2, [/mm] die nicht beide =0 sind mit [mm] 0=r_1y_1+r_2y_2. [/mm] Sei oBdA [mm] r_1=0.
[/mm]
Also ist [mm] 0=x_1*(r_1 *a+r_2*b) [/mm] + [mm] x_2*(r_1 *c+r_2 [/mm] *d), und wegen der linearen Unabhängigkeit von [mm] x_1, x_2 [/mm] folgt ....
(Du hast nun ein lineares homogenes Gleichungssystem. Weil [mm] r_1 [/mm] nach Voraussetzung [mm] \not=0 [/mm] ist, darfst Du durch [mm] r_1 [/mm] dividieren. Jetzt kannst Du beide Gleichungen jeweils mit einer passenden Zahl aus a,b,c,d multiplizieren, und wenn Du anschließend die beiden Gleichungen passen Kombinierst, dann hast Du's. Versuch's mal, wenn du nicht weiterkommst, schreibe auf, was Du bisher getan hast.)
Gruß v. Angela
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