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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Lineare Unterräume
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Lineare Unterräume: Basis und Dimension
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:57 Do 22.05.2014
Autor: mtr-studi

Aufgabe
Bestimmen Sie jeweils eine Basis B und die Dimension der folgenden linearen Unterräume U.

(a) U [mm] =\{\vec{x} | (1,2,1)\vec{x}=0 ~und~ (1,1,1)\vec{x}=0\} [/mm]

(b) U = [mm] span\{(1,3,-1,2)^T, (2,3,0,0)^T, (5,9,-1,2)^T\} [/mm]

(c) U = [mm] span\{(1,0,0)^T,(1,1,0)^T,(1,1,2)^T\} [/mm]

Hallo,
ich würde gerne meine Ergebnisse überprüfen, vielleicht kann mir jemand etwas dazu sagen.

(a)
Darstellung als [mm] \pmat{ 1 & 2 &1 \\ 1 & 1&1 }\vec{x}=0 [/mm]

Lösung des LGS

[mm] \vmat{1 & 2 &1=0 \\ 1 & 1&1 =0} [/mm]

[mm] \vmat{1 & 2 &1=0 \\ 0 & 1&0 =0} [/mm]

Einführung eines Parameters t

z=t
y=0
x+2*0*+t=0 => x=-t

Darstellung als [mm] U=\{\vec{x}~|~\vec{x}=t \vektor{-1 \\ 0 \\ 1}; t \in \mathbb{R}\} [/mm]

Dimension von U = 1

Basis von U = [mm] B_U=\{\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}\} [/mm]


zu b) und c)

Hier ist ja schon der span angegeben, muss ich dann für die Basis einfach nur die Vektoren abschreiben? Haben beide Unterräume die Dimension 3?


Vielen Dank im Voraus!


        
Bezug
Lineare Unterräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 Do 22.05.2014
Autor: fred97


> Bestimmen Sie jeweils eine Basis B und die Dimension der
> folgenden linearen Unterräume U.
>  
> (a) U [mm]=\{\vec{x} | (1,2,1)\vec{x}=0 ~und~ (1,1,1)\vec{x}=0\}[/mm]
>  
> (b) U = [mm]span\{(1,3,-1,2)^T, (2,3,0,0)^T, (5,9,-1,2)^T\}[/mm]
>  
> (c) U = [mm]span\{(1,0,0)^T,(1,1,0)^T,(1,1,2)^T\}[/mm]
>  Hallo,
>  ich würde gerne meine Ergebnisse überprüfen, vielleicht
> kann mir jemand etwas dazu sagen.
>
> (a)
>  Darstellung als [mm]\pmat{ 1 & 2 &1 \\ 1 & 1&1 }\vec{x}=0[/mm]
>  
> Lösung des LGS
>  
> [mm]\vmat{1 & 2 &1=0 \\ 1 & 1&1 =0}[/mm]
>  
> [mm]\vmat{1 & 2 &1=0 \\ 0 & 1&0 =0}[/mm]
>  
> Einführung eines Parameters t
>
> z=t
> y=0
> x+2*0*+t=0 => x=-t
>  
> Darstellung als [mm]U=\{\vec{x}~|~\vec{x}=t \vektor{-1 \\ 0 \\ 1}; t \in \mathbb{R}\}[/mm]
>  
> Dimension von U = 1
>
> Basis von U = [mm]B_U=\{\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}\}[/mm]

Alles richtig.


>  
>
> zu b) und c)
>  
> Hier ist ja schon der span angegeben, muss ich dann für
> die Basis einfach nur die Vektoren abschreiben?

Hossa, das wäre einfach !

Beispiel: U =span [mm] \{(1,2,3)^T, (1,2,3)^T, (1,2,3)^T, (1,2,3)^T, (1,2,3)^T \} [/mm]

Nach Deiner Methode wäre [mm] \{(1,2,3)^T, (1,2,3)^T, (1,2,3)^T, (1,2,3)^T, (1,2,3)^T \} [/mm] eine Basis von U.



Du misst die Vektoren , die U aufspannen auf lineare Unabhängigkeit untersuchen !!


Haben beide

> Unterräume die Dimension 3?

Nein . Ich verrats Dir

in b) ist dimU =2.

in c) ist dimU =3.

Zeige das !

FRED

>  
>
> Vielen Dank im Voraus!
>  


Bezug
                
Bezug
Lineare Unterräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:44 Do 22.05.2014
Autor: mtr-studi


> >
> > zu b) und c)
>  >  
> > Hier ist ja schon der span angegeben, muss ich dann für
> > die Basis einfach nur die Vektoren abschreiben?
>
> Hossa, das wäre einfach !
>  

>  > Beispiel: U =span [mm]\{(1,2,3)^T, (1,2,3)^T, (1,2,3)^T, (1,2,3)^T, (1,2,3)^T \}[/mm]

>  
> Nach Deiner Methode wäre [mm]\{ (1,2,3)^T, (1,2,3)^T, (1,2,3)^T, (1,2,3)^T, (1,2,3)^T \}[/mm]
> eine Basis von U.
>
>
> Du misst die Vektoren , die U aufspannen auf lineare
> Unabhängigkeit untersuchen !!
>  
>
> Haben beide
> > Unterräume die Dimension 3?
>  
> Nein . Ich verrats Dir
>
> in b) ist dimU =2.
>  
> in c) ist dimU =3.
>  
> Zeige das !
>  
> FRED
>  >  

Hallo,
danke für die Überprüfung.

Ich finde die lineare Abhängigkeit in diesem Fall ja [mm] \vektor{1\\3\\-1\\2}+2*\vektor{2\\3\\0\\0}=\vektor{5\\9\\-1\\2} [/mm] sieht man gar nicht so leicht.

Sollte man grundsätzlich bei solchen Aufgaben die angegeben Vektoren mittels Gauß-Verfahren auf lineare Unabhängigkeit prüfen?

Ist also prinzipiell egal, welchen der Vektoren ich weglassen? Ich könnte ja auch [mm] \vektor{1\\3\\-1\\2}=\vektor{5\\9\\-1\\2}-2*\vektor{2\\3\\0\\0} [/mm] darstellen.

Also würde die Basis z.B [mm] B_U =\{ \vektor{1\\3\\-1\\2},\vektor{2\\3\\0\\0} \} [/mm] sein?

Bei der c) wären dann ja entsprechend die Vektoren des Spans die Basis oder?


Vielen Dank im Voraus!



Bezug
                        
Bezug
Lineare Unterräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:24 Do 22.05.2014
Autor: angela.h.b.


> Ich finde die lineare Abhängigkeit in diesem Fall ja
> [mm]\vektor{1\\3\\-1\\2}+2*\vektor{2\\3\\0\\0}=\vektor{5\\9\\-1\\2}[/mm]
> sieht man gar nicht so leicht.

Hallo,

ja, da ist es gut, daß wir zusätzlich zum Gucken auch noch rechnen können.

>
> Sollte man grundsätzlich bei solchen Aufgaben die
> angegeben Vektoren mittels Gauß-Verfahren auf lineare
> Unabhängigkeit prüfen?

Wenn nicht gleich lineare Abhängigkeiten ins Auge springen, löst man die Gleichung
[mm] \lambda_1v_1+...+\lambda_n=0, [/mm]

hier:

[mm] \lambda_1\vektor{1\\3\\-1\\2}+\lmbda_2\vektor{5\\9\\-1\\2}+\lambda_3\vektor{2\\3\\0\\0}=\vektor{0\\0\\0\\0}, [/mm]

welche auf ein homogenes LGS führt.
Eine gute Lösungsmöglichkeit bietet das Gauß-Verfahren.

Genau eine Lösung: linear unabhängig
Mehr als eine Lösung: linear abhängig


> Ist also prinzipiell egal, welchen der Vektoren ich
> weglassen? Ich könnte ja auch
> [mm]\vektor{1\\3\\-1\\2}=\vektor{5\\9\\-1\\2}-2*\vektor{2\\3\\0\\0}[/mm]
> darstellen.
>
> Also würde die Basis z.B [mm]B_U =\{ \vektor{1\\3\\-1\\2},\vektor{2\\3\\0\\0} \}[/mm]
> sein?

Ja, auch diese beiden Vektoren sind linear unabhängig.

Die Basis eines Vektorraumes ist nicht eindeutig. I.a. gibt es viele Basen.

>  
> Bei der c) wären dann ja entsprechend die Vektoren des
> Spans die Basis oder?

Ja, weil die linear unabhängig sind, bilden sie eine Basis.

LG Angela

>  
>
> Vielen Dank im Voraus!
>  
>  


Bezug
                                
Bezug
Lineare Unterräume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:18 Fr 23.05.2014
Autor: mtr-studi

Vielen Dank für die Anmerkungen, insbesondere das Einführen des [mm] \lambda [/mm] zur Untersuchung der linearen Abhängigkeit über das Gauß-Verfahren.





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