Lineare abhängigkeit von Vekto < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Überprüfen sie Folgende Vektoren auf lineare abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit
[mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Als lösungsweg wird über ein lineares Gleichungssystem Vorgeschlagen. Wenn ich allerdings dann versuche dies zu lösen, bekomme ich immer eine Nullösung. Wie kann ich systematisch bestimmen ob es noch andere lösungen gibt?
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> Überprüfen sie Folgende Vektoren auf lineare abhängigkeit
> bzw. Unabhängigkeit
> [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Als lösungsweg wird über ein lineares Gleichungssystem
> Vorgeschlagen. Wenn ich allerdings dann versuche dies zu
> lösen, bekomme ich immer eine Nullösung.
Erhältst Du nur die Null-Lösung, dann sind die drei Vektoren eben linear-unabhängig.
> Wie kann ich
> systematisch bestimmen ob es noch andere lösungen gibt?
Wie gesagt: wenn Du versuchst die Vektorgleichung (Nullsumme)
[mm]\lambda \vektor{4\\1\\4}+\mu\vektor{2\\1\\2}+\nu\vektor{2\\-4\\1}=\vektor{0\\0\\0}[/mm]
bzw. in Koordinaten ausgedrückt das lineare System
[mm]\begin{array}{rcrcrcl|}
4\lambda &+& 2\mu &+& 2\nu &=& 0\\
1\lambda &+& 1\mu &-& 4\nu &=& 0\\
4\lambda &+& 2\mu &+& 1\nu &=& 0\\\cline{1-7}
\end{array}[/mm]
zu lösen und dabei nur die trivale Lösung [mm]\lambda=\mu=\nu=0[/mm] findest, dann bedeutet dies, dass für diese drei Vektoren nur die triviale Nullsumme existiert, dass sie also linear unabhängig sind. In einem solchen Falle nützt alles weitere Herumturnen mit Formeln rein gar nichts: es ist halt so, es gibt nur diese trivale Nullsumme.
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