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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Linearer Differenzialoperator
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Linearer Differenzialoperator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:12 Fr 19.10.2018
Autor: Takota

Aufgabe
Definition:
Für alle $n [mm] \varepsilon \IN [/mm] $ und [mm] $a_0,q_1,...,a_n_-_1) \varepsilon \IR$ [/mm] ordnet der lineare Differenzialoperator

[mm] $p\left( \bruch{d}{dx} \right):= \left( \bruch{d}{dx} \right)^n+a_n_-_1\left( \bruch{d}{dx} \right)^{n-1}+...+a_1 \left \bruch{d}{dx} \right+a_0=\left( \bruch{d^n}{dx^n} \right)+a_n_-_1\left( \bruch{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \right)+...+a_1\left \bruch{d}{dx} \right+a_0$ [/mm]

jeder genügend oft differenzierbaren Funktion f die neue Funktion

[mm] $f\mapsto p\left( \bruch{d}{dx} \right)[f]:=\left( \bruch{d^nf}{dx^n} \right)+a_n_-_1\left( \bruch{d^{n-1}f}{dx^{n-1}} \right)+...+a_1\left \bruch{df}{dx} \right+a_0f$ [/mm] zu.

Mit diesem Differenzialopertator lässt sich jede homogene Differenzialgleichung mit konstaten Koeffizienten bequem schreiben als

[mm] $p\left( \bruch{d}{dx} \right)[y]=0$. [/mm]

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Satz:
Seien p und q zwei Polynome mit rellen Koeffizienten und f eine genügend oft differenzierbare Funktion. Dann gilt

[mm] $(p*q)\left( \bruch{d}{dx} \right)[f]= p\left( \bruch{d}{dx} \right)\circ q\left( \bruch{d}{dx} \right)[f]=p\left( \bruch{d}{dx} \right)[f]$=p\left( \bruch{d}{dx} \right)[q\left( \bruch{d}{dx} \right)[f]]. [/mm]

Beweis:
Weil das Produkt [mm] $p(\lambda) [/mm] * [mm] q(\lambda)$ [/mm]  und auch  der Produktoperator [mm] $p\left( \bruch{d}{dx} \right)\circ q\left( \bruch{d}{dx} \right)$ [/mm] linear sind, reicht es hier aus, die Aussage nur für die Monome [mm] $p(\lambda [/mm] )= [mm] \lambda^n [/mm] $und [mm] $q(\lambda) [/mm] = [mm] \lambda^m$ [/mm] mit m,n [mm] $\varepsilon \IN$ [/mm] zu beweisen. Es gilt

[mm] $(p*q)\left( \bruch{d}{dx} \right)[f]= \left( \bruch{d^{n+m}}{dx^{n+m}} \right)[f] [/mm] = [mm] f^{n+m} [/mm] = [mm] \left \bruch{d^n}{dx^n}f^{m} \right \left = p\left( \bruch{d}{dx} \right)[q\left( \bruch{d}{dx} \right)[f]]$. q.e.d Hallo, ich höre zum ersten mal von einem linearen Differenzialoperator, so wie es in der Definition steht. Kann mir bitte jemand die Definition erklären? Was bedeutet z.B., das p vor der Klammer? Hinweis: Bevor es an den Satz, bzw. Beweis geht, muß ich erst mal diese Definition verstehen. Also die Fragen zum Beweis kommen später. Habe es einfach schon mal hier mitaufgenommen füf Später. LG Takota [/mm]
        
Bezug
Linearer Differenzialoperator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:55 Sa 20.10.2018
Autor: HJKweseleit

Stell dir einfach das Polynom p(x) vor mit

p(x):= [mm] x^n+a_n_-_1 x^{n-1}+...+a_1 [/mm] x + [mm] a_0 [/mm]

Und nun ersetzt du einfach das x durch [mm] \bruch{d}{dx}: [/mm]

[mm] p\left( \bruch{d}{dx} \right):= \left( \bruch{d}{dx} \right)^n+a_n_-_1\left( \bruch{d}{dx} \right)^{n-1}+...+a_1 \left \bruch{d}{dx} \right+a_0=\left( \bruch{d^n}{dx^n} \right)+a_n_-_1\left( \bruch{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \right)+...+a_1\left \bruch{d}{dx} \right +a_0. [/mm]

Das Ganze wird dann als Operator verstanden, der auf eine Funktion y angewandt wird:

[mm] p\left( \bruch{d}{dx} \right)y:= \left( \bruch{d}{dx} \right)^n y+a_n_-_1\left( \bruch{d}{dx} \right)^{n-1} [/mm] y [mm] +...+a_1 \left \bruch{d}{dx} y \right+a_0 [/mm] y   =   [mm] y^{(n)} [/mm] + [mm] a_{n-1}y^{(n-1)}...+ a_2 [/mm] y" + [mm] a_1 [/mm] y' + [mm] a_0 [/mm] y


Das kann man nun =0 setzen (homogene DGL) oder = konst. (inhomogene DGL)

Bezug
                
Bezug
Linearer Differenzialoperator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:02 Sa 20.10.2018
Autor: Takota

Danke für Deine Rückmeldung.
Ich denke die Struktur wird mir langsam klar.

Für "Linear" ist wohl das gemeint:

Google suche, bitte eingeben:

"Mahte für nicht freaks" "Der Differentialoperator"

Gruß
Takota

Bezug
                        
Bezug
Linearer Differenzialoperator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:02 Sa 20.10.2018
Autor: HJKweseleit

Das Polynom ist in x natürlich für Grad [mm] \ge [/mm] 2 nicht-linear.
Beim Differenzialoperator überträgt sich aber die Potenz in die Ordnung der Ableitung, nicht aber auf das y. Das erkennst du an der letzten Darstellung, wo y nie in einer höheren Potenz auftritt.

Beispiel:

4 y''' + 6 y'' + y' - 8y = 5 ist linear,

[mm] (y'')^2 [/mm] - [mm] (y')^3 [/mm] + y = 2 ist nicht-linear, weil hier Ableitungen in höheren Potenzen auftreten.

Bezug
        
Bezug
Linearer Differenzialoperator: Fragen zum Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:06 Sa 20.10.2018
Autor: Takota

Fragen zum Beweis:
  

> [mm](p*q)\left( \bruch{d}{dx} \right)[f]= p\left( \bruch{d}{dx} \right)\circ q\left( \bruch{d}{dx} \right)[f]=p\left( \bruch{d}{dx} \right)[f][/mm][mm] =p\left( \bruch{d}{dx} \right)[q\left( \bruch{d}{dx} \right)[f]].[/mm]
>  

>  Weil das Produkt [mm]p(\lambda) * q(\lambda)[/mm]  und auch  der
> Produktoperator [mm]p\left( \bruch{d}{dx} \right)\circ q\left( \bruch{d}{dx} \right)[/mm] > linear sind...

Warum sind die linear?

> reicht es hier aus, die Aussage nur für die
> Monome [mm]p(\lambda )= \lambda^n [/mm]und [mm]q(\lambda) = \lambda^m[/mm]
> mit m,n [mm]\varepsilon \IN[/mm] zu beweisen.

Warum ist die Linearität von beiden Ausdrücken (siehe oben) ausreichend, den Satz für die Monome zu beweisen?


> Es gilt
>  
> [mm](p*q)\left( \bruch{d}{dx} \right)[f]= \left( \bruch{d^{n+m}}{dx^{n+m}} \right)[f] = f^{n+m} = \left \bruch{d^n}{dx^n}f^{m} \right \left = p\left( \bruch{d}{dx} \right)[q\left( \bruch{d}{dx} \right)[f]][/mm].

D.h., das Produkt [mm] $(p*q)\left( \bruch{d}{dx} \right)[f]$ [/mm] führt letztendlich auf eine Komposition der Diff.-Operatoren?
  

Gruß
Takota

Bezug
                
Bezug
Linearer Differenzialoperator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Sa 20.10.2018
Autor: fred97


> Fragen zum Beweis:
>    
> > [mm](p*q)\left( \bruch{d}{dx} \right)[f]= p\left( \bruch{d}{dx} \right)\circ q\left( \bruch{d}{dx} \right)[f]=p\left( \bruch{d}{dx} \right)[f][/mm][mm] =p\left( \bruch{d}{dx} \right)[q\left( \bruch{d}{dx} \right)[f]].[/mm]
>  
> >  

>
> >  Weil das Produkt [mm]p(\lambda) * q(\lambda)[/mm]  und auch  der

> > Produktoperator [mm]p\left( \bruch{d}{dx} \right)\circ q\left( \bruch{d}{dx} \right)[/mm]
> > linear sind...
>  
> Warum sind die linear?

>

Der Produktoperator resultiert aus dem Produkt pq  der Polynome p und q. pq ist ein Polynom, also ist der Produktoperator ein Differentialoperator der obigen  Sorte.


> > reicht es hier aus, die Aussage nur für die
> > Monome [mm]p(\lambda )= \lambda^n [/mm]und [mm]q(\lambda) = \lambda^m[/mm]
> > mit m,n [mm]\varepsilon \IN[/mm] zu beweisen.
>  
> Warum ist die Linearität von beiden Ausdrücken (siehe
> oben) ausreichend, den Satz für die Monome zu beweisen?
>  

Hintereinanderausführungen,  Linearkombinationen,  etc, .... linearer Operatoren sind wieder linear.

>
> > Es gilt
>  >  
> > [mm](p*q)\left( \bruch{d}{dx} \right)[f]= \left( \bruch{d^{n+m}}{dx^{n+m}} \right)[f] = f^{n+m} = \left \bruch{d^n}{dx^n}f^{m} \right \left = p\left( \bruch{d}{dx} \right)[q\left( \bruch{d}{dx} \right)[f]][/mm].
>  
> D.h., das Produkt [mm](p*q)\left( \bruch{d}{dx} \right)[f][/mm]
> führt letztendlich auf eine Komposition der
> Diff.-Operatoren?

ja


>    
>
> Gruß
>  Takota


Bezug
                        
Bezug
Linearer Differenzialoperator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:28 So 21.10.2018
Autor: Takota

Hallo Fred,

linearität bedeutet hier doch, dass das Produkt zweier Polynomfunktionen
die Linearitätseigenschaften erfüllen soll (skalare Multiplikation, Vektoraddition, also additiv und homogen) oder sehe ich das falsch?

Bezug
                                
Bezug
Linearer Differenzialoperator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 Mo 22.10.2018
Autor: meili

Hallo Takota,

> Hallo Fred,
>  
> linearität bedeutet hier doch, dass das Produkt zweier
> Polynomfunktionen
> die Linearitätseigenschaften erfüllen soll (skalare
> Multiplikation, Vektoraddition, also additiv und homogen)
> oder sehe ich das falsch?  

Linearität bezieht sich auf den definierten Differenzialoperator.

Gruß
meili


Bezug
                
Bezug
Linearer Differenzialoperator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:42 So 21.10.2018
Autor: Takota

Hallo,

ich denke die Quintessenz des Beweis ist wohl folgende:

p(x):= Ein Polynom n-ten Grades
q(x) := Ein Polynom m-ten Grades

Das Produkt pq ist wieder ein Polynom (m+n)-ten Grades.

y:=pq (genügend diff'bar)

Davon kann man die (m+n)-te Ableitung bilden.
Man kann aber auch zuerst die m-te Ableitung bilden und und auf dieses Ergebnis dann die n-te Ableitung - oder zuerst die n-te dann die m-te Ableitung. In beiden Fällen erhält man die (m+n)-te Ableitung von y.

Ist das richtig?

Gruß
Takota


Bezug
                        
Bezug
Linearer Differenzialoperator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:40 Mo 22.10.2018
Autor: meili

Hallo Takota,

> Hallo,
>  
> ich denke die Quintessenz des Beweis ist wohl folgende:
>  
> p(x):= Ein Polynom n-ten Grades
>  q(x) := Ein Polynom m-ten Grades
>  
> Das Produkt pq ist wieder ein Polynom (m+n)-ten Grades.

Bis hier [ok]

>  
> y:=pq (genügend diff'bar)

Das Produkt der Polynome wird nicht differenziert.
Im Satz und Beweis wird dem Produkt kein Name oder Zeichen zugeordnet,
sondern nur bei pq belassen.
Auf eine Funktion f oder y wird dann der definierte,
lineare Differezialoperator angewandt. Also f oder y müssen genügend oft
differenzierbar sein.

>  
> Davon kann man die (m+n)-te Ableitung bilden.
>  Man kann aber auch zuerst die m-te Ableitung bilden und
> und auf dieses Ergebnis dann die n-te Ableitung - oder
> zuerst die n-te dann die m-te Ableitung. In beiden Fällen
> erhält man die (m+n)-te Ableitung von y.

[ok]

>  
> Ist das richtig?

Der Beweis wird nur geführt mit [mm] $p(\lambda) [/mm] = [mm] \lambda^n$, $q(\lambda) [/mm] = [mm] \lambda^m$ [/mm] und [mm] $p(\lambda)*q(\lambda) [/mm] =  [mm] \lambda^{n+m}$. [/mm]

>  
> Gruß
>  Takota
>  

Gruß
meili

Bezug
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