Lineares Gleichungssystem < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
| Aufgabe | Zeigen Sie: das lineare Gleichungssystem:
a*x - b*y = 10
b*x + a*y = 10
ist immer eindeutig lösbar, wenn a und b nicht beide = 0 sind. |
Hallo,
dass die Behauptung logisch ist, ist klar, nur wie zeigt man denn sowas ?
Ich kann ja schlecht einfach 0 einsetzen und sagen: guckt, ist falsch....
gruß smuji
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Sa 26.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) du kannst die Lösung allgemeine Lösung angeben, und zeigen, dass sie ausser für a=b=0 eindeutig (vona,b abhängig) ist.
b) Oder ein allgemeines Kriterium für die Lösbarkeit von lin GS benutzen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
und wie genau funktioniert das ? das mit der allgemeinen methode?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Sa 26.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> und wie genau funktioniert das ? das mit der allgemeinen
> methode?
Berechne einfach die Koeffizientendeterminante mit allgemeinenm a und b und schau nach, wann diese ungleich Null ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Sa 26.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie jedes andere lin GS
1. a=0 x=..,y=..
2.b=0 x=..y=..
3. [mm] a,b\not=0
[/mm]
1. Gleichung mit b, 2 te mit a multiplizieren und dann subtrahieren.
wie würdest du es denn mit a=3. b=17 lösen, genauso gehst du mit a und b allgemein um, nur dass dz etwa Zwischenergebnisse wie 3*17 nicht ausrechnest als 52 sonder als produkt stehen lässt.
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Sa 26.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Zeigen Sie: das lineare Gleichungssystem:
>
> a*x - b*y = 10
> b*x - a*y = 10
>
> ist immer eindeutig lösbar, wenn a und b nicht beide = 0
> sind.
> Hallo,
>
> dass die Behauptung logisch ist, ist klar,
Wirklich? Ich denke, dass dir bestenfalls klar ist, dass du für $a=b=0$ keine eindeutige Lösung bekommst. Aber die Behauptung ist doch, dass das System für alle anderen Möglichkeiten von a und b eindeutig lösbar ist. Und das ist dir sicher nicht klar - hoffentlich, denn diese Aussage ist schlichtweg falsch!
Vielleicht hast du die Angabe nicht korrekt wiedergegeben. Jedenfalls hat das gegebene Gleichungssystem keine eindeutige Lösung für [mm] $a=\pm{b}$.
[/mm]
Da ist $a=b=0$ natürlich inkludiert, aber beispielsweise stellt sich auch für $a=b=1$ keine eindeutige Lösung ein!
Gruß RMix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
sorry, hatte ein vorzeichenfehler.
habe die aufgabe nun korrigiert...
ich weiß halt nicht, wie ich sowas zeigen oder angeben soll ?!?!?
ich kann ja schlecht 0 einsetzen und zeigen dass es nicht der fall ist und das war der beweis..
wie man den beweis allgemein gestaltet, weiß ich leider nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Sa 26.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> sorry, hatte ein vorzeichenfehler.
>
> habe die aufgabe nun korrigiert...
Ja, das ist nun etwas anderes. Jetzt fehlt nur noch der Hinweis in der Angabe, dass a und b nur reelle Zahlen sein sollen, dann ist es wasserdicht.
>
> ich weiß halt nicht, wie ich sowas zeigen oder angeben
> soll ?!?!?
Darum haben sowohl leduart als auch ich bereits Lösungsvorschläge gemacht (Lösung des Gleichungssystems mit allgemeinen a und b mittels einer Moethode deiner Wahl oder Betrachtung der Koeffizientendeterminante) - warum ignorierst du die?
> ich kann ja schlecht 0 einsetzen und zeigen dass es nicht
> der fall ist und das war der beweis..
Der Beweis wofür? Dass es für a=b=0 keine eindeutige Lösung des Systems gibt, ja, das wäre damit "bewiesen". Die zu beweisende Aussage ist aber eine andere. Aber auch dazu hab ich schon etwas geschrieben, oder?
> wie man den beweis allgemein gestaltet, weiß ich leider
> nicht
Eben deshalb versucht man hier ja auch dir zu helfen - du musst die Hilfe nur auch annehmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
Darum haben sowohl leduart als auch ich bereits Lösungsvorschläge gemacht (Lösung des Gleichungssystems mit allgemeinen a und b mittels einer Moethode deiner Wahl oder Betrachtung der Koeffizientendeterminante) - warum ignorierst du die?
-- weil ich nur bahnhof verstehe und ich weiß, was ihr meint....
was sind allgemeine a und b's? verstehe ich nicht
betrachtung der koeffizientendeterminante....was genau soll ich da wie betrachten ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Sa 26.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Darum haben sowohl leduart als auch ich bereits
> Lösungsvorschläge gemacht (Lösung des Gleichungssystems
> mit allgemeinen a und b mittels einer Moethode deiner Wahl
> oder Betrachtung der Koeffizientendeterminante) - warum
> ignorierst du die?
>
>
> -- weil ich nur bahnhof verstehe und ich weiß, was ihr
> meint....
>
> was sind allgemeine a und b's? verstehe ich nicht
Variablen und eben keine konkreten Zahlen! Und genau damit sollst du das System auf irgend eine Art lösen - wie du es eben kannst und gelernt hast. Die Variablen a und b musst du dabei eben mitschleppen. Wie man da den Anfang machen könnte, hat dir leduart schon geschrieben.
> betrachtung der koeffizientendeterminante....was genau soll
> ich da wie betrachten ?
Nun, wenn dir der Begriff Koeffizientendeterminante (= Determinante der Koeffizientenmatrix) nichts sagt, dann scheidet diese Methode, eine Aussage über die eindeutige Lösbarkeit des Systems zu machen, wohl aus.
Welche Kriterien kennst du denn, um festzustellen, ob ein Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht?
Welche Methoden zur Lösung eines Gleichungssystems stehen dir zur Verfügung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
wenn du mit koeffizientenmatrix meinst, dass man eine matrix aufstellt in der nur die koeffizienten sind, die variablen stehen als vektor vor der matrix und dann das = mit dem anderen vektor...
dann determinante der matrix ausrechnen....
dann lösungsvektor erste zeile einsetzen und determinante..bliblablub..
dann determinante L1/determinte koeff.
ja das system kenne ich...
ich kenne auch den gauß algorythmus. oder halt die einfachen addiotions,gleichsetzung und einsetzungsverfahren...
nur bei so einer kleinen aufgabe ist doch das normalen additionsverfahren
wahrscheinlich das schnellste...oder einfachste...
nur was soll ich machen, soll ich für a=1 und b=2 einsetzen und dann x und y ausrechnen ?
und dann für a und b = 0 ? ist ja klar dass dann keine = 10 rauskommen kann....
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Hallo,
> wenn du mit koeffizientenmatrix meinst, dass man eine
> matrix aufstellt in der nur die koeffizienten sind, die
> variablen stehen als vektor vor der matrix und dann das =
> mit dem anderen vektor...
>
> dann determinante der matrix ausrechnen....
>
> dann lösungsvektor erste zeile einsetzen und
> determinante..bliblablub..
>
> dann determinante L1/determinte koeff.
>
> ja das system kenne ich...
>
> ich kenne auch den gauß algorythmus. oder halt die
> einfachen addiotions,gleichsetzung und
> einsetzungsverfahren...
>
> nur bei so einer kleinen aufgabe ist doch das normalen
> additionsverfahren
>
> wahrscheinlich das schnellste...oder einfachste...
Wenn du meinst, dann mache das doch einfach mal - wirst schon sehen, was (für dich) schneller geht ...
> nur was soll ich machen, soll ich für a=1 und b=2
> einsetzen und dann x und y ausrechnen ?
Nein, allgemein mit a und b rechnen
> und dann für a und b = 0 ? ist ja klar dass dann keine =
> 10 rauskommen kann....
>
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ja nur wie kann ich mit a und b rechnen ? ich bin es gewohnt mit zahlen diese verfahren anzuwenden.....
wie soll ich denn bei:
a*x - b*y = 10
b*x + a*y = 10
das additionsverfahren anwenden ?
ich soll a*x so umformen, das ich es mit der unteren gleichung addieren kann...nur mit was multipliziert man ein a, dass man ein -b erhält ?
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Hallo,
> ja nur wie kann ich mit a und b rechnen ? ich bin es
> gewohnt mit zahlen diese verfahren anzuwenden.....
>
>
> wie soll ich denn bei:
>
> a*x - b*y = 10
> b*x + a*y = 10
>
> das additionsverfahren anwenden ?
>
> ich soll a*x so umformen, das ich es mit der unteren
> gleichung addieren kann...nur mit was multipliziert man ein
> a, dass man ein -b erhält ?
[mm]a\cdot{}\text{was}=-b \ \ \mid \ :a \ (\neq 0)[/mm]
[mm]\Rightarrow \text{was}=...[/mm]
Elementarste Rechnung aus der Unterstufe ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
keine ahnung....habe auch schon nach passenden videos gesucht...leider nichts gefunden
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Mein Gott, ich habe es dir doch hingeschrieben und ausgerechnet.
Lose nach "was" auf und du hast den Faktor, mit dem du die erste Gleichung multiplizieren musst
Echt mal, langsam geht's aber los hier ...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Sa 26.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> ja nur wie kann ich mit a und b rechnen ? ich bin es
> gewohnt mit zahlen diese verfahren anzuwenden.....
>
>
> wie soll ich denn bei:
>
> a*x - b*y = 10
> b*x + a*y = 10
>
> das additionsverfahren anwenden ?
>
> ich soll a*x so umformen, das ich es mit der unteren
> gleichung addieren kann...nur mit was multipliziert man ein
> a, dass man ein -b erhält ?
Na, jetzt stehst du aber ordentlich auf der Leitung!
Und ich kann nur nochmals betonen, dass dir leduart schon vor langer Zeit die Antwort gegeben hat!
Ich darf dir das Gleichungssystem nochmals hinschreiben und auch deine Frage duplizieren, nur mit konkreten Zahlen:
5*x - 5*y = 10
3*x + 3*y = 10
das additionsverfahren anwenden ?
ich soll 5*x so umformen, das ich es mit der unteren
gleichung addieren kann...nur mit was multipliziert man eine
5, dass man ein -3 erhält ?
Und jetzt beantworte bitte deine eigene Frage (mit 5 und 3) und mach dann genau die analogen Schritte mit a und b!
RMix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ja nur wie kann ich mit a und b rechnen ? ich bin es
> gewohnt mit zahlen diese verfahren anzuwenden.....
>
>
> wie soll ich denn bei:
>
> a*x - b*y = 10
> b*x + a*y = 10
>
> das additionsverfahren anwenden ?
>
> ich soll a*x so umformen, das ich es mit der unteren
> gleichung addieren kann...nur mit was multipliziert man ein
> a, dass man ein -b erhält ?
müsstest Du übrigens auch gar nicht. Ich mach mal ein anderes Beispiel:
$3x+7y=13$
und
[mm] $5x+16y=18\,.$
[/mm]
Ich multipliziere nun die erste Gleichung einfach mit [mm] $5\,,$ [/mm] und die zweite mit [mm] $-3\,.$
[/mm]
Danach addiere ich die neuen Gleichungen.
(Kannst Du das auf Deinen Fall übertragen?)
[Grund: [mm] $5*3=15\,$ [/mm] und [mm] $(-3)*5=\;-\;15\,.$]
[/mm]
Nebenbei: Ich würde - wenigstens - hier das "Matrixschema" zum Behandeln
solcher Gleichungen benutzen - sprich' bzgl. meiner Gleichung etwa schreiben:
[mm] $\pmat{3, & 7 &|13 \\ 5,& 16 &|18}$
[/mm]
So etwas hat man doch auch mal in der Schule gelernt (wenngleich ich
den Namen davon nicht mehr weiß - im Endeffekt ist das ja nur eine
Notationshilfe - die einem aber einen viel besseren Überblick über das,
was man macht und benutzt, gibt).
P.S. Nebenbei: Bei einer Gleichung solltest Du natürlich beachten, dass Du
bei der Multiplikation mit [mm] $a\,$ [/mm] i.a. nur im Falle $a [mm] \not=0$ [/mm] eine äquivalente Gleichung
erhältst. Beispiel:
[mm] $0*3=0*7\,$ [/mm] wäre eine wahre Aussage, die aus der falschen Aussage
[mm] $3=7\,$ [/mm] durch Multiplikation mit [mm] $0\,$ [/mm] (von links) folgt.
Es gilt also
[mm] $3=7\,$ $\Rightarrow$ $0*3=0*7\,,$
[/mm]
aber
$0*3=0*7$ [mm] $\Rightarrow$ $3=7\,$ [/mm]
ist Käse.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Sa 26.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> wenn du mit koeffizientenmatrix meinst, dass man eine
> matrix aufstellt in der nur die koeffizienten sind, die
> variablen stehen als vektor vor der matrix und dann das =
> mit dem anderen vektor...
>
> dann determinante der matrix ausrechnen....
>
> dann lösungsvektor erste zeile einsetzen und
Spalte! Und es ist nicht der "Lösungs"vektor. Wenn wir den hätten, wären wir ja schon fertig.
> determinante..bliblablub..
Aha!?
> dann determinante L1/determinte koeff.
>
> ja das system kenne ich...
Fein, das ist das Lösen eines Gleichungssystems mit der Regel von CRAMER. Wenn das funktioniert und du ein Ergebnis rausbekommst, dann ist die Lösung auch eindeutig.
Und die Lösungen bekommt man, wie du schreibst mit
determinante L1/determinte koeff.
Überleg dir, wann es hier Probleme geben kann und man eben keine Lösung berechnen kann.
Danach überleg dir, wie die Koeffizientendeterminante bei deinem Beispiel aussieht (mit a und b, NICHT Zahlen einsetzen).
Das ganze ist ein Einzeiler, aber wenn dir Gauß mehr behagt, warum nicht.
RMix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Smuji,
> Zeigen Sie: das lineare Gleichungssystem:
>
> a*x - b*y = 10
> b*x + a*y = 10
>
> ist immer eindeutig lösbar, wenn a und b nicht beide = 0
> sind.
Du musst ja gar keine Lösung angeben. Du kannst das so lösen:
Dort steht mit
[mm] $A:=\pmat{a, & -b\\ b, & a}$
[/mm]
und
[mm] $\vec{v}:=\vektor{x\\y}$
[/mm]
nichts anderes als
[mm] $A*\vec{v}=\vektor{10\\10}\,.$
[/mm]
Aus der linearen Algebra sollte bekannt sein: Dieses ist genau dann
lösbar, wenn die (quadratische!) Matrix [mm] $A\,$ [/mm] invertierbar ist.
Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante
NICHT NULL ist.
Berechne also erstmal [mm] $\det(A)$ [/mm] (für [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen sollte man das Schema
dafür auswendig kennen!).
Hinweis: Am Ende solltest Du so etwas sehen wie:
Die Matrix ist genau dann invertierbar, wenn [mm] $a^2+b^2 \not=0\,.$ [/mm] Also ist das
Gleichungssystem genau dann lösbar, wenn...
P.P.S. Manche Dozenten verlangen auch, dass, wenn [mm] $A\,$ [/mm] invertierbar ist, man
wenigstens für $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen die Matrix [mm] $A^{-1}$ [/mm] direkt hinschreiben
kann. Anhand der Formel sieht man eigentlich auch, warum wohl [mm] $\det(A) \not=0$ [/mm]
sein sollte...
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
Smuji ist ja der Überzeugung, dass er das mit dem Additionsverfahren schneller hinbekommt ...
Mal sehen ...
Grüße
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Sa 26.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Hallo Schachu,
>
> > Hallo Marcel,
> >
> > Smuji ist ja der Überzeugung, dass er das mit dem
> > Additionsverfahren schneller hinbekommt ...
>
> das habe ich nicht gesehen. Ich habe mich nur gewundert,
> dass, bis auf
> einen Hinweis, beim kurzen Durchklicken von ein paar
> Antworten, hier nicht
> mit der Determinante gerechnet wurde.
>
Ich hatte ihn auf diese Spur bringen wollen, aber er hat beim Begriff Koeffizientendeterminante verständnislos abgewunken. Jetzt kommen wir vielleicht über die CRAMERsche Regel, die er dann schon kennt, doch noch hin - mal sehen.
RMix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ich sitze heute schon seit 10.30 an mathe...ich werde langsam matsch im kopf.. deshalb fällt das aufnehmen immer schwerer....vermute ich....oder auch nicht ..
ja die determinante hast du ja schon genannt: (a*a)-(-b*b)= [mm] a^2+b^2 [/mm] demnach ist wie du sagtest, das lineare gleichungssystem lösbar wenn diese ungleich 0 ist....
[mm] A^{-1} [/mm] ist ja die einheitsmatrix dazu...diese bestimme ich mit dem gaußjordanverfahren, am einfachsten, richtig ?!?
in meinem fall, kann/muss die determinante ja ungleich 0 sein , denn wenn sie das wäre, wären mein a und b = 0
und das war jetzt die lösung ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
>
> ich sitze heute schon seit 10.30 an mathe...ich werde
> langsam matsch im kopf.. deshalb fällt das aufnehmen immer
> schwerer....vermute ich....oder auch nicht ..
>
>
> ja die determinante hast du ja schon genannt: (a*a)-(-b*b)=
> [mm]a^2+b^2[/mm] demnach ist wie du sagtest, das lineare
> gleichungssystem lösbar wenn diese ungleich 0 ist....
>
> [mm]A^{-1}[/mm] ist ja die einheitsmatrix dazu...
nein, das ist die zu [mm] $A\,$ [/mm] inverse Matrix. Es gilt
[mm] $A^{-1}*A=\pmat{1, & 0\\0, & 1}=A*A^{-1}\,.$
[/mm]
> diese bestimme ich
> mit dem gaußjordanverfahren, am einfachsten, richtig ?!?
Die brauchst Du gar nicht, da es uns schon reicht, die Determinante
anzugucken!
>
> in meinem fall, kann/muss die determinante ja ungleich 0
> sein , denn wenn sie das wäre, wären mein a und b = 0
Genau: [mm] $\det(A)=0$ $\iff$ $a^2+b^2=0$ $\gdw$ $a=b=0\,.$
[/mm]
Das Gleichungssystem ist also nicht lösbar, wenn
[mm] $a=0\,$ [/mm] und [mm] $b=0\,.$
[/mm]
Das Gleichungssystem ist (eindeutig) lösbar, wenn
[mm] $\neg$ ($a=0\,$ [/mm] und [mm] $b=0\,$). [/mm]
Was bedeutet das letzte nach einer kleinen Umformung mit de Morgan? (Wobei
Du diese, laut dem Wortlaut der Aufgabenstellung, gar nicht brauchst.
Eigentlich bist Du hier fertig.)
> und das war jetzt die lösung ?
Das ist eine mögliche Lösung - ich halte es durchaus für eine der elegantesten,
im Sinne der Effizienz.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie: das lineare Gleichungssystem:
>
> a*x - b*y = 10
> b*x + a*y = 10
>
> ist immer eindeutig lösbar, wenn a und b nicht beide = 0
> sind.
vielleicht auch mal eine andere Struktur, wie man hier auch vorgehen kann.
Das wäre vielleicht sogar "schul-typisch".
1.) Ist [mm] $a=b=0\,,$ [/mm] so ist
$a*x-b*y=10$
gleichwertig zu
[mm] $0=10\,,$
[/mm]
was nie wahr ist. Also haben wir in diesem Fall keine Lösung.
2.) Sei nun $a [mm] \not=0\,.$
[/mm]
2.a) Im Falle [mm] $b=0\,$ [/mm] folgt...
2.b) Im Falle $b [mm] \not=0\,$ [/mm] folgt...
3.) Sei nun [mm] $a=0\,.$ [/mm] Da wir in 1.) schon den Fall [mm] $b=0\,$ [/mm] abgehandelt haben,
sei nun $b [mm] \not=0\,.$ [/mm] Dann folgt...
Hier wird also nach der Tabelle
[mm] $a=0\,$ [/mm] | [mm] $b=0\,$
[/mm]
___________
nein | nein
nein | ja
ja | nein
ja | ja
alle Fälle behandelt (allerdings nicht in der Reihenfolge, wie sie in der
Tabelle aufgezählt sind).
Und wenn man die Aufgabe wortwörtlich liest, steht da eigentlich, dass nur
die ersten drei Zeilen der Tabelle interessant sind. Den Fall [mm] $a=b=0\,$ [/mm] haben
wir zwar immer mitbehandelt, aber in der Aufgabe steht eigentlich, dass zu
zeigen ist:
Gilt nicht [mm] $a=b=0\,,$ [/mm] dann ist das folgende Gleichungssystem (eindeutig) lösbar: ...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
vielen dank erstmal...
ne andere sache ist, was ist, wenn es sich um ein LGS mit 3 gleichungen und 3 unbekannten handelt, gilt dann auch das mit matrix invertierbar ? da du ja gesagt hast bei quadratische matrizen....wie wäre es in diesem fall ?
kann man das auch mit der matrizenrechnung lösen ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> vielen dank erstmal...
>
> ne andere sache ist, was ist, wenn es sich um ein LGS mit 3
> gleichungen und 3 unbekannten handelt, gilt dann auch das
> mit matrix invertierbar ? da du ja gesagt hast bei
> quadratische matrizen....wie wäre es in diesem fall ?
>
> kann man das auch mit der matrizenrechnung lösen ?
bei [mm] $n\,$ [/mm] Variablen und [mm] $n\,$ [/mm] Gleichungen kannst Du eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix
hinschreiben. Der Satz, dass eine solche genau dann invertierbar ist, wenn
ihre Determinante ungleich Null ist, gilt dann immer noch.
Bei $3 [mm] \times [/mm] 3$-Matrizen kannst Du auch noch gut nach einem gewissen Schema
(![[]](/images/popup.gif) http://www.mathebibel.de/3x3-determinanten-berechnen: der Name ist
mir entfallen) die Determinante berechnen.
Allgemein empfehle ich
http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Leibniz-Formel
Edit: Das meinte ich gar nicht, sondern:
https://www.uni-due.de/mathematik/mathoek-duisburg/unterlagen/thema05-3.pdf
Also das hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Laplacescher_Entwicklungssatz
(Die Formel sieht wild aus, aber in der Praxis ist das elegant. Such' mal
nach entsprechenden Videos, am besten vielleicht auch mit dem Zusatz-
Stichwort "Schachbrettmuster".)
Und wenn Du eine nichtquadratische Matrix hättest:
Wie wolltest Du von der denn die Determinante bestimmen? (Für welche
Matrizen ist der Begriff der Determinante denn definiert?)
Es gibt übrigens auch geometrische Interpretationen von Determinanten
von $2 [mm] \times [/mm] 2-$ bzw. $3 [mm] \times [/mm] 3-$Matrizen: Im Papula steht dazu vielleicht
auch etwas, falls es Dich interessiert...
Nachtrag: Die im Video vorgestellte Methode heißt
Regel von Sarrus
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 So 27.07.2014 | | Autor: | Smuji |
nun ja, die determinate einer 3x3 matrix ist ja noch leicht zu bestimmt...ich kenne den namen nicht, ich glaube es war sarrus..... drei mal schräg rechts runter und dann wieder nach links schräg rechts runter....war jetzt ein bissi dumm ausgedrückt, aber ich denke du weißt was ich meine...
"unförmige" matrizen kann man mit hilfe von unterdeterminanten lösen.. bzw. nach einer zeile, die möglichst viele 0 hat lösen und dann hat man sie schonmal kleiner... ich meine...das arbeiten mit matrizen ist kein problem...
ich wollte halt nur wissen, dass wenn ein LGS wie das vorherige dort steht, nur halt mit 3 variablen und 3 gleichungen...dann gilt immernoch...das LGS ist genau dann lösbar, wenn die matrix A invertierbar ist, dies ist nur dann der fall wenn detA ungleich 0 ist und das ist nur der fall, wenn die variablen nicht gleich 0 sind...
??
hoffe du kannst einigermaßen folgen
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> nun ja, die determinate einer 3x3 matrix ist ja noch leicht
> zu bestimmt...
ich kenne den namen nicht, ich glaube es war
> sarrus..... drei mal schräg rechts runter und dann wieder
> nach links schräg rechts runter....war jetzt ein bissi
> dumm ausgedrückt, aber ich denke du weißt was ich
> meine...
Hallo,
genau, mit der Regel von Sarrus kann man die leicht berechnen.
> ich wollte halt nur wissen, dass wenn ein LGS wie das
> vorherige dort steht, nur halt mit 3 variablen und 3
> gleichungen...dann gilt immernoch...das LGS ist genau dann
> lösbar, wenn die matrix A invertierbar ist,
Nein, sondern es gilt:
das System ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Koeffizientenmatrix A invertierbar ist.
> dies ist nur
> dann der fall wenn detA ungleich 0 ist
Ja.
> und das ist nur der
> fall, wenn die variablen nicht gleich 0 sind...
> ??
???
Ich weiß nicht recht, was Du damit meinst.
Vielleicht machst Du mal ein Beispiel.
Wenn jedenfalls die Determinante =0 ist, dann ist das System unlösbar, oder es gibt unendlich viele Lösungen.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 So 27.07.2014 | | Autor: | Smuji |
DAS wollte ich wissen. vielen dank !!!
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