Lineares Gleichungssystem < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Fr 28.09.2007 | | Autor: | flooo |
| Aufgabe | | Es sollen zwei zweistellige Zahlen mit gleicher Quersumme bestimmt werden, von denen die eine das Doppelte der anderen ist.Stelle ein homogenes LGS für die Ziffer auf und löse das Problem. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Ich benenne je eine Ziffer der einen Zahl x,y und die Ziffern der anderen Zahl a ,b:Die Quersummen der Zahlen sind gleich [mm] \Rightarrow [/mm] x+y = a+b;
Auserdem ist eine [mm] Zahl_{1}= 2*Zahl_{2}. \Rightarrow [/mm] 10x+y=2*(10a+´b). Soweit sogut zwei Gleichungen 4 Unbekannte. Wie bring ich das in ein Lineares Gleichungssystem ? Sind meine Verutungen richtig ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Fr 28.09.2007 | | Autor: | Josef |
Hallo floo,
du kannst das Gleichungssystem auch wie folgt aufstellen:
10x + y = z
2*(10x + y) = z
Viele Grüße
Josef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Fr 28.09.2007 | | Autor: | flooo |
Danke Josef. aber jezt hab ich drei unbekannte .wie sieht die Matrix dazu aus ? Stimmt folgendes ?
x y z
10 1 -1 0
20 2 -1 0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 Fr 28.09.2007 | | Autor: | Blech |
> Danke Josef. aber jezt hab ich drei unbekannte .wie sieht
> die Matrix dazu aus ? Stimmt folgendes ?
> x y z
> 10 1 -1 0
> 20 2 -1 0
Er hat sich da verschrieben, weil es einmal 10a+b = z sein muß.
Ich seh aber nicht, wie man das Problem mit einem LGS lösen sollte, da einige Bedingungen (x<10, a<5, x,a natürliche Zahlen) da nicht wirklich reinpassen.
Ich würde an Deiner Stelle versuchen, zuerst die möglichen Ergebnisse einzuschränken (d.h. a ist 0,1,2,3 oder 4, y muß gerade sein, etc.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 Fr 28.09.2007 | | Autor: | flooo |
Die Aufgabe sollte laut Lehrer per Gaussches Diagonalmatrixverfahren für einen Schüler der K 12 leich zu lösen sein ich hab dennoch bisher keine Ahnung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Fr 28.09.2007 | | Autor: | Blech |
> Die Aufgabe sollte laut Lehrer per Gaussches
> Diagonalmatrixverfahren für einen Schüler der K 12 leich zu
> lösen sein ich hab dennoch bisher keine Ahnung
Also ich wüßte, wie man auf eine Lösung (in Abhängigkeit von einer Variablen, das ganze ist nicht eindeutig - 90/45 und 36/18 sind z.B. zwei Lösungen)
Probier mal y und b durch das z von oben auszudrücken, und dann auch a und x darauf zurückzuführen.
Aber wie man das in eine Matrix pressen sollte, ist mir nicht klar. Ka vielleicht weiß wer anders weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Fr 28.09.2007 | | Autor: | flooo |
Sorry Blech aber ich weiss gar nix. Es wird doch i jemanden geben der mir hierzu eine Lösung geben kann.Ich von meinerßeite bin am Ende meines mathematischen Verständnisses
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Hallo,
Du wirst das nicht komplett mit einem LGS lösen können, denn wie erwähnt gibt es ja noch die Nebenbedingungen, daß die Lösung ganzzahlig Bzw. natürlich sein soll und außerdem jede der Variablen kleiner als 10.
Ich würde eine Kombination aus LGS und Probieren wählen.
LGS:
x+y=a+b
10x+y=20a+2b
<==>
x+y=a+b
9x=19a+b
So. Nun beginne ich zu probieren. Da die Zahlen zweistellig sein sollen, ist [mm] x\not=0 [/mm] und [mm] a\not=0.
[/mm]
x=1.
Dann ist [mm] 9=19a+b\ge [/mm] 19, klappt nicht.
x=2
Dann ist [mm] 18=19a+b\ge [/mm] 19, klappt nicht.
x=3
Dann ist 27=19a+b.
Wenn man a=1 wählt, muß b=8 sein.
In die erste Gleichung eingesetzt erhält man y=1+8-3=6
Also hat man eine Lösung gefunden: erste Zahl 36, zweite 18.
Ob es weitere Lösungen gibt, könnte man untersuchen, gefordert ist es lt. Aufgabenstellung nicht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Fr 28.09.2007 | | Autor: | Blech |
Man kann es etwas systematischer angehen =)
[mm]b \ge y[/mm], denn sonst müßte wg der Quersumme [mm]a \ge x[/mm] sein.
y gerade, weil 2*(10a+b) gerade.
[mm]y:=2m \Rightarrow b = 5+m[/mm]
[mm]m \in \{0,1,2,3,4\}[/mm]
I: 10x + 2m = 20a + 2m + 10
[mm]\Rightarrow x = 2a +1[/mm]
II: x+2m = a + 5 +m
2a + 1 +2m = a + 5 + m
a=4-m, x=9-2m
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:33 Fr 28.09.2007 | | Autor: | flooo |
blech finde deine lösung sehr elegant . könnte mir jemand den vorschlag von blech (19.05 Uhr) genau erklären wieso z.b. 2m gerade sein muss, und b 5+m (oder so ist ), so dass es mir möglich ist alles genau nachzuvollziehen . Find es übrigens super dass es Leute wie euch gibt die wirklich helfen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Fr 28.09.2007 | | Autor: | Blech |
> blech finde deine lösung sehr elegant . könnte mir jemand
> den vorschlag von blech (19.05 Uhr) genau erklären wieso
> z.b. 2m gerade sein muss,
Gerade heißt durch 2 teilbar
10x + y = 2*(10a + b)
damit muß die linke Seite durch 2 teilbar sein.
jede gerade Zahl läßt sich durch 2m darstellen, wobei m eine natürliche Zahl ist:
2 = 2*m = 2*1
4 = 2*m = 2*2
6 = 2*3
...
aber m ist hier nicht wirklich nötig, hatte es nur am Anfang eingeführt, weil ich von "y ist gerade" ausgegangen bin =)
> und b 5+m (oder so ist ), so dass
y = 2b oder y = 2b - 10, wegen der Gleichung oben
b kann aber nicht kleiner als y sein, weil sonst wg gleicher Quersumme a > x sein müßte, aber
x = 2a oder x = 2a + 1, (wiederum wg. oben)
damit fällt y=2b flach (außer für y=b=0 [mm]\Rightarrow[/mm] x=a=0, IOW die triviale Lösung) und es bleibt
y = 2b-10, [mm]b \in \{5,6,7,8,9\}[/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm] x=2a+1 (wg Übertrag)
2a+1 + 2b-10 = a + b
a = 9 - b
x = 19 - 2b
Ich denke das sollten dann auch alle sein, wüßte nicht, wo ich mögliche Lösungen ausgeschlossen hätte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Fr 28.09.2007 | | Autor: | flooo |
Erstma vielen Dank ich habs verstanden. Lezte Frage: was unterscheidet ein homogenes LGS von einem normalen LGS
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> was
> unterscheidet ein homogenes LGS von einem normalen LGS
Ich sag's Dir fast ohne Worte durch ein Beispiel:
Homogen:
x+y+3z=0
2x-12y+z=0
4x-z=0
Nicht homogen:
x+y+3z=7
2x-12y+z=0
4x-z=4
Gruß v. Angela
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 19:07 Fr 28.09.2007 | | Autor: | Josef |
Hallo flooo,
mein Vorschlag:
10x + y = x+y
2(10x + y) = x+y ; da die zweistellige Zahl ja doppelt so groß sein soll
9x = 0
19x + y = 0
Gleichsetzungsverfahren:
9x = 19x +y
18x = y
jetzt ausprobieren; für x = 1 usw.
18 * 1 = 19 ; Quersumme = 1
18 * 2 = 36 ; Quersumme = 9
18 * 3 = 54 ; Quersumme = 9
18 * 4 = 72 ; Quersumme = 9
usw.
dann Probe machen, welche Bedingungen die Gleichung erfüllt.
Z.B.
54 : 2 = 27
72 : 2 = 36
usw.
Den Wert einer zweistelligen Zahl erhält man, wenn man ihre Zehnerziffer mit 10 multipliziert und zum Ergenis die Einerziffer addiert.
Z.B.
42 = 4*10 + 2 oder 10*x + y
Die Quersumme von 42 = 4+2
oder von ( 10x+y) = x+y
> Es sollen zwei zweistellige Zahlen mit gleicher Quersumme bestimmt
> werden, von denen die eine das Doppelte der anderen ist.
eine zweistellige Zahl ist (10x+y), deren Quersumme x+y ist. Die andere zweistellige Zahl ist doppelt so groß, also 2(10x+y), deren Quersumme ebensfall x+y ist. Wieso stimmt mein Gleichung nicht? Mir ist klar, dass das Gleichungssystem so nicht gelöst werden kann. Es ist aber eine Probierhilfe.
Viele Grüße
Josef
Viele Grüße
Josef
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 19:26 Fr 28.09.2007 | | Autor: | Mato |
Hallo!
Wie kommst du auf
> 10x + y = x+y
> 2(10x + y) = x+y
Die Gleichungen lauten ja
x+y=z und a+b=z
Also folgt daraus x+y=a+b
Und 10x+y=2(10a+b)
Wo bleiben bei dir a und b?
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 20:20 Fr 28.09.2007 | | Autor: | angela.h.b. |
> mein Vorschlag:
>
> 10x + y = x+y
> 2(10x + y) = x+y ; da die zweistellige Zahl ja doppelt so
> groß sein soll
>
> 9x = 0
> 19x + y = 0
Hallo,
es paßt Dein Gleichungssystem nicht zur Aufgabe.
In der Aufgabe haben wir vier Unbekannte, die insgesamt vier Ziffern der beiden zweistelligen Zahlen.
Diese vier Variablen sind durch gewisse Bedingungen verknüpft.
> 10x + y = x+y
> 2(10x + y) = x+y
<==>
> 9x = 0
> 19x + y = 0
<==>
x=0
y=0.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 22:42 Fr 28.09.2007 | | Autor: | Mato |
Hallo!
> 10x + y = x+y
> 2(10x + y) = x+y ; da die zweistellige Zahl ja doppelt so
> groß sein soll
>
> > Es sollen zwei zweistellige Zahlen mit gleicher Quersumme
> bestimmt
> > werden, von denen die eine das Doppelte der anderen ist.
>
> eine zweistellige Zahl ist (10x+y), deren Quersumme x+y
> ist. Die andere zweistellige Zahl ist doppelt so groß, also
> 2(10x+y), deren Quersumme ebensfall x+y ist. Wieso stimmt
> mein Gleichung nicht?
Allein die erste Gleichung bei dir ist schon falsch!
10x + y = x+y I
2(10x + y) = x+y II
Zu I: Nehmen wir an, die Zahl würde lauten 53, dann hätten wir doch:
10*5+3= 5+3 was eine falsche Aussage ist.
Auch wenn man die zweite Gleichung betrachtet, kann man schon sehen dass das LGS nur für x und y gleich Null stimmen würde, denn es kann ja nich x+y= 10x+y= k (ich nenns mal so) gelten und gleichzeitig x+y=2*k,es sei denn k=0
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:45 Sa 29.09.2007 | | Autor: | flooo |
| Aufgabe | | Jezt stellt sich mir nach den ganzen Posts wie ich dass jez in anständig mathematische Heftform bringe. |
Ich blick bei all den Posts nicht mehr durch. Kann mir jemand sagen wie dass jezt entgültig aussieht? Dankeschön
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> Jezt stellt sich mir nach den ganzen Posts wie ich dass jez
> in anständig mathematische Heftform bringe.
> Ich blick bei all den Posts nicht mehr durch. Kann mir
> jemand sagen wie dass jezt entgültig aussieht?
Hallo,
das solltest nun doch Du tun.
Du wirst nicht umhinkommen, Dir den Thread nochmal zu Gemüte zu führen.
Mach Dir klar, wie das GS aussieht, und daß man allein hieraus keine Lösung der Aufgabe erwarten kann.
Für die weitere Lösung hast Du zwei Vorschläge: Blechs, welcher Dir sämtliche Lösungen der Aufgabe liefert, oder meinen, welchen ich nur bis zum Auffinden der ersten, geforderten Lösung verfolgt habe.
Je nachdem, wofür Du Dich entscheidest, wirst Du das durcharbeiten und in Form bringen müssen.
Wenn Du Deine endgültige Fassung dann hier präsentierst, guckt bestimmt jemand drüber.
Aber das wir rechnen UND heftfein aufschreiben, schießt doch etwas übers Ziel hinaus.
Wir wollen Dir doch etwas übriglassen!
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:09 Sa 29.09.2007 | | Autor: | Josef |
Hallol flooo,
> Es sollen zwei zweistellige Zahlen mit gleicher Quersumme
> bestimmt werden, von denen die eine das Doppelte der
> anderen ist.Stelle ein homogenes LGS für die Ziffer auf und
> löse das Problem.
>
zu dieser Aufgabenstellung habe ich im Internet ein paar Ansatzpunkte gefunden.
"Mit Sören's Hinweis zur ersten kommt man auf ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 2 Variablen. Das hat natürlich ganz schön viele Lösungen, zu bedenken ist aber noch, dass x1, x2, x3 und x4 Ziffern sein müssen, also >=0 und <=9. Damit komme ich neben der trivialen Lösung auf genau eine weitere nichttriviale. Wobei da die Aufgabenstellung meiner Meinung nach bissl widersprüchlich ist. Naja rechne es mal nach, dann erklär ich Dir was ich meine."
![[]](/images/popup.gif) Fundstelle
Mein Ansatz ist durchaus falsch, obwohl vielleicht die Gedanken in die richtige Richtung gehen können. Ich habe die Erfahrung gemacht, dass auch falsche Ansätze durchweg zur Lösung der Aufgabe beitragen können. Ich selber komme nicht auf den richtigen Lösungsweg. Wenn du den Rechenweg kennst, dann kannst du ihn ja bitte im Forum hier mitteilen.
Viele Grüße
Josef
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Sa 29.09.2007 | | Autor: | Josef |
Hallo flooo,
> Es sollen zwei zweistellige Zahlen mit gleicher Quersumme
> bestimmt werden, von denen die eine das Doppelte der
> anderen ist.Stelle ein homogenes LGS für die Ziffer auf und
> löse das Problem.
>
Lösung siehe hier
Viele Grüße
Josef
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