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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Mo 20.04.2009 | | Autor: | jansimak |
| Aufgabe | Für welche Werte von a und b hat das Gleichungssystem keine, genau eine, mehrere Lösungen?
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[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & a & 0 \\ 0 & 1 & 0 & b}\vektor{2 \\ 3\\ 1\\0}
[/mm]
Ich stehe hier in gewisserweise auf dem Schlauch, da ich nicht wirklich weiss, wie ich jetzt vorgehen soll. In vager Erinnerung ist noch geblieben, dass ich über die Determinante bestimmen kann, ob ein LGS eindeutig lösbar ist oder nicht. Hierbei ergibt sich die Determinante als
det = a*(b-1)
Das heisst, für Werte von a ungleich 0 und b ungleich ist das LGS eindeutig lösbar oder? Wie kann ich denn davon ausgehend prüfen, ob das Gleichungssystem mehrdeutig oder nicht lösbar ist?
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Hallo jansimank,
> Für welche Werte von a und b hat das Gleichungssystem
> keine, genau eine, mehrere Lösungen?
>
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> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & a & 0 \\ 0 & 1 & 0 & b}\vektor{2 \\ 3\\ 1\\0}[/mm]
>
> Ich stehe hier in gewisserweise auf dem Schlauch, da ich
> nicht wirklich weiss, wie ich jetzt vorgehen soll. In vager
> Erinnerung ist noch geblieben, dass ich über die
> Determinante bestimmen kann, ob ein LGS eindeutig lösbar
> ist oder nicht. Hierbei ergibt sich die Determinante als
>
> det = a*(b-1)
>
> Das heisst, für Werte von a ungleich 0 und b ungleich ist
> das LGS eindeutig lösbar oder? Wie kann ich denn davon
> ausgehend prüfen, ob das Gleichungssystem mehrdeutig oder
> nicht lösbar ist?
Ich würde mal damit beginnen, die erweiterte Matrix aufzustellen und in Zeilenstufenform zu bringen. (Ist die ja schon beinahe)
[mm] $\pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 &\mid&2\\ 0 & 1 & -1 & 1&\mid&3 \\ 0 & 0 & a & 0&\mid&1 \\ 0 & 1 & 0 & b&\mid&0}$
[/mm]
Hier siehst du direkt an der 3.Zeile, dass es für $a=0$ keine Lösung geben kann (wegen $0=1$)
Sei im weitern also [mm] $a\neq [/mm] 0$, dann bastel mal die letzte Zeile hin.
Wenn du das hast, kannst du die Lösbarkeit an der letzten Zeile "ablesen"
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:25 Di 21.04.2009 | | Autor: | jansimak |
$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 &\mid&2\\ 0 & 1 & -1 & 1&\mid&3 \\ 0 & 0 & a & 0&\mid&1 \\ 0 & 0 & 0 & b&\mid&0} [/mm] $
Jetzt müsste sie in ZSF sein und für a = 0 bekomme ich ein unlösbares LGS, so weit so gut.
Aber wann ist jetzt das Gleichungssystem mehrdeutig lösbar? Wenn a [mm] \not= [/mm] 0, dann gilt für b = 1, das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, da x4 = 0 oder? Wenn b allerdings = 0, dann ist das Gleichungssystem unterbestimmt, aber immer noch lösbar, da 0 = 0, heisst das, in diesem Fall ist es egal, wie ich x4 wähle?
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> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 &\mid&2\\ 0 & 1 & -1 & 1&\mid&3 \\ 0 & 0 & a & 0&\mid&1 \\ 0 & 0 & 0 & b&\mid&0}[/mm]
>
> Jetzt müsste sie in ZSF sein und für a = 0 bekomme ich ein
> unlösbares LGS, so weit so gut.
Hallo,
nein, das ist gar nicht gut:
die ZSF stimmt nicht, Du hast ja einfach (unverfroren) die 1 in der letzten Zeile fortgelassen.
ZSF geht mit den Gauß-Algorithmus. mach das mal.
Aber um trotzdem was zu lernen, schauen wir jetzt mal die Matrix
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 &\mid&2\\ 0 & 1 & -1 & 1&\mid&3 \\ 0 & 0 & a & 0&\mid&1 \\ 0 & 0 & 0 & b&\mid&0}[/mm]
an:
für a=0 ist das System in der Tat nicht zu lösen.
> Aber wann ist jetzt das Gleichungssystem mehrdeutig lösbar?
> Wenn a [mm]\not=[/mm] 0, dann gilt für b = 1,
??? Wie kommst Du denn darauf?
Sei nun [mm] a\not=0.
[/mm]
wenn auch [mm] b\not=0 [/mm] ist, dann ist das GS eindeutig lösbar, denn der Rang der Koeffizientenmatrix ist gleich der Anzahl der Variablen.
Es ist [mm] x_4=0, [/mm] und die restlichen [mm] x_i [/mm] kannst Du Dir selbst ausrechnen.
> Wenn b allerdings =
> 0, dann ist das Gleichungssystem unterbestimmt,
aber es stimmen Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix und Rang der Koeffizientenmatrix überein,
also ist es
>, aber immer
> noch lösbar,
> da 0 = 0, heisst das, in diesem Fall ist es
> egal, wie ich x4 wähle?
Du kannst [mm] x_4 [/mm] beliebig wählen, und Du erhältst
[mm] x_4=t
[/mm]
[mm] x_3=\bruch{1}{a}
[/mm]
[mm] x_2=3+x_3-x_4=3+\bruch{1}{a}-t
[/mm]
[mm] x_1=2+x_4=2+t.
[/mm]
Also haben alle Lösungen [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4} [/mm] die Gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4} =\vektor{2+t\\3+\bruch{1}{a}-t \\\bruch{1}{a}\\t}=\vektor{2\\3+\bruch{1}{a} \\\bruch{1}{a}\\0}+t*\vektor{1\\-1\\0\\1}.
[/mm]
(Wie gesagt, um aber Deine eigene ursprüngliche Aufgabe zu lösen, brauchst Du zunächst die richtige ZSF.)
Gruß v. Angela
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