Lineares Gleichungssystem < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Di 08.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo,
bin gerade dabei vergangene Übungsblätter durchzugehen und ungelöste oder
halbgelöste Aufgaben nochmal zu rechnen:
Aufgabe:
Lösen sie das folgende lineare Gleichungssystem:
[mm] $x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] + [mm] 3x_4 [/mm] = 0$
[mm] $x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] + [mm] 4x_4 [/mm] = 0$
[mm] $2x_1+ 3x_2 [/mm] + [mm] 4x_3 [/mm] + [mm] 5x_4 [/mm] =0$
[mm] $3x_1 [/mm] + [mm] 4x_2 [/mm] + [mm] 5x_3 [/mm] + [mm] 6x_4 [/mm] =0$
Meine Lösung:
[mm]
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 6
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] 2. Zeile mit 2 multiplizieren:
[mm]
=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3 \\
2 & 4 & 6 & 8 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 6
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] 3. Zeile von der 2. Zeile subtrahieren:
[mm]
=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 6
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] 3. Zeile mit 3 multiplizieren:
[mm]
=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
6 & 9 & 12 & 15 \\
3 & 4 & 5 & 6
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] 4. Zeile mit 2 multiplizieren:
[mm]
=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
6 & 9 & 12 & 15 \\
6 & 8 & 10 & 12
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] 4. Zeile von der 3. Zeile subtrahieren:
[mm]
=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
6 & 8 & 10 & 12
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] 4. Zeile durch 2 dividieren:
[mm]
=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
3 & 4 & 5 & 6
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] 3. Zeile von der 1. Zeile subtrahieren:
[mm]
=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
3 & 4 & 5 & 6
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] 3. Zeile von der 2. Zeile subtrahieren:
[mm]
=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
3 & 4 & 5 & 6
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] Nullzeilen (1. und 2. Zeile) streichen:
[mm]
=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3 \\
3 & 4 & 5 & 6
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
Das lineare Gleichungsystem sieht nun so aus:
[mm] (1)$x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] + [mm] 3x_4 [/mm] =0$
[mm] (2)$3x_1 [/mm] + [mm] 4x_2 [/mm] + [mm] 5x_3 [/mm] + [mm] 6x_4 [/mm] =0 $
Ich setze [mm] $x_1=t$, [/mm] $t [mm] \in \IR$.
[/mm]
Ich setze [mm] $x_1=t$ [/mm] in (2):
(3) $3t + [mm] 4x_2 [/mm] + [mm] 5x_3 [/mm] + [mm] 6x_4=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow 4x_2 [/mm] + [mm] 5x_3 [/mm] + [mm] 6x_4=-3t$
[/mm]
(1) mal 4 = (4) [mm] $4x_2 [/mm] + [mm] 8x_3 [/mm] + [mm] 12x_4 [/mm] = 0$
(4) minus (3) = (5) [mm] $3x_3 [/mm] + [mm] 6x_4 [/mm] = 3t$
Ich setze [mm] $x_4=t$, [/mm] $t [mm] \in \IR$.
[/mm]
Ich setze [mm] $x_4=t$ [/mm] in (5):
(6) [mm] $3x_3 [/mm] + 6t = 3t$
[mm] $\Rightarrow 3x_3 [/mm] = -3t$
[mm] $\Rightarrow x_3 [/mm] = -t$
Ich setze [mm] $x_1=t$, $x_3=-t$ [/mm] und [mm] $x_4=t$ [/mm] in (2):
(7) $3t + [mm] 4x_2 [/mm] -5t +6t = 0$
[mm] $\Rightarrow 4x_2 [/mm] +4t = 0$
[mm] $\Rightarrow x_2 [/mm] + t = 0 $
[mm] $\Rightarrow x_2 [/mm] =-t$
Somit ist:
[mm] $x_1=t$
[/mm]
[mm] $x_2=-t$
[/mm]
[mm] $x_3=-t$
[/mm]
[mm] $x_4=t$
[/mm]
Und die Lösung lautet: $L= [mm] \{ (t,-t,-t,t) \}$
[/mm]
Wäre ich damit fertig oder habe ich Formalitäten vergessen?,
die evtl. zur Punktabzug hätten führen können? 
Dank und Gruss
nevinpol
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Di 08.06.2004 | | Autor: | baddi |
Ich treue mir eine komplette Überprüfung nicht zu.
Aber folgendes:
Du kannst deine Matrix bis zur Normalform umformen. Z.B. zu dieser:
Sagt zumindest meine Software:
[mm]
[mm] =\begin{pmatrix}
0 & 0 & -1&-2 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
=\end{pmatrix}[/mm] [mm]
Dann kannst du glaube ich für zwei Variablen wählen was du willst.
Die anderen sind dann von diesen beiden abhängig.
die anderen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Di 08.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo,
@baddi -> vielen Dank für dein Antwort und für die Links.
@all
Eigentlich würde ich noch gerne wissen: angenommen ich habe
das mit der Matrix richtig gemacht, ist denn der Rest formal
richtig???
Schönen Abend noch
nevinpol
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Mi 09.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo nevinpol,
> bin gerade dabei vergangene Übungsblätter durchzugehen und
> ungelöste oder
> halbgelöste Aufgaben nochmal zu rechnen:
Sehr vorbildlich ![[bindafuer]](/images/smileys/bindafuer.gif "[bindafuer]")
> Aufgabe:
>
> Lösen sie das folgende lineare Gleichungssystem:
>
> [mm] $x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] + [mm] 3x_4 [/mm] = 0$
> [mm] $x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] + [mm] 4x_4 [/mm] = 0$
> [mm] $2x_1+ 3x_2 [/mm] + [mm] 4x_3 [/mm] + [mm] 5x_4 [/mm] =0$
> [mm] $3x_1 [/mm] + [mm] 4x_2 [/mm] + [mm] 5x_3 [/mm] + [mm] 6x_4 [/mm] =0$
>
> Meine Lösung:
>
> [mm]
> \begin{pmatrix}
> 0 & 1 & 2 & 3 \\
> 1 & 2 & 3 & 4 \\
> 2 & 3 & 4 & 5 \\
> 3 & 4 & 5 & 6
> \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> 2. Zeile mit 2 multiplizieren:
>
> [mm]
> =\begin{pmatrix}
> 0 & 1 & 2 & 3 \\
> 2 & 4 & 6 & 8 \\
> 2 & 3 & 4 & 5 \\
> 3 & 4 & 5 & 6
> \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> 3. Zeile von der 2. Zeile subtrahieren:
Statt der Gleichheitszeichen = sind hier Äquivalenzzeichen [mm] \gdw [/mm] zu setzen.
>
> [mm]
> =\begin{pmatrix}
> 0 & 1 & 2 & 3 \\
> 0 & 1 & 2 & 3 \\
> 2 & 3 & 4 & 5 \\
> 3 & 4 & 5 & 6
> \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 3. Zeile mit 3 multiplizieren:
>
>
> [mm]
> =\begin{pmatrix}
> 0 & 1 & 2 & 3 \\
> 0 & 1 & 2 & 3 \\
> 6 & 9 & 12 & 15 \\
> 3 & 4 & 5 & 6
> \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> 4. Zeile mit 2 multiplizieren:
>
>
> [mm]
> =\begin{pmatrix}
> 0 & 1 & 2 & 3 \\
> 0 & 1 & 2 & 3 \\
> 6 & 9 & 12 & 15 \\
> 6 & 8 & 10 & 12
> \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> 4. Zeile von der 3. Zeile subtrahieren:
>
> [mm]
> =\begin{pmatrix}
> 0 & 1 & 2 & 3 \\
> 0 & 1 & 2 & 3 \\
> 0 & 1 & 2 & 3 \\
> 6 & 8 & 10 & 12
> \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> 4. Zeile durch 2 dividieren:
>
> [mm]
> =\begin{pmatrix}
> 0 & 1 & 2 & 3 \\
> 0 & 1 & 2 & 3 \\
> 0 & 1 & 2 & 3 \\
> 3 & 4 & 5 & 6
> \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> 3. Zeile von der 1. Zeile subtrahieren:
>
> [mm]
> =\begin{pmatrix}
> 0 & 0 & 0 & 0 \\
> 0 & 1 & 2 & 3 \\
> 0 & 1 & 2 & 3 \\
> 3 & 4 & 5 & 6
> \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> 3. Zeile von der 2. Zeile subtrahieren:
>
> [mm]
> =\begin{pmatrix}
> 0 & 0 & 0 & 0 \\
> 0 & 0 & 0 & 0 \\
> 0 & 1 & 2 & 3 \\
> 3 & 4 & 5 & 6
> \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> Nullzeilen (1. und 2. Zeile) streichen:
>
> [mm]
> =\begin{pmatrix}
>
> 0 & 1 & 2 & 3 \\
> 3 & 4 & 5 & 6
> \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Hier fände ich noch recht naheliegend, die 1. zeile von der zweiten zu subtrahieren und dann zu erhalten (aber das ist Geschmackssache):
[mm]
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Das lineare Gleichungsystem sieht nun so aus:
>
> [mm] (1)$x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] + [mm] 3x_4 [/mm] =0$
> [mm] (2)$3x_1 [/mm] + [mm] 4x_2 [/mm] + [mm] 5x_3 [/mm] + [mm] 6x_4 [/mm] =0 $
>
> Ich setze [mm] $x_1=t$, [/mm] $t [mm] \in \IR$.
[/mm]
> Ich setze [mm] $x_1=t$ [/mm] in (2):
> (3) $3t + [mm] 4x_2 [/mm] + [mm] 5x_3 [/mm] + [mm] 6x_4=0$
[/mm]
> [mm] $\Rightarrow 4x_2 [/mm] + [mm] 5x_3 [/mm] + [mm] 6x_4=-3t$
[/mm]
>
> (1) mal 4 = (4) [mm] $4x_2 [/mm] + [mm] 8x_3 [/mm] + [mm] 12x_4 [/mm] = 0$
>
> (4) minus (3) = (5) [mm] $3x_3 [/mm] + [mm] 6x_4 [/mm] = 3t$
>
> Ich setze [mm] $x_4=t$, [/mm] $t [mm] \in \IR$.
[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Oops, du kannst hier nicht dieselbe Variable wie oben nehmen, denn diese sind doch unabhängig voneinander frei wählbar.
Nimm' also s oder irgendetwas anderes.
>
> Ich setze [mm] $x_4=t$ [/mm] in (5):
>
> (6) [mm] $3x_3 [/mm] + 6t = 3t$
> [mm] $\Rightarrow 3x_3 [/mm] = -3t$
> [mm] $\Rightarrow x_3 [/mm] = -t$
>
> Ich setze [mm] $x_1=t$, $x_3=-t$ [/mm] und [mm] $x_4=t$ [/mm] in (2):
>
> (7) $3t + [mm] 4x_2 [/mm] -5t +6t = 0$
> [mm] $\Rightarrow 4x_2 [/mm] +4t = 0$
> [mm] $\Rightarrow x_2 [/mm] + t = 0 $
> [mm] $\Rightarrow x_2 [/mm] =-t$
>
> Somit ist:
> [mm] $x_1=t$
[/mm]
> [mm] $x_2=-t$
[/mm]
> [mm] $x_3=-t$
[/mm]
> [mm] $x_4=t$
[/mm]
>
> Und die Lösung lautet: $L= [mm] \{ (t,-t,-t,t) \}$
[/mm]
Dies ist nur eine Teilmenge der gesamten Lösungsmenge, d.h. es gibt noch mehr Lösungen (deine Lösungen sind nur diejenigen Lösungen, bei denen die 1. und 4. Variable denselben Wert hat.
> Wäre ich damit fertig oder habe ich Formalitäten
> vergessen?,
> die evtl. zur Punktabzug hätten führen können?
Das Formale ist soweit Okay (bis auf die Äquivalenzzeichen).
Leider würde aber der logische Schnitzer [mm] ($x_1=t$ [/mm] und [mm] $x_4=t$) [/mm] zum Punktabzug führen.
Am Anfang der mathematischen Karriere hilft es auch --denke ich--, dass es feste Schemata gibt, um solche Aufgaben zu lösen: Den Gauß-Algorithmus beispielsweise. Der gibt einem doch die Sicherheit, solche Aufgaben lösen zu können (auch wenn es manchmal nicht unbedingt der geschickteste Weg ist).
Deswegen wundert es mich ein bisschen, dass du den Gauß-Algorithmus nich angewendet hast (sondern eine quasi zeilengespiegelte Variante davon).
Aber das ist auch wieder Geschmackssache , und ich will dir den Gauß-Algorithmus nicht aufschwatzen.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Mi 09.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo Marc,
ich habe jetzt versucht deine Bemerkungen mitzubrücksichtigen,
ich hoffe jetzt habe ich eine wirklich gute Lösung
(ohne punktabzugbefürchtungen)...
Das mit dem Gauss habe ich aber noch nicht drauf:(
Meine Lösung:
[mm]
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 6
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] 2. Zeile mit 2 multiplizieren:
[mm]
\gdw \begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3 \\
2 & 4 & 6 & 8 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 6
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] 3. Zeile von der 2. Zeile subtrahieren:
[mm]
\gdw \begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 6
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] 3. Zeile mit 3 multiplizieren:
[mm]
\gdw \begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
6 & 9 & 12 & 15 \\
3 & 4 & 5 & 6
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] 4. Zeile mit 2 multiplizieren:
[mm]
\gdw \begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
6 & 9 & 12 & 15 \\
6 & 8 & 10 & 12
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] 4. Zeile von der 3. Zeile subtrahieren:
[mm]
\gdw \begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
6 & 8 & 10 & 12
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] 4. Zeile durch 2 dividieren:
[mm]
\gdw \begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
3 & 4 & 5 & 6
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] 3. Zeile von der 1. Zeile subtrahieren:
[mm]
\gdw \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
3 & 4 & 5 & 6
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] 3. Zeile von der 2. Zeile subtrahieren:
[mm]
\gdw \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
3 & 4 & 5 & 6
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] Nullzeilen (1. und 2. Zeile) streichen:
[mm]
\gdw \begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3 \\
3 & 4 & 5 & 6
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] 1. Zeile von der 2. Zeile subtrahieren:
[mm]
\gdw \begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3 \\
3 & 3 & 3 & 3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] 2. Zeile durch 3 dividieren:
[mm]
\gdw \begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
Das lineare Gleichungsystem sieht nun so aus:
(1) [mm] $x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] + [mm] 3x_4 [/mm] = 0$
(2) [mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 0$
Ich setze [mm] $x_1=t$, [/mm] $t [mm] \in \IR$.
[/mm]
Ich setze [mm] $x_1=t$ [/mm] in (2) ein:
(3) $t + [mm] x_2 +x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 0$
[mm] $\Rightarrow x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = -t$
(1) minus (3) = (4) [mm] $x_3 [/mm] + [mm] 2x_4 [/mm] = t$
Ich setze [mm] $x_4=s$, [/mm] $s [mm] \in \IR$.
[/mm]
Ich setze [mm] $x_4=s$ [/mm] in (4) ein:
(5) [mm] $x_3 [/mm] + 2s = t$
[mm] $\Rightarrow x_3=t-2s$
[/mm]
Ich setze [mm] $x_1=t$, $x_3=t-2s$ [/mm] und [mm] $x_4=s$ [/mm] in (2) ein:
(6) $ t + [mm] x_2 [/mm] + t - 2s +s = 0$
[mm] $\Rightarrow x_2 [/mm] = -t -t +2s -s$
[mm] $\Rightarrow x_2 [/mm] = -2t +s$
Also:
[mm] $x_1=t$
[/mm]
[mm] $x_2=-2t+s$
[/mm]
[mm] $x_3=t-2s$
[/mm]
[mm] $x_4=s$
[/mm]
[mm] $L=\{ (t,-2t+s,t-2s,s)\ | t,s \in \IR}$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:10 Do 10.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo nevinpol,
> ich habe jetzt versucht deine Bemerkungen
> mitzubrücksichtigen,
> ich hoffe jetzt habe ich eine wirklich gute Lösung
> (ohne punktabzugbefürchtungen)...
> Das mit dem Gauss habe ich aber noch nicht drauf:(
Ist ja nicht schlimm, wenn das Ergebnis stimmt 
> Meine Lösung:
>
> [mm]
> \begin{pmatrix}
> 0 & 1 & 2 & 3 \\
> 1 & 2 & 3 & 4 \\
> 2 & 3 & 4 & 5 \\
> 3 & 4 & 5 & 6
> \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> 2. Zeile mit 2 multiplizieren:
>
> [...]
>
> [mm] $L=\{ (t,-2t+s,t-2s,s)\ | t,s \in \IR\}$
[/mm]
Ich habe jetzt beim ersten Durchesehen keine Fehler entdecken können
Nach zwei kleine Anmerkungen (die zeigen, dass sonst alles super ist):
Für die Koeffizientenmatrix/rechte Seite-Schreibweise finde ich die erweiterte Koeffizientenmatrix besser, weil man so ständig bei dir denkt: "Matrix mal Vektor", dabei lautet ja das komplette System:
[mm]\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 6
\end{pmatrix}\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Die erweiterte Koeffizientenmatrix würde dann lauten:
[mm]\left(\begin{array}{cccc|c}
0 & 1 & 2 & 3 &0\\
1 & 2 & 3 & 4 &0\\
2 & 3 & 4 & 5 &0\\
3 & 4 & 5 & 6 &0
\end{array}\right)[/mm]
Naja, nur eine Schreibweise.
Zu der Lösungsmenge wollte ich noch anmerken, dass man sie auch so schreiben kann:
[mm] $(t,-2t+s,t-2s,s)=t*\vektor{1\\-2\\1\\0}+s*\vektor{0\\1\\-2\\1}$
[/mm]
So wird deutlich, dass die Lösungsmenge die Menge aller Linearkombnitionen zweier Vektoren ist und somit eine (Unter-) Vektorraum bilden (dies ist aber nur bei homogenen LGS so, bei inhomogenen bildet die Lösungsmenge einen affinen Teilraum).
Das alles aber nur nebenbei bemerkt, es war ja schließlich alles richtig von dir und ich wollte wenigstens ein bisschen was schreiben
Viele Grüße,
Marc
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