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| Aufgabe | Bei gewissen Fragestellungen, z.B. bei der Bestimmung von Proportionalitätskonstanten aus physikalischen Messungen, ist für die gegebenen Daten [mm] (x_1,y_1),...,(x_1,y_n) [/mm] ein Ansatz der Form
[mm] Y_i=\beta*x_i +\epsilon_i, [/mm] i=1,...,n
angemessen. Dabei seien [mm] \epsilon_1,...,\epsilon_n [/mm] unabhängig und identisch [mm] N(0,\sigma^2)-verteilt [/mm] und [mm] x_i \ne [/mm] 0, i=1,...,n.
(a) Leiten Sie für dieses spezielle Modell den MQ-Schätzer [mm] \hat\beta [/mm] für [mm] \beta [/mm] her. Welche Varianz hat [mm] \hat\beta?
[/mm]
(b) Bestimmen Sie nach Scheffé ein simultanes Konfidenzintervall zum Niveau [mm] \alpha=0.05 [/mm] für die Regressionsgerade [mm] g(x)=\beta*x. [/mm] Verwenden Sie dafür folgende Daten:
n=17, [mm] \bar [/mm] x=6, [mm] \bar [/mm] y=37, [mm] \sum_{i=1}^{17} x_i^2=799, \sum_{i=1}^{17} y_i^2=23855, \sum_{i=1}^{17} x_i y_i=3392, [/mm] RSS=SQD=195.
(c) Sind [mm] Y_1-Y_2 [/mm] und [mm] Y_1+Y_2 [/mm] unabhängig? Begründen Sie Ihre Entscheidung! |
Hi! Ich bin neu in diesem Forum und das is meine Aufgabenstellung! Probleme die ich hierbei habe ist, dass ich das simultane Konfidenzintervall nach Scheffé noch nicht in der Vorlesung hatte und auch Herleitungen sind nicht meine größte Stärke deshalb wäre ich für einige Tipps äußerst dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Di 19.05.2009 | | Autor: | kaleu74 |
Zunächst die Frage was meinst Du mit MQ? Meinst Du damit die Methode der kleinsten Quadrate?
Wenn ja dann besteht die Aufgabe in a) darin, einen Wert [mm] $\hat\beta$ [/mm] für [mm] $\beta$ [/mm] zu finden, so daß der resultierende Gesamtfehler zwischen Messpunkt und Regressionsgerade minimal wird. Bei Deinen gegebenen Daten verläuft diese Gerade durch den Koordinatenursprung, da [mm] $Y_{i}=Y(x_{i})=\beta\cdot x_{i}+\epsilon_{i}$ [/mm] und nicht [mm] $Y_{i}=Y(x_{i})=\alpha+\beta\cdot x_{i}+\epsilon_{i}$. [/mm] Im ersteren Fall muß also nur ein Parameter (den Anstieg der Regressionsgeraden!) geschätzt werden, während im zweiten (eine verschobene Regressionsgerade) zwei Parameter [mm] $\alpha\ [/mm] und\ [mm] \beta$ [/mm] zu schätzen wären. Wie geht man nun vor, um den gewünschten minimalen Parameterwert zu bestimmen?
Es ist klar, daß [mm] $Y_{i}$ [/mm] eine zufällige Größe ist weil [mm] $\epsilon_{i}$ [/mm] eine ist. Jetzt benötigt man eine fehlerminimierende Funktion, um das Problem weiter behandeln zu können, ich erinnere an die Definition des Residuums im deterministischen Fall.
man erhält durch umformen: [mm] $\epsilon_{i}=Y_{i}-\beta\cdot x_{i}\ [/mm] ,\ [mm] i=1,\ldots,n$
[/mm]
und damit das Problem [mm] $min\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\beta\cdor x_{i})^{2}$
[/mm]
Die Lösung ist in diesem Fall relativ einfach, man bildet nach bekanntem Muster die 1.Ableitung und setzt sie Null, um Kandidaten für Extremstellen zu bekommen, anschließend die zweite um festzustellen welche Art von Extremwert vorliegt.
Sei [mm] $S(\beta)=\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\beta\cdor x_{i})^{2}$ [/mm] dann folgt:
[mm] $\bruch{dS}{d\beta}=-2\cdot \sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot (y_{i}-\beta\cdor x_{i})\Rightarrow \bruch{dS}{d\beta}=0 \gdw \sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot (y_{i}-\beta\cdor x_{i})=0\gdw \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=\beta\cdot \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\hat\beta=\bruch{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}\ [/mm] ,\ [mm] \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}>0$
[/mm]
weiter:
[mm] $\mathds{E}Y_{i}=\beta\cdot x_{i}+\mathds{E}\epsilon_{i}$ [/mm] wegen [mm] $\mathds{E}\epsilon_{i}=0\Rightarrow \mathds{E}Y_{i}=\beta\cdot x_{i}$
[/mm]
[mm] $\sigma^{2}(Y_{i})=\mathds{E}(Y_{i}-\mathds{E}Y_{i})^{2}=\mathds{E}(\beta x_{i}+\epsilon_{i}-\beta x_{i})^{2}=\mathds{E}\epsilon_{i}^{2}=\sigma^{2}$
[/mm]
damit erhält man:
[mm] $\mathds{E}\hat\beta=\bruch{\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot \mathds{E}Y_{i}}{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}=\bruch{\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot \beta x_{i}}{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}=\beta$ ($\hat\beta\$ [/mm] ist ein erwartungstreuer Schätzer)
[mm] $\sigma^{2}(\hat\beta)=Var(\bruch{\sum_{i=1}^{n}x_{i}Y_{i}}{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}})=Var\sum_{i=1}^{n}(\bruch{x_{i}}{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}})\cdot Y_{i}=\sum_{i=1}^{n}(\bruch{x_{i}}{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}})^{2}\cdot Var(Y_{i})=\bruch{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\cdot \sigma^{2}}{(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2})^{2}}=\bruch{1}{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}\cdot \sigma^{2}$
[/mm]
So ich denk das das so richtig ist, damit wäre a) beantwortet, b) solltest Du jetzt allein hinbekommen bzw. nochmal konkretere Fragen stellen.
vg Andy
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Ich danke dir, ja den Rest krieg ich jetzte denk ich alleine hin! Danke für deine Zeit^^!
Grüße
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