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Linearfaktoren: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 23:31 Do 06/12/2018
Author: Valkyrion

Aufgabe
Für welche n [mm] \in \IN [/mm] ist x-1 ein Linearfaktor von:
[mm] x^{n}-x^{n-1}+x^{n-2}-...(-1)^{n} [/mm]

Ich würde mal vermuten für alle ungeraden n. Ich schaff's aber nicht zu zeigen warum.
Ich hab's mal probiert für, indem ich für n=2n+1 eingesetzt habe:

[mm] x^{2n+1}-x^{(2n+1)-1}+x^{(2n+1)n-2}-...(-1)^{2n+1} [/mm]

Aber ich da komm ich nicht weiter

        
Bezug
Linearfaktoren: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 06:01 Fr 07/12/2018
Author: fred97


> Für welche n [mm]\in \IN[/mm] ist x-1 ein Linearfaktor von:
>  [mm]x^{n}-x^{n-1}+x^{n-2}-...(-1)^{n}[/mm]
>  Ich würde mal vermuten für alle ungeraden n. Ich
> schaff's aber nicht zu zeigen warum.
>  Ich hab's mal probiert für, indem ich für n=2n+1
> eingesetzt habe:
>  
> [mm]x^{2n+1}-x^{(2n+1)-1}+x^{(2n+1)n-2}-...(-1)^{2n+1}[/mm]
>  
> Aber ich da komm ich nicht weiter


Wir setzen

[mm] $p_n(x):= x^{n}-x^{n-1}+x^{n-2}-...(-1)^{n} [/mm] $. Die Aufgabe lautet dann so:

für welche n ist [mm] p_n(1)=0 [/mm] ?

Zeige:

ist n gerade, so ist [mm] p_n(1)=1 [/mm] , ist n ungerade, so ist [mm] p_n(1)=0. [/mm]

Beachte: [mm] p_{n+1}(1)=p_n(1)+(-1)^{n+1}. [/mm]



Bezug
        
Bezug
Linearfaktoren: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 22:03 Fr 07/12/2018
Author: HJKweseleit

Aufgabe
Für welche n $ [mm] \in \IN [/mm] $ ist x-1 ein Linearfaktor von:
$ [mm] x^{n}-x^{n-1}+x^{n-2}-...(-1)^{n} [/mm] $

Ich würde mal vermuten für alle ungeraden n. [ok]


Ich schaff's aber nicht zu zeigen warum.
Ich hab's mal probiert für, indem ich für n=2n+1 eingesetzt habe:

$ [mm] x^{2n+1}-x^{(2n+1)-1}+x^{(2n+1)n-2}-...(-1)^{2n+1} [/mm] $

Aber ich da komm ich nicht weiter




(x-a) ist genau dann Linearfaktor einer ganzrationalen Funktion, wenn a eine Nullstelle davon ist.

Somit gilt: (x-1) ist Linearfaktor des angegebenen Terms, wenn dieser bei 1 den Wert 0 hat. Mehr musst du gar nicht untersuchen. Und das funtioniert genau für alle ungeraden n, weil sich dann immer zwei benachbarte Summanden aufheben.

Bezug
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