Linearfaktoren, Diagbarkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Mo 07.06.2010 | | Autor: | notinX |
| Aufgabe | Überprüfen Sie, ob folgende Matrix diagonalisierbar ist:
[mm] $A=\left(\begin{array}{ccc}
3 & 4 & -3\\
2 & 7 & -4\\
3 & 9 & -5\end{array}\right)$ [/mm] |
Wenn ich das richtig verstanden habe ist eine notwendige Bedingung für Diagonalisierbarkeit, dass sich das charakteristische Polynom als Produkt von Linearfaktoren darstellen lässt.
[mm] $P(\lambda)=\mathrm{det}(A-\lambda E_{n})=\left|\begin{array}{ccc}
3-\lambda & 4 & -3\\
2 & 7-\lambda & -4\\
3 & 9 & -5-\lambda\end{array}\right|=-\lambda^3+5\lambda^2-8\lambda+4$
[/mm]
aus [mm] $-\lambda^3+5\lambda^2-8\lambda+4=0$ [/mm] folgt [mm] $\lambda_{1,2}=2,\ \lambda_3=1$
[/mm]
damit ist die Linearfaktordarstellung:
[mm] $P(\lambda)=-(\lambda-2)^2(\lambda-1)$
[/mm]
Bedeutet das nun, dass es sich als Linearfaktoren darstellen lässt oder nicht? Ich könnte ja auch schreiben:
[mm] $P(\lambda)=-(\lambda-2)(\lambda-2)(\lambda-1)$
[/mm]
dann wärens Linearfaktoren
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Hallo,
multiplizier doch aus, dann siehst dus...
Hast du die Eigenvektoren bestimmt ? Was ist mit der Diagonalisierbarkeit?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Mo 07.06.2010 | | Autor: | notinX |
> Hallo,
>
> multiplizier doch aus, dann siehst dus...
es gilt sicher: [mm] $-(\lambda-2)^2(\lambda-1)=-\lambda^3+5\lambda^2-8\lambda+4$ [/mm]
das war nicht meine Frage. Ich wollte wissen, ob man [mm] $-(\lambda-2)(\lambda-2)(\lambda-1) [/mm] $ eine Linearfaktordarstellung nennen darf oder ob die Skalare paarweise verschieden sein müssen.
>
> Hast du die Eigenvektoren bestimmt ?
Nein, das habe ich auch nicht vor wenn es nicht sein muss.
> Was ist mit der
> Diagonalisierbarkeit?
>
> LG
Ich bin ja gerade dabei diese zu überprüfen und würde gerne wissen ob ich das wie ich es oben beschrieben habe richtig verstanden habe.
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Hallo!
> > Hallo,
> >
> > multiplizier doch aus, dann siehst dus...
>
> es gilt sicher:
> [mm]-(\lambda-2)^2(\lambda-1)=-\lambda^3+5\lambda^2-8\lambda+4[/mm]
> das war nicht meine Frage. Ich wollte wissen, ob man
> [mm]-(\lambda-2)(\lambda-2)(\lambda-1)[/mm] eine
> Linearfaktordarstellung nennen darf oder ob die Skalare
> paarweise verschieden sein müssen.
>
> >
> > Hast du die Eigenvektoren bestimmt ?
> Nein, das habe ich auch nicht vor wenn es nicht sein muss.
Du wirst zumindest den Eigenraum zum Eigenwert 2 bestimmen müssen...
> > Was ist mit der
> > Diagonalisierbarkeit?
> >
> > LG
> Ich bin ja gerade dabei diese zu überprüfen und würde
> gerne wissen ob ich das wie ich es oben beschrieben habe
> richtig verstanden habe.
Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn für alle Eigenwerte gilt: algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit.
geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts ist die Dimension des zugehörigen Eigenraums, algebraische Vielfachheit ist die Vielfachheit der Nullstelle im charakteristischen Polynom. Es gilt stets
Algebraische Vielfachheit [mm] \ge [/mm] geometrische Vielfachheit [mm] \ge [/mm] 1,
weswegen du nur schauen musst, ob der Eigenraum zum Eigenwert 2 die Dimension 2 hat.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Mo 07.06.2010 | | Autor: | notinX |
> Du wirst zumindest den Eigenraum zum Eigenwert 2 bestimmen
> müssen...
Für den Eigenraum gilt:
[mm] $\mathrm{Eig}(A,2)=\mathrm{Kern}(A-2\cdot E_{3})$
[/mm]
also ist der Kern dieser Matrix zu bestimmen:
[mm] $\left(\begin{array}{ccc}
1 & 4 & -3\\
2 & 5 & -4\\
3 & 9 & -7\end{array}\right)\begin{array}{c}
\\-2\cdot I\\
-3\cdot I\end{array}\rightarrow\left(\begin{array}{ccc}
1 & 4 & -3\\
0 & -3 & 2\\
0 & -3 & 2\end{array}\right)\begin{array}{c}
\\\\-II\end{array}\rightarrow\left(\begin{array}{ccc}
1 & 4 & -3\\
0 & -3 & 2\\
0 & 0 & 0\end{array}\right)$
[/mm]
damit ist:
[mm] $\mathrm{Eig}(A,2)=\mathrm{Kern}(A-2\cdot E_{3})=\left\{ s\cdot\left(\begin{array}{c}
\frac{1}{3}\\
\frac{2}{3}\\
1\end{array}\right),\ s\in\mathbb{R}\right\}
[/mm]
Also ist die geometrische Vielfachheit(=1) für [mm] $\lambda=2$ [/mm] ungleich der algebraischen(=2) und die Matrix damit nicht diagonalisierbar?
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Hallo,
> > Du wirst zumindest den Eigenraum zum Eigenwert 2 bestimmen
> > müssen...
>
> Für den Eigenraum gilt:
> [mm]\mathrm{Eig}(A,2)=\mathrm{Kern}(A-2\cdot E_{3})[/mm]
> also ist
> der Kern dieser Matrix zu bestimmen:
> [mm]$\left(\begin{array}{ccc}
1 & 4 & -3\\
2 & 5 & -4\\
3 & 9 & -7\end{array}\right)\begin{array}{c}
\\-2\cdot I\\
-3\cdot I\end{array}\rightarrow\left(\begin{array}{ccc}
1 & 4 & -3\\
0 & -3 & 2\\
0 & -3 & 2\end{array}\right)\begin{array}{c}
\\\\-II\end{array}\rightarrow\left(\begin{array}{ccc}
1 & 4 & -3\\
0 & -3 & 2\\
0 & 0 & 0\end{array}\right)$[/mm]
>
> damit ist:
> [mm]$\mathrm{Eig}(A,2)=\mathrm{Kern}(A-2\cdot E_{3})=\left\{ s\cdot\left(\begin{array}{c}
\frac{1}{3}\\
\frac{2}{3}\\
1\end{array}\right),\ s\in\mathbb{R}\right\}[/mm]
>
> Also ist die geometrische Vielfachheit(=1) für [mm]\lambda=2[/mm]
> ungleich der algebraischen(=2) und die Matrix damit nicht
> diagonalisierbar?
Alles richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") 
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mo 07.06.2010 | | Autor: | notinX |
Ok, danke erstmal.
Satz 4.3.1 aus Gerd Fischer's "Lineare Algebra" (15. Auflage) lautet:
Sei F ein Endomorphismus von V mit [mm] $n=\mathrm{dim}V$. [/mm] Dann gilt:
1) Ist F diagbar, so zerfällt das charakteristische Polynom in Linearfaktoren.
Soweit so gut. Die Negation dieses Satzes müsste doch lautetn:
Zerfällt das char. Polynom nicht in Linearfaktoren, so ist F nicht diagbar.
richtig?
Reicht es nach diesem Satz nicht aus zu zeigen, dass das char. Polynom nicht in Linearfaktoren zerfällt? (Dazu wäre eben noch zu klären was es genau bedeutet, dass ein polynom in Linearfaktoren zerfällt.)
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> Ok, danke erstmal.
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> Satz 4.3.1 aus Gerd Fischer's "Lineare Algebra" (15.
> Auflage) lautet:
> Sei F ein Endomorphismus von V mit [mm]n=\mathrm{dim}V[/mm]. Dann
> gilt:
> 1) Ist F diagbar, so zerfällt das charakteristische
> Polynom in Linearfaktoren.
>
> Soweit so gut. Die Negation dieses Satzes müsste doch
> lautetn:
> Zerfällt das char. Polynom nicht in Linearfaktoren, so ist
> F nicht diagbar.
>
> richtig?
>
> Reicht es nach diesem Satz nicht aus zu zeigen, dass das
> char. Polynom nicht in Linearfaktoren zerfällt? (Dazu
> wäre eben noch zu klären was es genau bedeutet, dass ein
> polynom in Linearfaktoren zerfällt.)
Hallo,
nein, das reicht nicht. Ein Beispiel dafür, daß das charakteristische Poilynom in Linearfaktoren erfällt und nicht diagonalisierbar ist, hast Du ja mit der vorliegenden Matrix.
Linearfaktor: ein linearer Faktor, z.B. (x-5) oder (x+7).
Kein Linearfaktor: z.B. [mm] (x^2+3). [/mm] Dieses Polynom kann man mit Koeffizienten aus [mm] \IR [/mm] nicht schreiben als (x-a)(x+b).
(Über [mm] \IC [/mm] hingegen zerfällt jedes Polynom in Linearfaktoren.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Mo 07.06.2010 | | Autor: | notinX |
Das Polynom lautet ja in diesem Fall:
$ [mm] P(\lambda)=-(\lambda-2)(\lambda-2)(\lambda-1) [/mm] $
Zerfällt das nun in Linearfaktoren oder nicht? Denn wenn ich es so schreibe:
$ [mm] P(\lambda)=-(\lambda-2)^2(\lambda-1) [/mm] $
sind nicht mehr alle Faktoren linear.
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> Das Polynom lautet ja in diesem Fall:
> [mm]P(\lambda)=-(\lambda-2)(\lambda-2)(\lambda-1)[/mm]
> Zerfällt das nun in Linearfaktoren oder nicht? Denn wenn
> ich es so schreibe:
> [mm]P(\lambda)=-(\lambda-2)^2(\lambda-1)[/mm]
> sind nicht mehr alle Faktoren linear.
Hallo,
das Polynom zerfällt in Linearfaktoren. Es werden doch drei Linearfaktoren multipliziert. Das "^2" ist doch bloß eine Abkürzung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Mo 07.06.2010 | | Autor: | notinX |
Dann verstehe ich den Sinn des Satzes nicht, lässt sich nicht jedes Polynom linearisieren?
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> Dann verstehe ich den Sinn des Satzes nicht, lässt sich
> nicht jedes Polynom linearisieren?
Hallo,
über [mm] \IR [/mm] läßt sich nicht jedes Polynom als Produkt von Linearfaktoren schreiben.
Das zuvor von mir bereits genannte Polynom [mm] x^2+3 [/mm] ist kein Linearfaktor - und es läßt sich auch nicht in solche zerlegen, was ich vielleicht deutlicher hätte schreiben sollen.
Für Polynome über [mm] \IC [/mm] sieht die Sache anders aus: über [mm] \IC [/mm] zerfällt jedes Polynom in Linearfaktoren.
Aber auch über [mm] \IC [/mm] ist mitnichten jedes Polynom diagonalisierbar.
Du weißt also bisher, daß aus der Diagonalisierbarkeit folgt, daß das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt.
Die umgekehrte Richtung gilt nicht.
Es gilt aber:
jedes Polynom, dessen c.P. in Linearfaktoren zerfällt, ist triangulierbar(=trigonalisierbar=ähnlich zu einer Dreiecksmatrix).
Ich weiß nicht, ob Ihr das Minimalpolynom schon hattet.
Hier gilt etwas, was Dir gefallen wird:
wenn das Minimalpolynom in Linearfaktoren zerfällt und jeder der Linearfaktoren nur einmal vorkommt, dann ist die Matrix diagonalisierbar.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:18 Di 08.06.2010 | | Autor: | notinX |
> über [mm]\IR[/mm] läßt sich nicht jedes Polynom als Produkt von
> Linearfaktoren schreiben.
> Das zuvor von mir bereits genannte Polynom [mm]x^2+3[/mm] ist kein
> Linearfaktor - und es läßt sich auch nicht in solche
> zerlegen, was ich vielleicht deutlicher hätte schreiben
> sollen.
>
> Für Polynome über [mm]\IC[/mm] sieht die Sache anders aus: über
> [mm]\IC[/mm] zerfällt jedes Polynom in Linearfaktoren.
> Aber auch über [mm]\IC[/mm] ist mitnichten jedes Polynom
> diagonalisierbar.
Ja, stimmt, an komplexe Nullstellen habe ich gar nicht gedacht.
>
> Du weißt also bisher, daß aus der Diagonalisierbarkeit
> folgt, daß das charakteristische Polynom in Linearfaktoren
> zerfällt.
> Die umgekehrte Richtung gilt nicht.
> Es gilt aber:
> jedes Polynom, dessen c.P. in Linearfaktoren zerfällt,
> ist triangulierbar(=trigonalisierbar=ähnlich zu einer
> Dreiecksmatrix).
>
> Ich weiß nicht, ob Ihr das Minimalpolynom schon hattet.
> Hier gilt etwas, was Dir gefallen wird:
> wenn das Minimalpolynom in Linearfaktoren zerfällt und
> jeder der Linearfaktoren nur einmal vorkommt, dann ist die
> Matrix diagonalisierbar.
Hast Du gut erkannt, dass ich nach einem einfacheren Kriterium suche Diagonalisierbarkeit zu überprüfen :)
Das Minimalpolynom hatten wir schon, aber den entsprechenden Satz vermisse ich noch.
>
> Gruß v. Angela
Vielen Dank für die Hilfe.
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> > Ich weiß nicht, ob Ihr das Minimalpolynom schon hattet.
> > Hier gilt etwas, was Dir gefallen wird:
> > wenn das Minimalpolynom in Linearfaktoren zerfällt und
> > jeder der Linearfaktoren nur einmal vorkommt, dann ist die
> > Matrix diagonalisierbar.
>
> Hast Du gut erkannt, dass ich nach einem einfacheren
> Kriterium suche Diagonalisierbarkeit zu überprüfen :)
> Das Minimalpolynom hatten wir schon, aber den
> entsprechenden Satz vermisse ich noch.
Hallo,
wenn es Dir darum geht, daß es einfach sein soll:
sofern die Matrix konkret gegeben ist, gibt es doch fast nichts einfacheres, als nachzugucken, ob alg. und geometrische Vielfachheit des Eigenwertes übereinstimmen.
Das Minimalpolynom zu finden, kann ja u.U. ziemlich lästig sein (Matrizenmultiplikationen).
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Di 08.06.2010 | | Autor: | notinX |
> wenn es Dir darum geht, daß es einfach sein soll:
>
> sofern die Matrix konkret gegeben ist, gibt es doch fast
> nichts einfacheres, als nachzugucken, ob alg. und
> geometrische Vielfachheit des Eigenwertes übereinstimmen.
Um die geometrische Vielfachheit zu errechnen muss ich doch zu jedem Eigenwert den Eigenraum bestimmen (also den Kern), oder nicht? Das finde ich schon ziemlich lästig...
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> > wenn es Dir darum geht, daß es einfach sein soll:
> >
> > sofern die Matrix konkret gegeben ist, gibt es doch fast
> > nichts einfacheres, als nachzugucken, ob alg. und
> > geometrische Vielfachheit des Eigenwertes übereinstimmen.
>
> Um die geometrische Vielfachheit zu errechnen muss ich doch
> zu jedem Eigenwert den Eigenraum bestimmen (also den Kern),
> oder nicht?
Hallo,
ja, genau.
> Das finde ich schon ziemlich lästig...
Ich kann mir natürlich auch Schöneres und vor allem Aufregenderes im Leben vorstellen, aber einen Kern zu berechnen ist doch wirklich einfach.
Wenn Du die Matrix gar auf reduzierte ZSF bringst, kannst Du die Basis sogar directement ablesen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Di 08.06.2010 | | Autor: | notinX |
Ich hatte eben die Hoffnung, dass es ein eleganteres Krierium gibt. Na ja jetzt weiß ich wenigstens, dass ich nicht weiter suchen muss.
Vielen Dank nochmals.
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> Ich hatte eben die Hoffnung, dass es ein eleganteres
> Krierium gibt.
Naja, wenn du das Minimalpolynom aus irgendeinem Grund kennst (und den Zusammenhang), dann ist das natürlich elegant.
Achso, und natürlich dies: wenn eine [mm] n\times [/mm] n-Matrix n verschiedene Eigenwerte hat, folgt natürlich auch die Diagonalisierbarkeit.
Gruß v. Angela
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