Linearfaktoren einer Funktion < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Fr 03.05.2013 | | Autor: | alinus |
Kann mir jemand erkären, warum sich die Linearfaktoren einer Polynomfunktion aus den Nullstellen dieser Polynomfunktion ergeben? Bzw. warum es gerade die Nullstellen sind?
Danke 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Fr 03.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich weiß gerade nicht, ob ich Deine Frage:
> Kann mir jemand erkären, warum sich die Linearfaktoren
> einer Polynomfunktion aus den Nullstellen dieser
> Polynomfunktion ergeben? Bzw. warum es gerade die
> Nullstellen sind?
richtig verstehe: Kannst Du sie nochmal umformulieren?
(Du kannst es auch mit einem Beispiel verdeutlichen!)
Falls ich sie richtig verstehe: Das begründet sich bspw. mit
der Polynomdivision!
(Man kann es auch anders begründen, aber gibt's da was schulgerechtes?)
P.S. Wenn Du irgendwie dran kommst, schau mal in "Heuser, Analyis I",
vielleicht findest Du auch mit Googel books entsprechende Stellen. Da
steht - soweit ich mich erinnere - einiges sehr ausführlich zu
Polynomfunktionen. Ich muss leider jetzt weg...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:33 Sa 04.05.2013 | | Autor: | alinus |
Hallo Marcel,
vielen Dank für die Antworten!
ich akzeptiere jetzt einfach, das sich jedes Polynom durch eindeutig bestimmbare andere Polynome darstellen lassen.
Wenn ich das Polynom p gegeben habe und es durch x-x1 teilen möchte, dann geht das nur, wenn x1 eine Nullstelle von p ist.
So wie das auch im Heuser beschrieben wird.
Das reicht mir erstmal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Sa 04.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> vielen Dank für die Antworten!
>
> ich akzeptiere jetzt einfach, das sich jedes Polynom durch
> eindeutig bestimmbare andere Polynome darstellen lassen.
> Wenn ich das Polynom p gegeben habe und es durch x-x1
schreibe das als [mm] $x-x_1$ [/mm] ($x-x_1$)
> teilen möchte, dann geht das nur, wenn x1 eine Nullstelle
> von p ist.
Ne, Polynomdivision kannst Du natürlich immer betreiben. Ist halt die
Frage, "ob sie dann abbricht" (ähnlich, wie Du etwa bei der schriftlichen
Division [mm] $17:7\,$ [/mm] ja auch rechnen kannst - übrigens macht man bei beiden
Verfahren prinzipiell sogar das gleiche; man verwendet eigentlich nur
sowas wie das Distributiv-, Ass. und Kommutativgesetz und "schaut sich
Differenzen an"), bzw. sagen wir es mal besser: Wenn [mm] $x_1\,$ [/mm] Nullstelle von
[mm] $p\,$ [/mm] ist, dann entsteht bei der Polynomdivision [mm] $p:(x-x_1)$ [/mm] wieder ein
Polynom (ohne "Rest, der eine 'echte' rationale Funktion ist").
> So wie das auch im Heuser beschrieben wird.
> Das reicht mir erstmal
Okay. Wie gesagt: Genaueres steht im Heuser, das ist auch nicht so schwer
verständlich (lies Dir die paar zugehörigen Seiten zuvor auch noch durch).
Du kannst aber auch gerne nochmal nachfragen.
Und nur als Beispiel:
[mm] $p(x)=(x^2-1)$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] hat genau die Nullstellen [mm] $x=1\,$ [/mm] bzw. [mm] $x=-1\,.$
[/mm]
Du kannst aber dennoch rechnen:
[mm] $(x^2-1):(x+3)=x+...$
[/mm]
Jetzt rechnest Du [mm] $(x^2-1)-x*(x+3)=x^2-1-x^2-3=-4$ [/mm] und siehst so
[mm] $(x^2-1):(x+3)=x+\frac{-4}{x+3}$
[/mm]
Da steht halt rechterhand nur kein Polynom.
Gruß,
Marcel
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Satz 15.3 (Divisionssatz)