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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Mi 03.05.2006 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, in dem [mm] 1+1\not= [/mm] 0 gilt, und [mm] V_{i}, [/mm] 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] r endlich-dimensionale K-Vektorräume. Eine Abbildung
f: [mm] V_{1} \times [/mm] ... [mm] V_{r} \to [/mm] K heißt r-Linearform, wenn sie in jedem Argument K-linear ist.
1. Zeigen Sie, dass die Menge aller r-Linearformen ein K-Vektorraum ist, und bestimmen Sie seine Dimension als Funktion der Dimension der Vektorräume [mm] V_{i}.
[/mm]
Seien nun alle Vektorräume gleich, also [mm] V_{1} [/mm] = [mm] V_{2} [/mm] =...= [mm] V_{r} [/mm] = V. Eine K-Linearform [mm] f:V^{r} \to [/mm] K heißt alternierend, wenn für jedes r-Tupel von Vektoren [mm] v_{i} \in [/mm] V gilt, dass [mm] f(v_{1},v_{2},...v_{r}) [/mm] = 0, sobald zwei [mm] v_{i} [/mm] gleich sind.
2. Sei nun r = [mm] dim_{K}V. [/mm] Zeigen Sie, dass der Raum aller alternierenden [mm] dim_{K}V [/mm] - Linearformen eindimensional ist.
3. Schließen Sie aus Teil 2, dass es für jeden Endomorphismus A von V genau einen Skalar d(A) [mm] \in [/mm] K gibt, so dass für jede alternierende r-Linearform f und alle [mm] v_{i}\in [/mm] V die Beziehung
[mm] f(Av_{1}, Av_{2},...,Av_{r}) [/mm] = [mm] d(A)f(v_{1},v_{2},...,v_{r})
[/mm]
erfüllt ist.
Wählen Sie nun eine Basis B von V und erhalten Sie einen Isomorphismus
[mm] M_{B}^{B}: [/mm] End(V) [mm] \to [/mm] M(r [mm] \times [/mm] r,K)
4. Zeigen Sie: Die Abbildung M(r [mm] \times [/mm] r, K) [mm] \to [/mm] K
M [mm] \mapsto d((M_{B}^{B})^{-1} [/mm] M)
ist eine Determinantenabbildung.
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Hallo zusammen,
habe hier eine ziemlich lange Aufgabe gestellt bekommen und weiß überhaupt nicht wo ich anfangen soll.
zu 1. was bedeutet "wenn sie in jedem Argument K-linear ist"
Eigentlich muß ich doch hier die Vektorraumaxiome prüfen bzgl. der Addition und der skalaren Multiplikation? Da es sich ja um einen K-Vektorraum handeln soll, kann man von diesem also auch die Dimension bestimmen doch wie gehe ich davor? Wahrscheinlich kann man die Dimensionsformel anwenden, oder?
Ich bin leider völlig überfragt, vielleicht könnt ihr mir einen Tipp geben, wie ich am besten anfangen kann...
Vielen Dank
Gruß Vicky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Mi 03.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Vicky!
> Sei K ein Körper, in dem [mm]1+1\not=[/mm] 0 gilt, und [mm]V_{i},[/mm] 1 [mm]\le[/mm]
> i [mm]\le[/mm] r endlich-dimensionale K-Vektorräume. Eine Abbildung
>
>
> f: [mm]V_{1} \times[/mm] ... [mm]V_{r} \to[/mm] K heißt r-Linearform, wenn
> sie in jedem Argument K-linear ist.
>
> 1. Zeigen Sie, dass die Menge aller r-Linearformen ein
> K-Vektorraum ist, und bestimmen Sie seine Dimension als
> Funktion der Dimension der Vektorräume [mm]V_{i}.[/mm]
>
> Seien nun alle Vektorräume gleich, also [mm]V_{1}[/mm] = [mm]V_{2}[/mm] =...=
> [mm]V_{r}[/mm] = V. Eine K-Linearform [mm]f:V^{r} \to[/mm] K heißt
> alternierend, wenn für jedes r-Tupel von Vektoren [mm]v_{i} \in[/mm]
> V gilt, dass [mm]f(v_{1},v_{2},...v_{r})[/mm] = 0, sobald zwei [mm]v_{i}[/mm]
> gleich sind.
>
> 2. Sei nun r = [mm]dim_{K}V.[/mm] Zeigen Sie, dass der Raum aller
> alternierenden [mm]dim_{K}V[/mm] - Linearformen eindimensional ist.
>
> 3. Schließen Sie aus Teil 2, dass es für jeden
> Endomorphismus A von V genau einen Skalar d(A) [mm]\in[/mm] K gibt,
> so dass für jede alternierende r-Linearform f und alle
> [mm]v_{i}\in[/mm] V die Beziehung
>
> [mm]f(Av_{1}, Av_{2},...,Av_{r})[/mm] =
> [mm]d(A)f(v_{1},v_{2},...,v_{r})[/mm]
>
> erfüllt ist.
>
> Wählen Sie nun eine Basis B von V und erhalten Sie einen
> Isomorphismus
>
> [mm]M_{B}^{B}:[/mm] End(V) [mm]\to[/mm] M(r [mm]\times[/mm] r,K)
>
> 4. Zeigen Sie: Die Abbildung M(r [mm]\times[/mm] r, K) [mm]\to[/mm] K
> M [mm]\mapsto d((M_{B}^{B})^{-1}[/mm]
> M)
>
> ist eine Determinantenabbildung.
>
> Hallo zusammen,
>
> habe hier eine ziemlich lange Aufgabe gestellt bekommen und
> weiß überhaupt nicht wo ich anfangen soll.
> zu 1. was bedeutet "wenn sie in jedem Argument K-linear
> ist"
Nehmen wir mal ein Beispiel mit zwei Argumenten: $f : [mm] V_1 \times V_2 \to [/mm] K$. Seien [mm] $v_1 \in V_1$ [/mm] und [mm] $v_2 \in V_2$. [/mm] Dann heisst ``$K$-linear in jedem Argument'', dass sowohl die Funktion [mm] $f(\bullet, v_2) [/mm] : [mm] V_1 \to [/mm] K$, $v [mm] \mapsto [/mm] f(v, [mm] v_2)$ [/mm] als auch die Funktion [mm] $f(v_1, \bullet) [/mm] : [mm] V_2 \to [/mm] K$, $v [mm] \mapsto f(v_1, [/mm] v)$ linear sein soll, und zwar fuer jedes (feste) [mm] $v_1$, $v_2$.
[/mm]
Ein Beispiel kennst du: die Determinante [mm] $\det [/mm] : M(n [mm] \times [/mm] n; K) [mm] \to [/mm] K$. Wenn du die $n [mm] \times [/mm] n$-Matrizen zeilenweise aufschreibst, kannst du $M(n [mm] \times [/mm] n; K)$ mit [mm] $K^n \times \dots \times K^n$ [/mm] identifizieren ($n$ Faktoren im Produkt), wobei jeder [mm] $K^n$ [/mm] einer Zeile der Matrix entspricht. So aufgefasst ist die Determinante eine $n$-Linearform. Man umschreibt dies auch gerne mit ``Die Determinante ist linear in jeder Zeile'' (hast du vielleicht schonmal gehoert?).
> Eigentlich muß ich doch hier die Vektorraumaxiome prüfen
> bzgl. der Addition und der skalaren Multiplikation? Da es
Genau.
> sich ja um einen K-Vektorraum handeln soll, kann man von
> diesem also auch die Dimension bestimmen doch wie gehe ich
> davor? Wahrscheinlich kann man die Dimensionsformel
> anwenden, oder?
Nein, versuche am besten direkt eine Basis aufzustellen.
Etwa bei 1-Linearformen, die ja genau die linearen Abbildungen sind, hast du [mm] $\dim V_1$ [/mm] Basisvektoren: Definiere [mm] $f_1, \dots, f_n [/mm] : [mm] V_1 \to [/mm] K$ durch [mm] $f_i(e_i) [/mm] = 1$ und [mm] $f_i(e_j) [/mm] = 0$ fuer $i [mm] \neq [/mm] j$, wobei [mm] $e_i$ [/mm] irgendwelche Basisvektoren aus dem [mm] $V_1$ [/mm] sind.
Bei den 2-Linearformen hast du [mm] $\dim V_1 \cdot \dim V_2$ [/mm] Basisvektoren: Definiere [mm] $f_{i,j}$, [/mm] $i, j = 1, [mm] \dots, [/mm] n$ durch [mm] $f_{i,j}(e_k, e_\ell) [/mm] = 1$ falls $(i, j) = (k, [mm] \ell)$ [/mm] und $ = 0$ sonst.
Versuch das mal nachzuvollziehen. Dann solltest du damit auch alleine weiterkommen...
LG Felix
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