Linearisierung < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Mi 26.02.2014 | | Autor: | Theb |
| Aufgabe | Am oberen Scheitelpunkt eines feststehenden Zylinders mit dem Raius R wird ein Fadenpendel befestigt (idealer Faden, an dessen Freiem Ende ein körper mit der Punktmasse m hängt). Der Winkel [mm] \varphi [/mm] bezeichne die Auslenkung des Fadens gegenüber dem Lot. Die nichtlineare Bewegungsgleichung lautet:
[mm] (l+R\varphi)*\ddot{\varphi} [/mm] + [mm] g*sin(\varphi) [/mm] + R [mm] \dot{\varphi}^2 [/mm] = 0
für den Bereich [mm] |\varphi [/mm] | < [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
a) Bestimmen sie die Ruhelage [mm] \varphi^0 [/mm] des Sytems
b) Linearisieren sie die Bewegungsgleichungen um diese Ruhelage und geben sie die linearisierten "Bewegungsgleichungen" für das kleinsignal [mm] \tilde \varphi =\varphi [/mm] - [mm] \varphi^0 [/mm] an.
c) Beschreiben sie die Bewegung des Pendels in analytischer Form bei einer kleinen Anfangsauslenkung [mm] \tilde \varphi(0)=\tilde \varphi^a [/mm] und verschwindender Anfangswinkelgeschwindigkeit [mm] \dot{\tilde \varphi}(0) [/mm] = 0 um die Ruhelag im Zeitbereich. |
Hallo,
mein Problem ist eher Aufgabe 1b.
Zu Aufgabe 1a habe ich für [mm] \varphi^0=0 [/mm] rausbekommen, ist das soweit korrekt?
Als nächstes habe ich mich an der linearisierung versucht. Das Kleinsignalverhalten sagt mir doch das ich Taylor-Entwicklung machen soll. Jedoch weiß ich nicht welche Gleichung ich entwickeln soll. Denn der Term
[mm] $(\ell+R*\varphi)*\ddot{\varphi}+g*\sin(\varphi)+R*\dot{\varphi}^2=0$ [/mm] ist ja noch keine gleichung um nach etwas abzuleiten. Also ich weiß nicht nach was ich diese Gleichung umstellen muss bzw soll.
Ein weiterer Ansatz von mir wäre das ich sage für sehr kleine [mm] \varphi [/mm] nutze ich die näherungen:
[mm] $\sin(\varphi)=\varphi$ [/mm] ; [mm] $\ddot{\varphi}=0$ [/mm] ; [mm] $\dot{\varphi}^2=0$
[/mm]
jedoch wird meine Linearisierte Bgl. dann zu [mm] g*\varphi=0 [/mm] und das kann ich mir irgendwie nicht vorstellen.
Kann mir bitte jemand auf die Sprünge helfen wie ich weiter vorgehen kann?
MfG Seb
PS: ich hoffe man kann sich den Vorgang auch ohne Skizze / Bild vortellen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 Mi 26.02.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Theb!
Die Ableitungspunkte über den Variablen kannst Du hier wie folgt darstellen:
\dot{\varphi} ergibt [mm]\dot{\varphi}[/mm]
\ddot{\varphi} ergibt [mm]\ddot{\varphi}[/mm]
Ich habe mir mal erlaubt, das in Deinem Artikel zu editieren.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Mi 26.02.2014 | | Autor: | Theb |
Danke :)
Wollte ich auch eigentlich noch nachfragen :D
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:19 Mi 26.02.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Theb,
zu deinem Dateianhang: das ist so leider für uns nicht nachvollziehbar. Bitte habe Verständnis, dass wir uns zum Zwecke der Prüfung solcher Anhänge nicht erst igrnendwo anmelden können. Ohne ist aber nicht zu überprüfen, ob dein Anhang so gedruckt wie er ist frei ist.
Sei doch so gut und male die Skizze von Hand nach, das kannst du dann ohne Probleme hier hochladen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:01 Mi 26.02.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo Theb,
mit Regelungstechnik hat diese Aufgabe wirklich nichts zu tun. Sie kommt aus der Mechanik in der Physik und dorthin verschiebe ich sie nun mal. Der Zuspruch ist dort hoffentlich größer als in der Regelungstechnik.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Mi 26.02.2014 | | Autor: | Theb |
Vielen Dank, jedoch ist dies eine Prüfungsaufgabe aus der Regelungstechnik, deshalb meine Entscheidung.
Lg Seb
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Mi 26.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sollst doch [mm] \dot{\varphi}=\phi-\phi_0 [/mm] nehmen, also bei Vernachlässigung von [mm] \phi^2 [/mm] gegen [mm] \phi*˜phi_0
[/mm]
es ist sicher nicht [mm] \phi'=0
[/mm]
gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:45 Mi 26.02.2014 | | Autor: | Theb |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 Mi 26.02.2014 | | Autor: | Theb |
> Hallo
> du sollst doch [mm]\dot{\varphi}=\phi-\phi_0[/mm] nehmen, also bei
es steht [mm] \tilde{\varphi} [/mm] nicht [mm] \dot{\varphi}
[/mm]
> Vernachlässigung von [mm]\phi^2[/mm] gegen [mm]\phi*˜phi_0[/mm]
> es ist sicher nicht [mm]\phi'=0[/mm]
> gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Do 27.02.2014 | | Autor: | chrisno |
Ich denke auch, dass es sich nur um eine Variablentransformation handelt. In diesem Fall reduziert sie sich auf die Identität. da die Ruhelage bei Null ist.
Ich würde gerne ein Bild sehen, um die Differentialgleichung zu verstehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Do 27.02.2014 | | Autor: | chrisno |
$ [mm] (L+R\varphi) \cdot \ddot{\varphi} [/mm] + g [mm] \cdot \sin(\varphi) [/mm] + R [mm] \dot{\varphi}^2 [/mm] = 0$
Ist eine "Bewegungsgleichung zu der die Lösung [mm] $\varphi(t)$ [/mm] gesucht ist.
Mit der Näherung für "kleine" [mm] $\varphi$: [/mm]
aus [mm] $(L+R\varphi)$ [/mm] wird L,
aus [mm] $\sin(\varphi)$ [/mm] wird [mm] $\varphi$
[/mm]
aus [mm] $\dot{\varphi}^2$ [/mm] wird 0.
Dann bleibt die Bewegungsgleichung für eine harmonische Schwingung übrig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Do 27.02.2014 | | Autor: | Theb |
> [mm](L+R\varphi) \cdot \ddot{\varphi} + g \cdot \sin(\varphi) + R \dot{\varphi}^2 = 0[/mm]
>
Hallo, vielen Dank schonmal für deine antwort
> Ist eine "Bewegungsgleichung zu der die Lösung [mm]\varphi(t)[/mm]
> gesucht ist.
> Mit der Näherung für "kleine" [mm]\varphi[/mm]:
> aus [mm](L+R\varphi)[/mm] wird L,
> aus [mm]\sin(\varphi)[/mm] wird [mm]\varphi[/mm]
> aus [mm]\dot{\varphi}^2[/mm] wird 0.
> Dann bleibt die Bewegungsgleichung für eine harmonische
> Schwingung übrig.
Also bedeutet das, dass meine linearisierte BGL
[mm] l\cdot \ddot{\varphi}+ [/mm] g [mm] \cdot \varphi [/mm] = 0
ist?
Aber dafür nutze ich doch garnicht mein kleinsignalverhalten oder? Also mein [mm] \tilde \varphi [/mm] = [mm] \varphi [/mm] - [mm] \varphi_0
[/mm]
und vor allem verstehe ich nicht wieso nach Bewegungsgleichungen
gefragt ist. Ich habe doch nur eine?
LG Seb
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 Do 27.02.2014 | | Autor: | Theb |
Hallo, danke für deine ausführlichen Antworten,
also
das [mm] \dot {\varphi} [/mm] = 0 kommt bei uns daher, weil gesagt wird das es sich um eine Ruhelage handelt, d.h. keine Bewegungen.
ich habe das ganze jetzt noch einmal mit der Taylorentwicklung Linearisiert und siehe da, ich bekomme das selbe Ergebnis.
Bzw eigentlich müsste die BGL
l [mm] \cdot \ddot {\tilde\varphi} [/mm] + g [mm] \cdot \tilde \varphi [/mm] = 0
lauten. (also mit den Tilden)
Der "Knackpunkt" war der gewesen, das der Funktionswert der Ruhelage, wieder die Ruhelage selbst ist, damit sind die Bewegungen (Geschwindigkeiten und Beschleunigungen) wieder 0.
ich habe diese Rechnungsweise mit einigen anderen Übungsaufgaben ausprobiert. Da es sich bei uns bisher immer um Ruhelagen handelt, werden die Zeitableitungen von [mm] \varphi_0 [/mm] = 0 gesetzt.(auch bei den Lösungswegen vom Prof.)
Ob diese Bewegungsgleichung physikalisch korrekt ist, kann ich nicht beurteilen, denn eigentlich geht es hier um Regelungstechnik
(jedoch hat das Thema den Moderatoren hier nicht zu Regelungstechnik gepasst ;) )
und ja es geht um einen feststehenden Zylinder. Ich würde auch behaupten das man die Reibungen vernachlässigt, sicher dabei bin ich mir jedoch nicht, da ich nur ein Schema zur Linearisierung von nichtlinearen Differentialgleichungen anwende.
aber vielen dank trotzdem für deine hilfe
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