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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:21 Di 21.03.2006 | | Autor: | Strenni |
| Aufgabe | | Linearisieren Sie die Funktion y = f(x) = lg [mm] (x^{2} [/mm] + 1) an den Stellen x = 0 und x = 3. Wie lauten die Gleichungen der an diesen Stellen an den Graphen der Funktion angelegten Tangenten? Ersetzen Sie den Differenzenquotienten durch das Differential von f(x) und ermitteln Sie so Näherungswerte für f(0,1) und f(2,9). Vergleichen Sie mit den exakten Werten! |
Der erste Teil der Aufgabe fiel mir noch relativ leicht:
mit T: y= [mm] f(x_{0}) [/mm] + [mm] f'(x_{0}) [/mm] (x - [mm] x_{0}) [/mm] errechne ich
für [mm] T_{1} [/mm] in x = 0: [mm] y_{T_{1}} [/mm] = 0 und
für [mm] T_{2} [/mm] in x = 3: [mm] y_{T_{2}} [/mm] = 0,6x - 0,8
Ich geh mal davon aus, dass die Tangenten passen. Also soweit, so gut. Nur was ist jetzt mit dem zweiten Aufgabenteil gemeint?
Der Differenzenquotient errechnet sich ja meines Wissens aus:
[mm] \bruch{\Delta y}{\Delta x} [/mm] = [mm] \bruch{y_{1} - y_{0}}{x_{1} - x_{0}} [/mm] = [mm] \bruch{f(x_{0} + h) - f(x_{0})}{h}
[/mm]
Diesen soll ich nun durch das Differential von f(x) ersetzen und damit Näherungswerte bestimmen.
Das Differential lautet, wenn mich nicht alles täuscht:
f'(x) = [mm] \bruch{2x}{ln10 (x^{2} + 1)}
[/mm]
Aber wo, bzw. wie soll mir das jetzt weiterhelfen bei der Bestimmung der Näherungswerte? Vielleicht hat jemand von Euch einen Ansatz für mich.
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Hallo und guten Morgen,
ich finde die Aufgabenstellung recht komisch. Zuerst wird von den Tangenten gesprochen, und Deine
Formeln dazu sind richtig. Dann ist auf einmal die Rede vom Differenzenquotienten und dem Grenzwert, der Ableitung.
Na ja, mit dem letzterern (f(0,9) zB) ist wohl gemeint, dass Du den Wert der Tangente an f(x) im Punkt x=0
an der Stelle 9 mit dem Funktionswert f(9) vergleichen sollst.
Viele Gruesse,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Di 21.03.2006 | | Autor: | Strenni |
Hallo Mathias,
herzlichen Dank für Deine Antwort, aber ich denke, die Aufgabenstellung geht eher in Richtung mathemaduenn's Antwort. Trotzdem nochmal danke für's Reinfriemeln. ;)
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Hallo Strenni,
> Der Differenzenquotient errechnet sich ja meines Wissens
> aus:
>
>
> Diesen soll ich nun durch das Differential von f(x)
> ersetzen und damit Näherungswerte bestimmen.
>
> Das Differential lautet, wenn mich nicht alles täuscht:
>
> f'(x) = [mm]\bruch{2x}{ln10 (x^{2} + 1)}[/mm]
>
> Aber wo, bzw. wie soll mir das jetzt weiterhelfen bei der
> Bestimmung der Näherungswerte? Vielleicht hat jemand von
> Euch einen Ansatz für mich.
Ich gehe mal davon aus das Du in die erste Formel rechts den Diff.quotienten ersetzten sollst.
[mm]\bruch{\Delta y}{\Delta x} =\bruch{y_{1} - y_{0}}{x_{1} - x_{0}} = f'(x_0)[/mm]
Für f(0,1), also den Funktionswert an der Stelle 0,1 , kannst Du nun [mm] x_0=0 [/mm] und [mm] x_1=0,1 [/mm] und [mm] y_0=f(0) [/mm] einsetzen und erhälst mit [mm] y_1 [/mm] eine Näherung für f(0,1).
Alles klar?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Di 21.03.2006 | | Autor: | Strenni |
Herzlichen Dank mathemaduenn, ich glaube, das ist nachvollziehbar. :)
Hab mich auch direkt mal an die Lösung gesetzt:
[mm] \bruch{\Delta y}{\Delta x} [/mm] = [mm] \bruch{ y_{1} - y_{0}}{ x_{1} - x_{0}} [/mm] = [mm] f'(x_{0}) [/mm] = [mm] \bruch{2x_{0}}{ln10(x_{0}^{2} + 1)}
[/mm]
für f(0,1): [mm] x_{0} [/mm] = 0, [mm] x_{1} [/mm] = 0,1
[mm] \bruch{\Delta y}{\Delta x} [/mm] = [mm] \bruch{ y_{1} - 0}{ 0,1 - 0} [/mm] = [mm] \bruch{2 * 0}{ln10(0^{2} + 1)}
[/mm]
f(0,1) = [mm] y_{1} [/mm] = 0 als Näherungswert
f(0,1) = 0,0043213... als exakter Wert
für f(2,9): [mm] x_{0} [/mm] = 3, [mm] x_{1} [/mm] = 2,9
[mm] \bruch{\Delta y}{\Delta x} [/mm] = [mm] \bruch{ y_{1} - 1}{ 2,9 - 3} [/mm] = [mm] \bruch{2 * 3}{ln10(3^{2} + 1)}
[/mm]
f(2,9) = [mm] y_{1} [/mm] = 0,974 als Näherungswert
f(2,9) = 0,973589... als exakter Wert
Schaut auf jeden Fall nicht schlecht und auch nachvollziehbar aus. Also nochmal Danke für den Tipp! ;)
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