Linearität < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Mo 09.01.2012 | | Autor: | diab91 |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^{n} \to \IR^{k} [/mm] eine an der Stelle 0 total differenzierbare Abbildung
mit der Eigenschaft f(c*x) = c*f(x) für alle c [mm] \in \IR [/mm] und x [mm] \in \IR^{n}.
[/mm]
Beweisen Sie, dass f linear ist. |
Guten Abend,
ich hänge momentan an dieser Aufgabe. Da f(c*x) = c*f(x) für alle c [mm] \in \IR [/mm] und x [mm] \in \IR^{n} [/mm] muss man doch nur zeigen, dass f(x+y) = f(x) + f(y) gilt oder verwechsel ich da irgendwas?
Nun gut. f ist in 0 total differenzierbar d.h [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR^{n}: [/mm] f(x) = f(0) + Df(0)*(x)+r(x) = Df(0)*x+r(x) und [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{r(x)}{||x||_{2}} [/mm] = 0. Also gilt: f(x+y) = Df(0)(x+y) + r(x+y) = Df(0)(x)+Df(0)(y) + r(x+y). Ab hier komme ich leider nicht weiter.Freue mich über eure Hilfe :).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Mo 09.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei f: [mm]\IR^{n} \to \IR^{k}[/mm] eine an der Stelle 0 total
> differenzierbare Abbildung
> mit der Eigenschaft f(c*x) = c*f(x) für alle c [mm]\in \IR[/mm]
> und x [mm]\in \IR^{n}.[/mm]
> Beweisen Sie, dass f linear ist.
> Guten Abend,
>
> ich hänge momentan an dieser Aufgabe. Da f(c*x) = c*f(x)
> für alle c [mm]\in \IR[/mm] und x [mm]\in \IR^{n}[/mm] muss man doch nur
> zeigen, dass f(x+y) = f(x) + f(y) gilt oder verwechsel ich
> da irgendwas?
das reicht hier, weil ja die andere Bedingung
[mm] $$f(c*x)=c*f(x)\,\;\;\;\;\;(c \in\IR,\;x \in \IR^n)$$
[/mm]
mit vorausgesetzt wurde!
>
> Nun gut. f ist in 0 total differenzierbar d.h [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR^{n}:[/mm]
> f(x) = f(0) + Df(0)*(x)+r(x) = Df(0)*x+r(x) und
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{r(x)}{||x||_{2}}[/mm] = 0. Also
> gilt: f(x+y) = Df(0)(x+y) + r(x+y) = Df(0)(x)+Df(0)(y) +
> r(x+y). Ab hier komme ich leider nicht weiter.Freue mich
> über eure Hilfe :).
Warum fängst Du nicht mit was einfachem an? Wieweit man damit kommt, weiß ich noch nicht. Aber was gilt denn offensichtlich? Ich schreibe mal [mm] $o_n \in \IR^n$ [/mm] für die Null des [mm] $\IR^n\,,$ [/mm] analog [mm] $o_k$ [/mm] und [mm] $0:=0_{\IR}$ [/mm] für die Null aus [mm] $\IR\,.$
[/mm]
1.) Es gilt [mm] $f(o_n)=f(0*o_n)=0*f(o_n)=o_k\,.$ [/mm]
Aber das hast Du oben ja schon benutzt.
Was auch gilt, ist
[mm] $$f(c*x)=Df(0)*(c*x)+r(c*x)\,,$$
[/mm]
also wegen [mm] $f(c*x)=c*f(x)\,$ [/mm] auch
[mm] $$c*(Df(0)*x+r(x))=c*Df(0)*x+r(c*x)\,.$$
[/mm]
Daraus folgt schonmal [mm] $r(c*x)=c*r(x)\,.$ [/mm] Naja, momentan sehe ich auch nicht, wie's weitergeht...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mo 09.01.2012 | | Autor: | diab91 |
Hallo Marcel,
vielen Dank für deine Hilfe. Mir ist bis jetzt leider auch nichts wirklich neues eingefallen. Was man halt noch irgendwie nutzen könnte, dass [mm] \limes_{x\rightarrow 0 } \bruch{r(c*x)}{||c*x||_{2}} [/mm] = [mm] \bruch{c}{|c|} *\limes_{x\rightarrow 0 } \bruch{r(x)}{||x||_{2}} [/mm] gilt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:40 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> vielen Dank für deine Hilfe. Mir ist bis jetzt leider auch
> nichts wirklich neues eingefallen. Was man halt noch
> irgendwie nutzen könnte, dass [mm]\limes_{x\rightarrow 0 } \bruch{r(c*x)}{||c*x||_{2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{c}{|c|} *\limes_{x\rightarrow 0 } \bruch{r(x)}{||x||_{2}}[/mm]
> gilt.
>
>
aus Freds Antwort/Ergebnis kannst Du nun leicht die Behauptung ablesen.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:53 Di 10.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Wegen f(0)=0 haben wir:
(*) $r(x):= [mm] \bruch{f(x)-f'(0)*x}{||x||} \to [/mm] 0$ für $x [mm] \to [/mm] 0$.
Sei nun [mm] x_0 \in \IR^n [/mm] fest und [mm] \ne [/mm] 0. Setze [mm] x_n:= \bruch{1}{n}*x_0.
[/mm]
Wegen (*) haben wir: [mm] r(x_n) \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty. [/mm] Es ist aber (nachrechnen mit der Vor. f(cx)=cf(x)):
[mm] r(x_n)= \bruch{f(x_0)-f'(0)*x_0}{||x_0||}.
[/mm]
Somit ist [mm] f(x_0)=f'(0)*x_0.
[/mm]
Da [mm] x_0 [/mm] bel. war und wir schon wissen, dass f(0)=0 ist, haben wir:
[mm] $f(\xi)=f'(0)* \xi$ [/mm] für jedes [mm] $\xi \in \IR^n$
[/mm]
FRED
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