Linearität, Stetigk., Wohldef. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:33 So 22.04.2012 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Betrachten Sie die normierten Räume [mm] $X=\left( C([0,1]), \lVert\cdot\rVert_1\right)$ [/mm] und [mm] $Y=\left( C([0,1]), \lVert\cdot\rVert_\infty\right)$. [/mm] Weisen Sie nach, dass
[mm] $L\colon X\to [/mm] Y, [mm] \qquad [/mm] L(f)(x) = [mm] \int_0^x f(t)\textrm{dt}$ [/mm]
eine wohldefinierte, lineare und stetige Abbildung definiert. Berechnen Sie darüber hinaus die Norm [mm] $\lVert L\rVert_{X\to Y}$ [/mm] der Abbildung $L$. |
Wie ja eigentlich fast jede Woche, benötige ich mal wieder eure Hilfe:
Zum Einen, hab ich noch nie explizit die Wohldefiniertheit von Irgendwas nachgewiesen (nicht explizit im Sinne von "ich habe wahrscheinlich schon mal so etwas nachgewiesen, da wurde es aber nicht so genannt"). Ich habe deswegen mal bei Wikipedia wegen einer Definition zur Wohldefiniertheit vorbeigeschaut und habe mir deswegen überlegt, dass die Wohldefiniertheit ja eigentlich aus dem Hauptsatz der Diff.- und Int.-Rechnung folgen müsste, oder? Ich weiß nur ehrlich gesagt nicht so richtig, was ich dazu dann genau schreiben soll.
[mm] $L(f)(x)=\int_0^x f(t)\textrm{dt} [/mm] = F(x)-F(0) = [mm] F\big\rvert^x_0$ [/mm] sagt ja jetzt wahrscheinlich noch nicht so viel aus, oder?
Die Linearität ergibt sich ja, meines Erachtens, schlicht aus der Linearität des Integrals. Ich denke mal, das brauche ich jetzt hier nicht hinzuschreiben, es sei denn das reicht nicht, dann kann ich ja noch meine Lösung hier einstellen.
Bei der Stetigkeit haperts bei mir dann jetzt allerdings gewaltig. Ich hatte und habe immer noch Schwierigkeiten die Stetigkeit selbst von einfachen Funktionen in [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] nachzuweisen, wenn ich nicht einfach aufs Folgenkriterium zurückgreifen kann, und deswegen habe ich auch arge Probleme mit diesem Teil der Aufgabe hier.
Bis jetzt habe ich nur den Verdacht, dass man wohl in irgendeiner Art und Weise [mm] $\lVert f\rVert_1\leqslant \lVert f\rVert_\infty$ [/mm] brauchen wird, aber viel weiter bin ich noch nicht. Ich hatte allerdings vor die Stetigkeit entweder über
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta >0\colon f(B_\delta(a))\subseteq B_\varepsilon(f(a))$ [/mm]
oder
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta >0\forall x\in X\colon d_1(x,a)<\delta \Rightarrow d_2(f(x),f(a))<\varepsilon$ [/mm]
zu zeigen (wobei [mm] $(X,d_1)$ [/mm] und [mm] $(Y,d_2)$ [/mm] metrische Räume, [mm] $a\in [/mm] X$ und [mm] $f\colon X\to [/mm] Y$).
Ich denke mal die zweite Version ist einfacher (weil ich bei der ersten auch noch weniger Ahnung hab, wie ich das angehen müsste), bin da aber auch noch nicht weit gekommen:
Seien [mm] $f,g\in [/mm] X$ beliebig:
[mm] $\left\lVert L(f)(x)-L(g)(x)\right\rVert_\infty=\left\lVert \int_0^x f(t)\textrm{dt} -\int_0^x g(t)\textrm{dt}\right\rVert_\infty=\left\lVert \int_0^x (f-g)(t)\textrm{dt}\right\rVert_\infty \leqslant \left\lVert x \cdot \underset{t\in[0,1]}{\sup} \left\lvert (f-g)(t)\right\rvert\right\rVert_\infty \leqslant \left\lVert\underset{t\in[0,1]}{\sup} \left\lvert (f-g)(t)\right\rvert\right\rVert_\infty [/mm] = [mm] \underset{t\in[0,1]}{\sup} \left\lvert (f-g)(t)\right\rvert$ [/mm]
Das ist zwar, hoffe ich, soweit richtig, bringt mich aber kein Stück weiter.
Deswegen wäre ich auch, wie immer, dankbar für Korrekturen und Tipps. 
Über die Norm habe ich mir übrigens noch gar keine Gedanken gemacht, deswegen befürchte ich, dass ich dazu auch noch was werde fragen müssen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:35 So 22.04.2012 | | Autor: | fred97 |
1. Wohldefiniert ist L , weil für jedes f [mm] \in [/mm] C[0,1] gilt:
f ist integrierbar über [0,x] für jedes x [mm] \in [/mm] [0,1].
2. Die Linearität von L folgt aus der Linearität des Integrals.
3. Da L linear ist , ist L genau dann stetig, wenn es ein c [mm] \ge [/mm] 0 gibt mit:
[mm] ||L(f)||_{\infty} \le c||f||_1 [/mm] für jedes f [mm] \in [/mm] C[0,1]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Lustique |
> 1. Wohldefiniert ist L , weil für jedes f [mm]\in[/mm] C[0,1]
> gilt:
>
> f ist integrierbar über [0,x] für jedes x [mm]\in[/mm] [0,1].
>
> 2. Die Linearität von L folgt aus der Linearität des
> Integrals.
>
> 3. Da L linear ist , ist L genau dann stetig, wenn es ein c
> [mm]\ge[/mm] 0 gibt mit:
>
> [mm]||L(f)||_{\infty} \le c||f||_1[/mm] für jedes f [mm]\in[/mm] C[0,1]
>
> FRED
1. Das könnte ich einfach mit der Stetigkeit von [mm] $f\in [/mm] C([0,1])$ (stetige Funktionen sind Riemann-integrierbar) begründen, oder?
3. Das wäre dann doch Lipschitz-Stetigkeit, oder? Das hieße ja, $L$ wäre gleichmäßig stetig, wenn ich mich da jetzt nicht vertue. Das lässt sich dann aber doch im Endeffekt wieder auf meinen Ansatz zurückführen, oder sehe ich das falsch? [mm] $\lVert \cdot\rVert_1$ [/mm] und [mm] $\lVert \cdot\rVert_\infty$ [/mm] sind ja nicht äquivalent auf $C([0,1])$, das heißt ich muss ja auch wieder "per Hand" abschätzen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:02 Mo 23.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> > 1. Wohldefiniert ist L , weil für jedes f [mm]\in[/mm] C[0,1]
> > gilt:
> >
> > f ist integrierbar über [0,x] für jedes x [mm]\in[/mm] [0,1].
> >
> > 2. Die Linearität von L folgt aus der Linearität des
> > Integrals.
> >
> > 3. Da L linear ist , ist L genau dann stetig, wenn es ein c
> > [mm]\ge[/mm] 0 gibt mit:
> >
> > [mm]||L(f)||_{\infty} \le c||f||_1[/mm] für jedes f [mm]\in[/mm] C[0,1]
> >
> > FRED
>
> 1. Das könnte ich einfach mit der Stetigkeit von [mm]f\in C([0,1])[/mm]
> (stetige Funktionen sind Riemann-integrierbar) begründen,
> oder?
Ja. Beachte auch noch was tobit zu diesem Punkt gesagt hat.
>
> 3. Das wäre dann doch Lipschitz-Stetigkeit, oder?
Ja
> Das
> hieße ja, [mm]L[/mm] wäre gleichmäßig stetig,
Ja.
> wenn ich mich da
> jetzt nicht vertue. Das lässt sich dann aber doch im
> Endeffekt wieder auf meinen Ansatz zurückführen, oder
> sehe ich das falsch?
Ja, das siehst Du falsch.
Es ist $|L(f)(x)| = [mm] |\integral_{0}^{x}{f(t) dt}| \le \integral_{0}^{x}{|f(t)| dt} \le \integral_{0}^{1}{|f(t)| dt}=||f||_1$ [/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] [0,1]
Damit ist
[mm] ||L(f)||_{\infty} \le ||f||_1
[/mm]
FRED
[mm]\lVert \cdot\rVert_1[/mm] und [mm]\lVert \cdot\rVert_\infty[/mm]
> sind ja nicht äquivalent auf [mm]C([0,1])[/mm], das heißt ich muss
> ja auch wieder "per Hand" abschätzen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Lustique |
Vielen Dank noch mal für die Rückmeldung(en)!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:32 So 22.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Lustique,
1. Zur Wohldefiniertheit:
Neben der von Fred genannten Aussage gehört zur Wohldefiniertheit, dass $L$ tatsächlich nach $Y$ abbildet, also dass für [mm] $f\in [/mm] X$ die Abbildung $L(f)$ in $Y$ liegt, also stetig ist. Das kannst du in der Tat aus
> [mm]L(f)(x)=\int_0^x f(t)\textrm{dt} = F(x)-F(0)[/mm]
folgern.
2. Zur Linearität:
In der Tat ist (wie Fred auch schon schrieb) die Linearität des Integrals die entscheidende Zutat zur Linearität von L. Ich persönlich würde als Übungsleiter gerne eine genauere Rechnung sehen, so dass erkennbar ist, dass du die Vektorraumstrukturen von X und Y verstanden hast.
3. Zur Stetigkeit:
Am einfachsten ist natürlich, das von Fred genannte Kriterium zu nutzen. Aber auch dein Ansatz führt zum Ziel:
> Ich hatte allerdings vor die Stetigkeit entweder über
>
> [mm]\forall \varepsilon >0 \exists \delta >0\colon f(B_\delta(a))\subseteq B_\varepsilon(f(a))[/mm]
>
> oder
>
> [mm]\forall \varepsilon >0 \exists \delta >0\forall x\in X\colon d_1(x,a)<\delta \Rightarrow d_2(f(x),f(a))<\varepsilon[/mm]
>
> zu zeigen (wobei [mm](X,d_1)[/mm] und [mm](Y,d_2)[/mm] metrische Räume, [mm]a\in X[/mm]
> und [mm]f\colon X\to Y[/mm]).
>
> Ich denke mal die zweite Version ist einfacher (weil ich
> bei der ersten auch noch weniger Ahnung hab, wie ich das
> angehen müsste), bin da aber auch noch nicht weit
> gekommen:
>
> Seien [mm]f,g\in X[/mm] beliebig:
> [mm]\left\lVert L(f)(x)-L(g)(x)\right\rVert_\infty=\left\lVert \int_0^x f(t)\textrm{dt} -\int_0^x g(t)\textrm{dt}\right\rVert_\infty=\left\lVert \int_0^x (f-g)(t)\textrm{dt}\right\rVert_\infty \leqslant \left\lVert x \cdot \underset{t\in[0,1]}{\sup} \left\lvert (f-g)(t)\right\rvert\right\rVert_\infty \leqslant \left\lVert\underset{t\in[0,1]}{\sup} \left\lvert (f-g)(t)\right\rvert\right\rVert_\infty = \underset{t\in[0,1]}{\sup} \left\lvert (f-g)(t)\right\rvert[/mm]
>
> Das ist zwar, hoffe ich, soweit richtig, bringt mich aber
> kein Stück weiter.
In der Tat ist das richtig und auch ein zielführender Ansatz, aber beim ersten [mm] $\le$ [/mm] zu grob abgeschätzt.
Ziel ist ja, [mm] $\left\lVert L(f)-L(g)\right\rVert_\infty$ [/mm] gegen einen Ausdruck mit [mm] $\left\lVert f-g\right\rVert_1$ [/mm] abzuschätzen, so dass du zu vorgegebenem [mm] $g\in [/mm] X$ und [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $\delta>0$ [/mm] findest mit [mm] $\left\lVert L(f)-L(g)\right\rVert_\infty<\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $f\in [/mm] X$ mit [mm] $\left\lVert f-g\right\rVert_1<\delta$.
[/mm]
Schreibe dir also [mm] $\left\lVert f-g\right\rVert_1$ [/mm] aus und überlege, wie du von [mm] $\left\lVert x\mapsto\int_0^x (f-g)(t)\textrm{dt}\right\rVert_\infty$ [/mm] "dahinkommen" kannst. Schreibe dazu auch letzteren Ausdruck mithilfe der Definition von [mm] $\left\lVert \;\;\right\rVert_\infty$ [/mm] aus.
4. Zur Norm von L:
> Über die Norm habe ich mir übrigens noch gar keine
> Gedanken gemacht, deswegen befürchte ich, dass ich dazu
> auch noch was werde fragen müssen...
Wie ist denn die Norm einer linearen stetigen Abbildung zwischen normierten Vektorräumen bei euch definiert?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Lustique |
> Hallo Lustique,
>
>
> 1. Zur Wohldefiniertheit:
>
> Neben der von Fred genannten Aussage gehört zur
> Wohldefiniertheit, dass [mm]L[/mm] tatsächlich nach [mm]Y[/mm] abbildet,
> also dass für [mm]f\in X[/mm] die Abbildung [mm]L(f)[/mm] in [mm]Y[/mm] liegt, also
> stetig ist. Das kannst du in der Tat aus
> > [mm]L(f)(x)=\int_0^x f(t)\textrm{dt} = F(x)-F(0)[/mm]
> folgern.
>
>
Weil das ganze ja dann differenzierbar sein muss, also [mm] $\int_0^x f(t)\textrm{dt}$, [/mm] und damit auch stetig ist? Tut mir Leid für die (höchstwahrscheinlich) dumme Frage, aber ich habe da gerade ein paar Probleme eine vernünftige Argumentation aufzubauen, trotz eurer Tipps.
> 2. Zur Linearität:
>
> In der Tat ist (wie Fred auch schon schrieb) die
> Linearität des Integrals die entscheidende Zutat zur
> Linearität von L. Ich persönlich würde als Übungsleiter
> gerne eine genauere Rechnung sehen, so dass erkennbar ist,
> dass du die Vektorraumstrukturen von X und Y verstanden
> hast.
>
>
Ja, da hast du natürlich Recht. Ich habe auch für mich das Ganze mal so aufgeschrieben, wollte es aber hier nicht einstellen, weil mir das ehrlich gesagt zu mühselig geworden wäre und ich davon ausgegangen bin, dass ich das wohl richtig hinbekommen haben werde. Ich habe dafür einfach [mm] $L(\alpha\cdot [/mm] f+g)$ nach [mm] $\alpha [/mm] Lf+Lg$ umgeformt.
> 3. Zur Stetigkeit:
>
> Am einfachsten ist natürlich, das von Fred genannte
> Kriterium zu nutzen. Aber auch dein Ansatz führt zum
> Ziel:
> In der Tat ist das richtig und auch ein zielführender
> Ansatz, aber beim ersten [mm]\le[/mm] zu grob abgeschätzt.
>
> Ziel ist ja, [mm]\left\lVert L(f)-L(g)\right\rVert_\infty[/mm] gegen
> einen Ausdruck mit [mm]\left\lVert f-g\right\rVert_1[/mm]
> abzuschätzen, so dass du zu vorgegebenem [mm]g\in X[/mm] und
> [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]\delta>0[/mm] findest mit [mm]\left\lVert L(f)-L(g)\right\rVert_\infty<\varepsilon[/mm]
> für alle [mm]f\in X[/mm] mit [mm]\left\lVert f-g\right\rVert_1<\delta[/mm].
>
> Schreibe dir also [mm]\left\lVert f-g\right\rVert_1[/mm] aus und
> überlege, wie du von [mm]\left\lVert x\mapsto\int_0^x (f-g)(t)\textrm{dt}\right\rVert_\infty[/mm]
> "dahinkommen" kannst. Schreibe dazu auch letzteren Ausdruck
> mithilfe der Definition von [mm]\left\lVert \;\;\right\rVert_\infty[/mm]
> aus.
>
Neuer Versuch:
Sei [mm] $\left\lVert f-g\right\rVert_1<\delta$ [/mm] und [mm] $\varepsilon [/mm] := [mm] \delta$, [/mm] wobei [mm] $f,g\in [/mm] X$.
[mm] $\left\lVert Lf-Lg\right\rVert_\infty=\left\lVert L(f)(x)-L(g)(x)\right\rVert_\infty=\left\lVert \int_0^x f(t)\textrm{dt} -\int_0^x g(t)\textrm{dt}\right\rVert_\infty=\left\lVert \int_0^x (f-g)(t)\textrm{dt}\right\rVert_\infty=\underset{x\in [0,1]}{\sup}\left\lvert \int_0^x (f-g)(t)\textrm{dt}\right\rvert \leqslant \underset{x\in [0,1]}{\sup} \int_0^x \left\lvert(f-g)(t)\right\rvert \textrm{dt}=\int_0^1 \left\lvert(f-g)(t)\right\rvert \textrm{dt}=\lVert f-g\rVert_1<\delta=\varepsilon \qquad \square$
[/mm]
Sieht eigentlich richtig aus, und dabei auch (sehr) ähnlich zur Lösung von fred97 (finde ich; zumindest wäre ich auf das erste [mm] $\leqslant$ [/mm] peinlicherweise nicht ohne fred97 gekommen, befürchte ich), aber irgendwie stört mich das $x$ am Anfang bei [mm] $\left\lVert L(f)(x)-L(g)(x)\right\rVert_\infty$ [/mm] in Verbindung mit dem $t$ bei [mm] $\int_0^1 \left\lvert(f-g)(t)\right\rvert \textrm{dt}$. [/mm] Sollte es das, oder ist das egal? Ist das so in Ordnung?
> 4. Zur Norm von L:
> Wie ist denn die Norm einer linearen stetigen Abbildung
> zwischen normierten Vektorräumen bei euch definiert?
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
Bei uns sieht die Definition so aus (innerhalb eines Satzes):
$T$ ist beschränkt, d.h. es gibt
[mm] $\lVert T\rVert_{E\to F}:= \underset{\lVert x\rVert_E \leqslant 1}{\sup} \lVert Tx\rVert_F [/mm] < [mm] \infty$.
[/mm]
(Dabei seien $(E, [mm] \lVert \cdot\rVert_E)$ [/mm] und $(F, [mm] \lVert \cdot\rVert_F)$ [/mm] normierte [mm] $\mathbb{K}$-Vektorräume [/mm] und [mm] $T\colon E\to [/mm] F$ sei linear.)
Mein Ansatz bisher:
[mm] $\lVert L\rVert_{X\to Y}=\underset{\lVert f\rVert_1 \leqslant 1}{\sup} \lVert L(f)(x)\rVert_\infty$
[/mm]
[mm] $\lVert f\rVert_1 [/mm] = [mm] \int_0^1 \lvert f(x)\rvert\textrm{dx}\leqslant [/mm] 1$
Also:
[mm] $\lVert L\rVert_{X\to Y}=\underset{\lVert f\rVert_1 \leqslant 1}{\sup} \lVert L(f)(x)\rVert_\infty= \underset{\lVert f\rVert_1 \leqslant 1}{\sup} \left(\underset{x\in [0,1]}{\sup} \left\lvert \int_0^x f(t)\textrm{dt}\right\rvert\right)$
[/mm]
Wie jetzt allerdings der vorherige Ausdruck aussieht, da haperts dann ebenfalls. Ich habe mir zwar gedacht, dass die größte Fläche kleiner 1 wohl durch $f:=1$ aufgespannt werden könnte, aber genauso gut würde das ja auch für $f:=-1$ gelten, also ist das wohl jetzt keine Lösung (es wäre ja dann [mm] $\lVert L\rVert_{X\to Y}=1$). [/mm] Ich habe einfach keine Ahnung, wie man in diesem Fall die Suprema bestimmt, ehrlich gesagt.
Oder ginge:
[mm] $\underset{\lVert f\rVert_1 \leqslant 1}{\sup} \left(\underset{x\in [0,1]}{\sup} \left\lvert \int_0^x f(t)\textrm{dt}\right\rvert\right) \leqslant \underset{\lVert f\rVert_1 \leqslant 1}{\sup} \left(\underset{x\in [0,1]}{\sup} \int_0^x\left\lvert f(t)\right\rvert\textrm{dt}\right) \leqslant \underset{\lVert f\rVert_1 \leqslant 1}{\sup} \int_0^1\left\lvert f(t)\right\rvert\textrm{dt} [/mm] = [mm] \underset{\lVert f\rVert_1 \leqslant 1}{\sup} \lVert f\rVert_1 \leqslant [/mm] 1$ (Normception...)
Das wohl mal wieder richtig, aber ein extrem seltsamer Ausdruck und auch nur eine obere Schranke ist, aber noch nicht notwendigerweise die kleinste obere Schranke, oder? (Ich glaube ich sollte mir dringend noch mal mein Analysis I-Material angucken...)
Ich glaube die Aufgabe macht mich noch verrückt, obwohl sie wahrscheinlich nicht mal (besonders) schwer ist...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Mo 23.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > 1. Zur Wohldefiniertheit:
> >
> > Neben der von Fred genannten Aussage gehört zur
> > Wohldefiniertheit, dass [mm]L[/mm] tatsächlich nach [mm]Y[/mm] abbildet,
> > also dass für [mm]f\in X[/mm] die Abbildung [mm]L(f)[/mm] in [mm]Y[/mm] liegt,
> also
> > stetig ist. Das kannst du in der Tat aus
> > > [mm]L(f)(x)=\int_0^x f(t)\textrm{dt} = F(x)-F(0)[/mm]
> >
> folgern.
> >
> >
>
> Weil das ganze ja dann differenzierbar sein muss, also
> [mm]\int_0^x f(t)\textrm{dt}[/mm], und damit auch stetig ist?
Ja. Möglicherweise ist $L(f)$ schon als Stammfunktion von $f$ bekannt (da $f$ stetig).
Ansonsten kannst du die Stetigkeit wie folgt sehen: $F$ ist als Stammfunktion differenzierbar und damit stetig, die konstante Funktion [mm] $[0,1]\to\IR,\;x\mapsto [/mm] F(0)$ sowieso. Also ist $L(f)=F-F(0)$ stetig.
> > 2. Zur Linearität:
> >
> > In der Tat ist (wie Fred auch schon schrieb) die
> > Linearität des Integrals die entscheidende Zutat zur
> > Linearität von L. Ich persönlich würde als
> Übungsleiter
> > gerne eine genauere Rechnung sehen, so dass erkennbar
> ist,
> > dass du die Vektorraumstrukturen von X und Y verstanden
> > hast.
> >
> >
>
> Ja, da hast du natürlich Recht. Ich habe auch für mich
> das Ganze mal so aufgeschrieben, wollte es aber hier nicht
> einstellen, weil mir das ehrlich gesagt zu mühselig
> geworden wäre und ich davon ausgegangen bin, dass ich das
> wohl richtig hinbekommen haben werde.umgeformt.
Völlig o.k. Das sollte auch kein Appell sein, deine Rechnung hier zu posten.
> > 3. Zur Stetigkeit:
> >
> Neuer Versuch:
>
> Sei [mm]\left\lVert f-g\right\rVert_1<\delta[/mm] und [mm]\varepsilon := \delta[/mm],
> wobei [mm]f,g\in X[/mm].
Umgekehrt: [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist vorgegeben, ein passendes [mm] $\delta$ [/mm] kannst du selbst wählen. Schreibe also z.B.:
Sei [mm]\left\lVert f-g\right\rVert_1<\delta[/mm] mit [mm]\delta := \varepsilon[/mm], wobei [mm]f,g\in X[/mm].
> [mm]\left\lVert Lf-Lg\right\rVert_\infty=\left\lVert L(f)(x)-L(g)(x)\right\rVert_\infty=\left\lVert \int_0^x f(t)\textrm{dt} -\int_0^x g(t)\textrm{dt}\right\rVert_\infty=\left\lVert \int_0^x (f-g)(t)\textrm{dt}\right\rVert_\infty=\underset{x\in [0,1]}{\sup}\left\lvert \int_0^x (f-g)(t)\textrm{dt}\right\rvert \leqslant \underset{x\in [0,1]}{\sup} \int_0^x \left\lvert(f-g)(t)\right\rvert \textrm{dt}=\int_0^1 \left\lvert(f-g)(t)\right\rvert \textrm{dt}=\lVert f-g\rVert_1<\delta=\varepsilon \qquad \square[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber irgendwie stört
> mich das [mm]x[/mm] am Anfang bei [mm]\left\lVert L(f)(x)-L(g)(x)\right\rVert_\infty[/mm]
> in Verbindung mit dem [mm]t[/mm] bei [mm]\int_0^1 \left\lvert(f-g)(t)\right\rvert \textrm{dt}[/mm].
> Sollte es das, oder ist das egal? Ist das so in Ordnung?
Ja. Du könntest genauer [mm] $\left\lVert x\mapsto L(f)(x)-L(g)(x)\right\rVert_\infty$ [/mm] schreiben, da du ja die Norm einer Abbildung und nicht die Norm einer Zahl meinst.
> > 4. Zur Norm von L:
> >
> Mein Ansatz bisher:
>
> [mm]\lVert L\rVert_{X\to Y}=\underset{\lVert f\rVert_1 \leqslant 1}{\sup} \lVert L(f)(x)\rVert_\infty[/mm]
>
> [mm]\lVert f\rVert_1 = \int_0^1 \lvert f(x)\rvert\textrm{dx}\leqslant 1[/mm]
>
> Also:
>
>
> [mm]\lVert L\rVert_{X\to Y}=\underset{\lVert f\rVert_1 \leqslant 1}{\sup} \lVert L(f)(x)\rVert_\infty= \underset{\lVert f\rVert_1 \leqslant 1}{\sup} \left(\underset{x\in [0,1]}{\sup} \left\lvert \int_0^x f(t)\textrm{dt}\right\rvert\right)[/mm]
>
> Wie jetzt allerdings der vorherige Ausdruck aussieht, da
> haperts dann ebenfalls. Ich habe mir zwar gedacht, dass die
> größte Fläche kleiner 1 wohl durch [mm]f:=1[/mm] aufgespannt
> werden könnte, aber genauso gut würde das ja auch für
> [mm]f:=-1[/mm] gelten, also ist das wohl jetzt keine Lösung (es
> wäre ja dann [mm]\lVert L\rVert_{X\to Y}=1[/mm]). Ich habe einfach
> keine Ahnung, wie man in diesem Fall die Suprema bestimmt,
> ehrlich gesagt.
>
> Oder ginge:
>
> [mm]\underset{\lVert f\rVert_1 \leqslant 1}{\sup} \left(\underset{x\in [0,1]}{\sup} \left\lvert \int_0^x f(t)\textrm{dt}\right\rvert\right) \leqslant \underset{\lVert f\rVert_1 \leqslant 1}{\sup} \left(\underset{x\in [0,1]}{\sup} \int_0^x\left\lvert f(t)\right\rvert\textrm{dt}\right) \leqslant \underset{\lVert f\rVert_1 \leqslant 1}{\sup} \int_0^1\left\lvert f(t)\right\rvert\textrm{dt} = \underset{\lVert f\rVert_1 \leqslant 1}{\sup} \lVert f\rVert_1 \leqslant 1[/mm]
> (Normception...)
>
> Das wohl mal wieder richtig, aber ein extrem seltsamer
> Ausdruck und auch nur eine obere Schranke ist, aber noch
> nicht notwendigerweise die kleinste obere Schranke, oder?
> (Ich glaube ich sollte mir dringend noch mal mein Analysis
> I-Material angucken...)
>
> Ich glaube die Aufgabe macht mich noch verrückt, obwohl
> sie wahrscheinlich nicht mal (besonders) schwer ist...
Sieht doch gut aus! Alles richtig.
Betrachte wirklich mal das Beispiel $f=1$. Dann wirst du auf den noch fehlenden Teil kommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Di 01.05.2012 | | Autor: | Lustique |
Ebenfalls noch mal danke für deine Hilfe!
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