Linearität bei Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuche folgende Abbildungen [mm] f:\IR^3\to \IR^3 [/mm] auf [mm] \IR- [/mm] Linearität. Weisen sie ihre Aussagen anch. Insbesondere im Fall der Linearität die Eigenschaft:
[mm] f(\lambda_1*\vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1}+\lambda_2*\vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2})= \lambda_1*f(\vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1})+\lambda_2*f(\vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2})
[/mm]
a) [mm] f(\vektor{x \\ y \\ z})=\vektor{z \\ -y \\ x} [/mm] |
heißt das also ich muss nur folgendes nachweisen?
[mm] f(\lambda_1*\vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1}+\lambda_2*\vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2})= \lambda_1*f(\vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1})+\lambda_2*f(\vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2})
[/mm]
Gehört da nicht noch etwas mehr dazu um die Linearität zu zeigen?
Könnt ihr mir das vielleicht an a) erklären? ich weiß nicht genau wie ich das hier zeigen soll.
[mm] f(\lambda*\vektor{x \\ y \\ z})=\lambda*f(\vektor{z \\ -y \\ x})
[/mm]
Aber das kann ja so nicht stimmen oder?
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Untersuche folgende Abbildungen [mm]f:\IR^3\to \IR^3[/mm] auf [mm]\IR-[/mm]
> Linearität. Weisen sie ihre Aussagen anch. Insbesondere im
> Fall der Linearität die Eigenschaft:
>
> [mm]f(\lambda_1*\vektor{x_1 \\
y_1 \\
z_1}+\lambda_2*\vektor{x_2 \\
y_2 \\
z_2})= \lambda_1*f(\vektor{x_1 \\
y_1 \\
z_1})+\lambda_2*f(\vektor{x_2 \\
y_2 \\
z_2})[/mm]
>
> a) [mm]f(\vektor{x \\
y \\
z})=\vektor{z \\
-y \\
x}[/mm]
> heißt
> das also ich muss nur folgendes nachweisen?
> [mm]f(\lambda_1*\vektor{x_1 \\
y_1 \\
z_1}+\lambda_2*\vektor{x_2 \\
y_2 \\
z_2})= \lambda_1*f(\vektor{x_1 \\
y_1 \\
z_1})+\lambda_2*f(\vektor{x_2 \\
y_2 \\
z_2})[/mm]
Das sollst du im Falle der Linearität nochmal separat zeigen.
>
> Gehört da nicht noch etwas mehr dazu um die Linearität zu
> zeigen?
Wie habt ihr in der VL Linearität definiert?
Diese Eigenschaften musst du nachweisen.
>
> Könnt ihr mir das vielleicht an a) erklären? ich weiß
> nicht genau wie ich das hier zeigen soll.
>
> [mm]f(\lambda*\vektor{x \\
y \\
z})=\lambda*f(\vektor{z \\
-y \\
x})[/mm]
Das sollst du überhaupt gar nicht zeigen.
>
> Aber das kann ja so nicht stimmen oder?
Ja, das kann nicht stimmen.
Zu zeigen ist u.a. [mm]f\left(\lambda\cdot{}\vektor{x\\
y\\
z}\right)=\lambda\cdot{}f\left(\vektor{x\\
y\\
z}\right)[/mm]
Es ist [mm]\lambda\cdot{}\vektor{x\\
y\\
z}=\vektor{\lambda x\\
\lambda y\\
\lambda z}[/mm]
Also ...
Gruß
schachuzipus
>
>
>
> Mathegirl
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und an der Stelle weiß ich dann nicht wie ich auf [mm] \vektor{z \\ -y \\ x} [/mm] komme.
Mein Problem ist, ich habe die Definition verstanden, kann sie aber nicht an Besipielen vernünftig anwenden.
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Mi 07.12.2011 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] f\left(\lambda\cdot{}\vektor{x\\ y\\ z}\right)=f(\vektor{\lambda x\\ \lambda y\\ \lambda z}=\vektor{\lambda x\\ - \lambda y\\ \lambda z}=\lambda\cdot{}(\vektor{x\\ -y\\ z}\ =\lambda\cdot{}f\left(\vektor{x\\ y\\ z}\right)$
[/mm]
FRED
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Hallo Fred,
> [mm]f\left(\lambda\cdot{}\vektor{x\\
y\\
z}\right)=f(\vektor{\lambda x\\
\lambda y\\
\lambda z}=\vektor{\lambda x\\
- \lambda y\\
\lambda z}=\lambda\cdot{}(\vektor{x\\
-y\\
z}\ =\lambda\cdot{}f\left(\vektor{x\\
y\\
z}\right)[/mm]
Du hast bei den Bildvektoren die 1. und 3. Komponente vertauscht ...
>
> FRED
Gruß
schachuzipus
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Nein, die habe ich nicht vertauscht, das steht so in der Aufgabenstellungen und auch bei den anderen Aufgaben. Aber verstehen tu ich es trotzdem noch nicht so richtig. Auch nicht, warum ich einfach das Minus setzen kann bei y.
Mathegirl
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Hallo nochmal,
> Nein, die habe ich nicht vertauscht,
Fred hat sie vertauscht ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]")
> das steht so in der
> Aufgabenstellungen und auch bei den anderen Aufgaben. Aber
> verstehen tu ich es trotzdem noch nicht so richtig. Auch
> nicht, warum ich einfach das Minus setzen kann bei y.
Die Abbildung lautet doch [mm]f(\vektor{\red{Schnick}\\
\blue{Schnack}\\
\green{Schnuck}})=\vektor{\green{Schnuck}\\
-\blue{Schnack}\\
\red{Schnick}}[/mm]
Also [mm]f(\vektor{\red{\lambda x}\\
\blue{\lambda y}\\
\green{\lambda z}})=\vektor{\green{\lambda z}\\
-\blue{\lambda y}\\
\red{\lambda x}}[/mm]
Und da kannst du das [mm]\lambda[/mm] wieder rausziehen ...
>
> Mathegirl
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Mi 07.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | c) $ f {\vektor{\vektor{x \\ y \\ z}} = \vektor{x \\ 0 \\ |x|} $ |
Ich mache gerade auch die Aufgabe und habe eine Frage zur c)
$ f {\vektor{\lambda_{1}\vektor{x \\ y \\ z}} = ... = \vektor{\lambda_{1} *x \\ \lambda_{1} * 0 \\ |\lambda_{1}*x|} $
Kann man das Lambda nun herausziehen aus den Betragstrichen? Ich meine, wenn es größer oder gleich null ist geht es ja. Bei lamda kleiner 0 geht es nicht.
Demnach ist diese Abbildung nicht linear.
Stimmt das?
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Hallo,
> c) [mm]f {\vektor{\vektor{x \\
y \\
z}} = \vektor{x \\
0 \\
|x|}[/mm]
>
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>
>
> Ich mache gerade auch die Aufgabe und habe eine Frage zur
> c)
>
> [mm]f {\vektor{\lambda_{1}\vektor{x \\
y \\
z}} = ... = \vektor{\lambda_{1} *x \\
\lambda_{1} * 0 \\
|\lambda_{1}*x|}[/mm]
>
> Kann man das Lambda nun herausziehen aus den
> Betragstrichen? Ich meine, wenn es größer oder gleich
> null ist geht es ja. Bei lamda kleiner 0 geht es nicht.
> Demnach ist diese Abbildung nicht linear.
Genau, gib einfach ein konkretes Gegenbsp. an.
Etwa [mm] $\vektor{x\\y\\z}=\vektor{1\\0\\1}$ [/mm] und [mm] $\lambda=-1$
[/mm]
Wie sieht es da aus?
Gruß
schachuzipus
>
> Stimmt das?
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Do 08.12.2011 | | Autor: | Fincayra |
Hi
Also, unsere Def von linearen Abbildungen ist:
i) [mm] F(v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] = [mm] F(v_1) [/mm] + [mm] F(v_2)
[/mm]
ii) [mm] F(\lambda [/mm] v) = [mm] \lambda \cdot [/mm] F(v)
Also die Aufgabe will, dass ich das beides "ausprobiere" und falls es funktioniert, soll ich nochmal
$ [mm] f(\lambda_1\cdot{}\vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1}+\lambda_2\cdot{}\vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2})= \lambda_1\cdot{}f(\vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1})+\lambda_2\cdot{}f(\vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2}) [/mm] $
zeigen? Das wäre echt eine blöde Rechnerei bei 8 Teilaufgaben für nur 5 Punkte : / Es ist schließlich Weihnachten. Da könnten die Profs uns doch mal ein paar Punkte schenken ^^
*EDIT*
Hab ich das so richtig verstanden? Nachweis für i) der Def.:
$ f [mm] \pmat {x_1 + x_2 \\ y_1 +y_2 \\ z_1 + z_2} [/mm] = [mm] \pmat {z_1 + z_2 \\ (-y_1) + (-y_2) \\ x_1 + x_2} [/mm] = [mm] \vektor{z_1 \\ -y_1 \\ x_1} [/mm] + [mm] \vektor{z_2 \\ -y_2 \\ x_2} [/mm] = f [mm] \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1} [/mm] + f [mm] \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2} [/mm] $
LG
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> Hi
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> Also, unsere Def von linearen Abbildungen ist:
> i) [mm]F(v_1[/mm] + [mm]v_2)[/mm] = [mm]F(v_1)[/mm] + [mm]F(v_2)[/mm]
> ii) [mm]F(\lambda[/mm] v) = [mm]\lambda \cdot[/mm] F(v)
>
> Also die Aufgabe will, dass ich das beides "ausprobiere"
> und falls es funktioniert, soll ich nochmal
>
> [mm]f(\lambda_1\cdot{}\vektor{x_1 \\
y_1 \\
z_1}+\lambda_2\cdot{}\vektor{x_2 \\
y_2 \\
z_2})= \lambda_1\cdot{}f(\vektor{x_1 \\
y_1 \\
z_1})+\lambda_2\cdot{}f(\vektor{x_2 \\
y_2 \\
z_2})[/mm]
>
> zeigen?
Hallo,
ich denke nicht, daß Du alles machen sollst.
Es ist ja obige Bedingung äquivalent zu den ganz obigen, und ich vermute, daß das sogar in der Übung o.ä. gezeigt wurde.
(Wenn nicht: man kann es leicht zeigen.)
Ich würde bei dieser Aufgabe Linearität mit der angegebenen Bedingung beweisen und mit einem Gegenbeispiel widerlegen.
> Das wäre echt eine blöde Rechnerei bei 8
> Teilaufgaben für nur 5 Punkte : / Es ist schließlich
> Weihnachten. Da könnten die Profs uns doch mal ein paar
> Punkte schenken ^^
Bis Weihnachten dauert's noch ein Weilchen.
Die Geschenke von Profs äußern sich auch eher in einem Weihnachtsextraübungsblatt, und wenn's ein ganz lieber Prof ist, kann man damit Bonuspunkte außerhalb der regulären Bewertung sammeln.
Gruß v. Angela
>
> LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Do 08.12.2011 | | Autor: | Fincayra |
>
> > Hi
> >
> > Also, unsere Def von linearen Abbildungen ist:
> > i) [mm]F(v_1[/mm] + [mm]v_2)[/mm] = [mm]F(v_1)[/mm] + [mm]F(v_2)[/mm]
> > ii) [mm]F(\lambda[/mm] v) = [mm]\lambda \cdot[/mm] F(v)
> >
> > Also die Aufgabe will, dass ich das beides "ausprobiere"
> > und falls es funktioniert, soll ich nochmal
> >
> > [mm]f(\lambda_1\cdot{}\vektor{x_1 \\
y_1 \\
z_1}+\lambda_2\cdot{}\vektor{x_2 \\
y_2 \\
z_2})= \lambda_1\cdot{}f(\vektor{x_1 \\
y_1 \\
z_1})+\lambda_2\cdot{}f(\vektor{x_2 \\
y_2 \\
z_2})[/mm]
>
> >
> > zeigen?
>
> Hallo,
>
> ich denke nicht, daß Du alles machen sollst.
>
> Es ist ja obige Bedingung äquivalent zu den ganz obigen,
Ya eben. Das ist einfach nur Schreibarbeit. Aber ich werd sie mir mal machen, weil das für mich übersichtlicher ist : )
> und ich vermute, daß das sogar in der Übung o.ä. gezeigt
> wurde.
Die Übung ist morgen und morgen hatte ich vor den Zettel abzugeben, damit ich das Wochenende über etwas mehr Zeit hab : (
> (Wenn nicht: man kann es leicht zeigen.)
>
> Ich würde bei dieser Aufgabe Linearität mit der
> angegebenen Bedingung beweisen und mit einem Gegenbeispiel
> widerlegen.
>
> > Das wäre echt eine blöde Rechnerei bei 8
> > Teilaufgaben für nur 5 Punkte : / Es ist schließlich
> > Weihnachten. Da könnten die Profs uns doch mal ein paar
> > Punkte schenken ^^
>
> Bis Weihnachten dauert's noch ein Weilchen.
> Die Geschenke von Profs äußern sich auch eher in einem
> Weihnachtsextraübungsblatt, und wenn's ein ganz lieber
> Prof ist, kann man damit Bonuspunkte außerhalb der
> regulären Bewertung sammeln.
Ich weiß ja. Aber wir haben ja schon in der Schule gelernt: Mathematiker sind schreibfaul *hihi*
>
> Gruß v. Angela
>
> >
> > LG
>
Nochmal meine Frage von eben, weil ich sie zu spät hinzugefügt habe:
Hab ich das so richtig verstanden? Nachweis für i) der Def.:
$ f [mm] \pmat {x_1 + x_2 \\ y_1 +y_2 \\ z_1 + z_2} [/mm] = [mm] \pmat {z_1 + z_2 \\ (-y_1) + (-y_2) \\ x_1 + x_2} [/mm] = [mm] \vektor{z_1 \\ -y_1 \\ x_1} [/mm] + [mm] \vektor{z_2 \\ -y_2 \\ x_2} [/mm] = f [mm] \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1} [/mm] + f [mm] \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2} [/mm] $
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Do 08.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> >
> > > Hi
> > >
> > > Also, unsere Def von linearen Abbildungen ist:
> > > i) [mm]F(v_1[/mm] + [mm]v_2)[/mm] = [mm]F(v_1)[/mm] + [mm]F(v_2)[/mm]
> > > ii) [mm]F(\lambda[/mm] v) = [mm]\lambda \cdot[/mm] F(v)
> > >
> > > Also die Aufgabe will, dass ich das beides "ausprobiere"
> > > und falls es funktioniert, soll ich nochmal
> > >
> > > [mm]f(\lambda_1\cdot{}\vektor{x_1 \\
y_1 \\
z_1}+\lambda_2\cdot{}\vektor{x_2 \\
y_2 \\
z_2})= \lambda_1\cdot{}f(\vektor{x_1 \\
y_1 \\
z_1})+\lambda_2\cdot{}f(\vektor{x_2 \\
y_2 \\
z_2})[/mm]
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> > >
> > > zeigen?
> >
> > Hallo,
> >
> > ich denke nicht, daß Du alles machen sollst.
> >
> > Es ist ja obige Bedingung äquivalent zu den ganz obigen,
>
> Ya eben. Das ist einfach nur Schreibarbeit. Aber ich werd
> sie mir mal machen, weil das für mich übersichtlicher ist
> : )
>
> > und ich vermute, daß das sogar in der Übung o.ä. gezeigt
> > wurde.
>
> Die Übung ist morgen und morgen hatte ich vor den Zettel
> abzugeben, damit ich das Wochenende über etwas mehr Zeit
> hab : (
>
> > (Wenn nicht: man kann es leicht zeigen.)
> >
> > Ich würde bei dieser Aufgabe Linearität mit der
> > angegebenen Bedingung beweisen und mit einem Gegenbeispiel
> > widerlegen.
> >
> > > Das wäre echt eine blöde Rechnerei bei 8
> > > Teilaufgaben für nur 5 Punkte : / Es ist schließlich
> > > Weihnachten. Da könnten die Profs uns doch mal ein paar
> > > Punkte schenken ^^
> >
> > Bis Weihnachten dauert's noch ein Weilchen.
> > Die Geschenke von Profs äußern sich auch eher in
> einem
> > Weihnachtsextraübungsblatt, und wenn's ein ganz lieber
> > Prof ist, kann man damit Bonuspunkte außerhalb der
> > regulären Bewertung sammeln.
>
> Ich weiß ja. Aber wir haben ja schon in der Schule
> gelernt: Mathematiker sind schreibfaul *hihi*
>
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> > >
> > > LG
> >
>
> Nochmal meine Frage von eben, weil ich sie zu spät
> hinzugefügt habe:
>
> Hab ich das so richtig verstanden? Nachweis für i) der
> Def.:
>
> [mm]f \pmat {x_1 + x_2 \\ y_1 +y_2 \\ z_1 + z_2} = \pmat {z_1 + z_2 \\ (-y_1) + (-y_2) \\ x_1 + x_2} = \vektor{z_1 \\ -y_1 \\ x_1} + \vektor{z_2 \\ -y_2 \\ x_2} = f \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1} + f \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2}[/mm]
Korrekt
FRED
>
> LG
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[mm] f(\vektor{x \\ y \\ z})=\vektor{x \\ inf_{t\le|x|+1}|ty| \\ z}
[/mm]
Ich gehe mal davon aus, dass diese Abbildung nicht linear ist, stimmt das? Denn wenn das [mm] \lambda [/mm] in dem Betrag [mm] \le [/mm] 0 dann gilt die Linearität nicht.
Stimmt das?
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Do 08.12.2011 | | Autor: | davux |
Also ich meine, du hast recht. Die Begründung liegt mir auch nahe, auch wenn man schon bei der Addition sehen könnte, dass es nicht klappt und ein Gegenbeispiel findet. Aber wie gesagt, ich nenne es Meinung oder auch Behauptung, denn so richtig überzeugt habe ich mich noch nicht.
Wie wäre es, wenn wir versuchen [mm] $f(\pmat{0\\0\\0})=\pmat{0\\0\\0}$ [/mm] als Gegenbeispiel anzusetzen.
[mm] f(\pmat{0\\0\\0}=\pmat{0\\inf_{t\le |0|+1} |t\,0|\\0}=\pmat{0\\0\\0}. [/mm]
Nehmen wir mal den Fall mit [mm] $\lambda=-1$ [/mm] und geben auch ein konkretes [mm] v=\pmat{1,0,0} [/mm] an. Dann hätten wir ja zu zeigen [mm] $f(\lambda v)=\lambda [/mm] f(v)$.
$f((-1) [mm] \pmat{1\\0\\0})=\pmat{-1\\inf_{t\le |-1|+1} |t\,0|\\0}=(-1)\pmat{1\\inf_{t\le 2} |t\,0|\\0}=(-1) f(\pmat{1\\0\\0})$
[/mm]
Das $(-1)$ ließe sich herausziehen, behaupte ich jetzt, weil das Infimum Null ist. Wie sieht es aus, wenn wir [mm] $v=\pmat{2\\2\\0}$ [/mm] haben?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Do 08.12.2011 | | Autor: | Fincayra |
Hi
Ich hab einige kleinere Fragen. Ob etwas richtig aufgeschrieben ist und ähnliches (ich mag nicht Punkteabzug bekommen, weil etwas nciht ordentlich ist, das wär ärgerlich ; ))
1) Wenn mit dem Vektor [mm] \vektor{x\\y-1\\z} [/mm] zu rechnen ist, heißt es doch $ [mm] \lambda \cdot [/mm] y -1 $ und nicht [mm] $\lambda [/mm] (y-1) $ .
2) Schreibe ich besser $ [mm] \lambda \cdot [/mm] 0 $ oder nur 0 oder ist das mal Sternschnuppe? ^^
3) Wenn ich ein Gegenbeispiel nennen will, kann ich schreiben:
" [mm] \lambda [/mm] = a , [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] = [mm] \vektor{b\\c\\d} [/mm] " wobei a,b,c,d dann eine passende Zahl ist.
LG
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> 1) Wenn mit dem Vektor [mm]\vektor{x\\
y-1\\
z}[/mm] zu rechnen ist,
> heißt es doch [mm]\lambda \cdot y -1[/mm] und nicht [mm]\lambda (y-1)[/mm]
Hallo,
bemühe Dich um präzise Formulierungen.
Du möchtest wohl wissen, was man bekommt, wenn man irgendwas rumrechnet, sondern was man in der zweiten Komponente bekommt, wenn man den angegebenen Vektor mit [mm] \lambda\in \IR [/mm] multipliziert.
Wenn Du nachschaust, wie die Multiplikation von vektoren mit Skalaren definiert ist, wirst Du sehen, daß jede Komponente mit [mm] \lambda [/mm] multipliziert werden muß, die zweite komponente also [mm] \lambda(y-1) [/mm] lautet.
> .
>
> 2) Schreibe ich besser [mm]\lambda \cdot 0[/mm] oder nur 0 oder ist
> das mal Sternschnuppe? ^^
Worum genau geht es?
In manchen Zusammenhängen ist es gut oder nötig, deutlich zu machen, was man mit "0" meinst.
>
> 3) Wenn ich ein Gegenbeispiel nennen will, kann ich
> schreiben:
> " [mm]\lambda[/mm] = a , [mm]\vektor{x\\
y\\
z}[/mm] = [mm]\vektor{b\\
c\\
d}[/mm] "
> wobei a,b,c,d dann eine passende Zahl ist.
Ja, und dann rechnest Du vor, daß es wirklich ein Gegenbispiel ist.
Gruß v. Angela
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> LG
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