Linearität einer Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] K=F_{4}, [/mm] und sei [mm] f:K^{2} \to K^{2} [/mm] durch [mm] f(x,y)=(x^{2},y^{4}+x) [/mm] definiert. Ist f linear? |
Nun die Aufgabenstellung ist mir soweit klar, ich muss L1 und L2 prüfen. Was mir Schwierigkeiten macht ist die Angabe, dass [mm] K=F_{4}. [/mm] Gehe ich richtig in der Annahme, dass in [mm] F_{4} [/mm] 4=2+2=0?
Beim prüfen von L2 hänge ich fest: welche Werte darf [mm] \lambda [/mm] annehmen?
Vielen herzlichen Dank für eure Hilfe!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 Do 21.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> Nun die Aufgabenstellung ist mir soweit klar, ich muss L1
> und L2 prüfen.
Und das sind eure Linearitätsaxiome? Und welches ist jetzt was?
> Was mir Schwierigkeiten macht ist die
> Angabe, dass [mm]K=F_{4}.[/mm] Gehe ich richtig in der Annahme, dass
> in [mm]F_{4}[/mm] 4=2+2=0?
Ja ... kannst du in diesen Körper denn rechnen? Ist dir aufgefallen, dass [m]2=0[/m]? Als tip noch: Mach doch mal binomische Formel mit dem Quadrat. Hilft beim Rechnen, imo! Und trenne das in x und y auf.
> Beim prüfen von L2 hänge ich fest: welche Werte darf
> [mm]\lambda[/mm] annehmen?
Was ist L1? Hast du das getestet? Im Zweifel kannst du es ja für alle Eingabe Vektoren testen ...
[mm]\lambda[/mm] wird wohl ein Körper-Element sein ...
SEcki
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Vilene Dank erstmal für die Antwort..
Nun also L1 und L2 sind die Linearitätsaxiome
L1
[mm] f(v_{1}) [/mm] + [mm] f(v_{2}) [/mm] = [mm] f(v_{1} [/mm] + [mm] v_{2})
[/mm]
L2
[mm] \lambda [/mm] f(v) = [mm] f(\lambda [/mm] v)
Bei der Binomischen Formel fällt einfach der mittlere Term weg, nicht? Dann wäre es also eine lineare Abbildung.
[mm] (x+y)^{2}=x^{2}+[s] [/mm] 2xy [/s] [mm] +y^{2}
[/mm]
Ist es richtig, wenn beim prüfen vom L1 schlussendlich alles Null wird? Und wie argumentiere ich 4=2+2 ist ja anscheinend nicht wirklich korrekt, da dies alles gar keine Körperelemente sind..
Ich bin nun soweit, dass ich denke L1 stimmt (wird ja alles beides mal null)
aber L2 stimmt nicht (bei der rechten Seite ist [mm] /lamdba^{2} [/mm] und [mm] /lambda^{4} [/mm] und auf der linken Seite nur /lambda und dies ist nur äquivalent, wenn /lambda=1 oder 0, da es aber noch 2 weitere Köperelemente hat (x,y) stimmt L2 nicht)
Stimmt dies so?
Vielen herzlichen Dank für die Mühe..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Do 21.12.2006 | | Autor: | MacMath |
Also du hast Recht dass L1 erfüllt ist.
Ich weiß nicht genau was zu mit "alles wird Null" meinst, aber
ich nehme an du hast gezeigt:
f(x+y) = f(x) + f(y) <=> 0=0
ich finde es zwar schöner keine Äquivalenzumfolmungen zu machen sondern mit f(x+y) anzufangen und solange weiterzurechner bis aus der Gleichungskette f(x)+f(y) entsteht.
Was 2+2 sein muss stellt sich etwas anders dar, im Prinzip hast du dennoch recht.
Ich schreibe den [mm] \IF_{4} [/mm] als {0,1,a,b} und hoffe das deckt sich mit eurer Definiton.
Dann gibt es folgende Verknüpfungstabelle für "+"
+| 0 1 a b
_______________
0| 0 1 a b
1| 1 0 b a
a| a b 0 1
b| b a 1 0
Warum ist das so? in der additionstabelle muss jedes Körperelement in jeder Zeile und in jeder Spalte genau einmal stehen.
Die Verknüpfungen von {0,1} sind die aus [mm] \IF_{2} [/mm] da [mm] \IF_{4} [/mm] = [mm] \IF_{2}^{2}
[/mm]
x+0 =x [mm] (\forall [/mm] x [mm] \in \IF_{4})
[/mm]
Diese Angaben reichen hier aus um die Tabelle zu erstellen.
Du siehst, jede Zahl ist additiv invers zu sich selbst.
Zu L2: Korrekt, komme auf das gleiche.
Das heißt die Abbildung ist nicht linear.
(Du fragtest am Anfang woher [mm] \lambda [/mm] kommt.
Da du dich in einem [mm] \IF_{4}-VR [/mm] befindest kommen die Skalare aus diesem Körper)
Ich hoffe ich konnte dir helfen
Daniel
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Vielen herzlichen Dank!!!
Ich bin echt begeistert von der Hilfsbereitschaft hier..
Also ich denke ich habe die Aufgabe soweit gut bearbeitet, evt. wird die Argumentation nicht ganz lückenlos sein, aber ich habe begriffen um was es geht und das freut mich schon sehr (die Ansprüche sinken, je länger das Semester dauert =))
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