Linearität prüfen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich sollte einige Abbildungen auf Linearität prüfen. Ich habe die beiden gefunden, die nicht linear sind! Ich habe auch rot markiert warum sie nicht linear sind!
$F: [mm] \IR^2 \to \IR$
[/mm]
[mm] $F\vektor{\vektor{x \\ y}}:=x+y+\red{x*y}$
[/mm]
$F: [mm] \IR^3 \to \IR^3$
[/mm]
[mm] $F\vektor{\vektor{x \\ y \\ z}}:=\vektor{x-2z \\ 2x+y+\red{1} \\ y-4}$
[/mm]
Wie kann ich das aber jetzt zeigen?
Danke
Gruß Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Mo 08.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
wie immer um zu zeigen, dass eine Aussage nicht gilt:
finde ein einfaches Gegenbeispiel !
(also finde ein [mm] \lambda [/mm] so dass [mm] $F(\lambda [/mm] *v)$ nicht gleich [mm] $\lambda [/mm] *F(v)$ ist)
viele Grüße
DaMenge
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Hi DaMenge,
ich glaub ich habs hinbekomme:
$F: [mm] \IR^2 \to \IR$
[/mm]
[mm] $F\vektor{\vektor{x \\ y}}:=x+y+\red{x*y}$
[/mm]
[mm] $\vektor{1 \\ 1} \not= \vektor{1 \\ 0}+\vektor{0 \\ 1}$
[/mm]
$F: [mm] \IR^3 \to \IR^3$
[/mm]
[mm] $F\vektor{\vektor{x \\ y \\ z}}:=\vektor{x-2z \\ 2x+y+\red{1} \\ y-4}$ [/mm]
[mm] $\vektor{\vec{0}} [/mm] = 1$ falsch!
Deshalb sind beide nicht linear.
Gruß Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:09 Mi 10.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo nochmal...
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> [mm]F: \IR^2 \to \IR[/mm]
>
> [mm]F\vektor{\vektor{x \\ y}}:=x+y+\red{x*y}[/mm]
>
> [mm]\vektor{1 \\ 1} \not= \vektor{1 \\ 0}+\vektor{0 \\ 1}[/mm]
>
die letzte zeile verstehe ich nicht - da gilt doch offensichtlich das gleichheitszeichen !!!
oder meintest du etwa:
[mm] $F(\vektor{1 \\ 1}) \not= F(\vektor{1 \\ 0})+F(\vektor{0 \\ 1})$
[/mm]
aber selbst hier wuerde das gleichheitszeichen gelten, wenn man es mal nachrechnet !
das ist also kein gegenbeispiel.
> [mm]F: \IR^3 \to \IR^3[/mm]
>
> [mm]F\vektor{\vektor{x \\ y \\ z}}:=\vektor{x-2z \\ 2x+y+\red{1} \\ y-4}[/mm]
>
> [mm]\vektor{\vec{0}} = 1[/mm] falsch!
hier genauso : was willst du mit der letzten zeile sagen?!?
Kannst du das evtl mit ein bischen mehr worte fuellen, was du da versuchst?
(ich kann mir denken, was du da meintest, aber jeder wuerde das als fehler anstreichen, weil es mathematisch nicht gerade toll aussieht...)
viele gruesse
DaMenge
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Hi DaMenge,
ich hab das jetzt nochmal korrigiert und so gut es ging mathematisch formuliert.
$F: [mm] \IR^2 \to \IR$
[/mm]
[mm] $F\vektor{\vektor{x \\ y}}:=x+y+\red{x*y}$
[/mm]
[mm] $F\vektor{\vektor{1 \\ 1}}=1+1+1*1=3\not=2=1+0+0*1+0+1+1*0=F\vektor{\vektor{1 \\ 0}}+F\vektor{\vektor{0 \\ 1}}$ [/mm] --> Nicht linear
aber [mm] $\vektor{1 \\ 1}=\vektor{1 \\ 0}+\vektor{0 \\ 1}$
[/mm]
$F: [mm] \IR^3 \to \IR^3$
[/mm]
[mm] $F\vektor{\vektor{x \\ y \\ z}}:=\vektor{x-2z \\ 2x+y+\red{1} \\ y-4}$
[/mm]
[mm] $F\vektor{\vektor{0 \\ 0 \\ 0}}=F\vektor{\vec{0}}=1$ [/mm] --> Nicht linear
So müsste es jetzt stimmen oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Mi 10.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> [mm]F\vektor{\vektor{1 \\ 1}}=1+1+1*1=3\not=2=1+0+0*1+0+1+1*0=F\vektor{\vektor{1 \\ 0}}+F\vektor{\vektor{0 \\ 1}}[/mm]
> --> Nicht linear
da hst du recht - hab mich vorhin wohl verrechnet gehabt...
(hatte es nur schnell im kopf gemacht)
> [mm]F\vektor{\vektor{0 \\ 0 \\ 0}}=F\vektor{\vec{0}}=1[/mm] -->
> Nicht linear
du meinst sicher:
[mm] $F\vektor{\vektor{0 \\ 0 \\ 0}}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}$, [/mm] aber weil der Nullvektor immer im Kern liegt, müsste auch der Nullvektor rauskommen..
viele Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Mi 10.01.2007 | | Autor: | KnockDown |
Hi DaMenge,
> > [mm]F\vektor{\vektor{1 \\ 1}}=1+1+1*1=3\not=2=1+0+0*1+0+1+1*0=F\vektor{\vektor{1 \\ 0}}+F\vektor{\vektor{0 \\ 1}}[/mm]
> > --> Nicht linear
>
>
> da hst du recht - hab mich vorhin wohl verrechnet
> gehabt...
> (hatte es nur schnell im kopf gemacht)
>
>
> > [mm]F\vektor{\vektor{0 \\ 0 \\ 0}}=F\vektor{\vec{0}}=1[/mm] -->
> > Nicht linear
>
> du meinst sicher:
> [mm]F\vektor{\vektor{0 \\ 0 \\ 0}}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm], aber
> weil der Nullvektor immer im Kern liegt, müsste auch der
> Nullvektor rauskommen..
Danke für das letzte stimmt da hatte ich mich verschrieben.
Gruß Thomas
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