Linearität und Teilmengen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 10:17 Do 26.01.2006 | | Autor: | Supermax |
| Aufgabe | a) Finde für die gegebenen Mengen maximal linear unabhängige Teilmengen und ergänze sie zu einer Basis des jeweiligen Raumes. v1(1,2,3,4) v2(2,3,4,5) v3(3,4,5,6)
b) Finde dazu die Koordinaten einiger der folgenden Vektoren:
(1,1,1,1) (1,2,3,4) (4.3.2.1) (-5,0,0,5). |
Wie kann ich das berechnen???
Danke für jegliche Hilfe!!!
P.S. ...auch ein Problem....wie schaffe ich es eine Gerade in Parameterform im 3-dimensionalen Raum in eine parameterfreie Form zu bekommen???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Supermax!
> a) Finde für die gegebenen Mengen maximal linear
> unabhängige Teilmengen und ergänze sie zu einer Basis des
> jeweiligen Raumes. v1(1,2,3,4) v2(2,3,4,5) v3(3,4,5,6)
> b) Finde dazu die Koordinaten einiger der folgenden
> Vektoren:
> (1,1,1,1) (1,2,3,4) (4.3.2.1) (-5,0,0,5).
> Wie kann ich das berechnen???
Also, ich weiß nicht so ganz, welche Mengen jetzt wozu gehören sollen. Aber linear abhängig bedeutet doch, dass man einen Vektor als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen kann. Und linear unabhängig ist dann, wenn eben dies nicht geht. Du musst halt, wenn du z. B. vier Vektoren gegeben hast, erstmal überprüfen, ob diese vier nicht vielleicht schon linear unabhängig sind. Dafür kannst du ein lineares Gleichungssystem lösen:
[mm] a*v_1+b*v_2+c*v_3+d*v_4=0 [/mm] - wenn du nur die Lösung a=b=c=d=0 erhältst, so sind die Vektoren linear unabhängig. Ansonsten sind sie linear abhängig.
Angenommen, deine vier Vektoren sind linear abhängig, so nimmst du dir eine beliebige drei-elementige Teilmenge dieser Vektoren und überprüfst das Gleiche. Wenn diese drei dann linear abhängig sind, bist du fertig, ansonsten probierst du es mit der nächsten drei-elementigen Teilmenge, und dann noch mit der nächsten und der letzten. Sind alle diese Möglichkeiten linear abhängig, so nimmst du nun alle zwei-elementigen Teilmengen. Findest du dann zwei Vektoren, die linear unabhängig sind, so bist du fertig, ansonsten ist halt nur ein einzelner Vektor linear unabhängig.
Du kannst auch, anstatt immer ein LGS zu lösen, die Determinante berechnen, wenn du die Vektoren als Spalten einer Matrix nimmst. Ist die Determinante =0, so sind die Vektoren linear abhängig, ansonsten linear unabhängig.
Naja, und zu einer Basis ergänzen geht dann so: du guckst dir quasi alle Komponenten an, und da, wo zwei einzelnen Komponenten voneinander anhängig sind, musst du noch eine linear unabhängige hinzufügen.
Was mit b) gemeint ist, weiß ich nicht so ganz, evtl. sollst du diese Vektoren als Linearkombination deiner Basisvektoren darstellen!? Angenommen, du hast die Basisvektoren [mm] b_1, b_2, b_3 [/mm] und [mm] b_4, [/mm] dann musst du für jeden Vektor [mm] v_i [/mm] folgendes Gleichungssystem lösen:
[mm] a*b_1+b*b_2+c*b_3+d*b_4=v_i
[/mm]
> Danke für jegliche Hilfe!!!
>
> P.S. ...auch ein Problem....wie schaffe ich es eine Gerade
> in Parameterform im 3-dimensionalen Raum in eine
> parameterfreie Form zu bekommen???
Das ist ja eine komplett andere Frage - dafür solltest du eigentlich auch einen eigenen Strang aufmachen! Hab' mich länger nicht mehr damit beschäftigt, aber ich glaube, das geht gar nicht, da es keine eindeutige (oder gar keine?) parameterfreie Darstellung einer Geraden im Dreidimensionalen gibt, oder vertue ich mich da jetzt? Jedenfalls ergäben ja bei einer Koordinatengleichung die Koeffizienten einen Normalenvektor der Geraden, und im 3D hat eine Gerade unendlich viele Normalenvektoren...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Do 26.01.2006 | | Autor: | Supermax |
Also die Vektoren sind linear...
Wie meinst du das mit beliebiger 3-elementiger Teilmenge? Beispiel?
Da blick ich nicht ganz durch, wie ich das berechnen soll...
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Hallo!
Eine Begrüßung deinerseits wäre auch nicht schlecht!!!
> ???
> Also die Vektoren sind linear...
Wenn es keine Aufgabe gibt, dann gib doch bitte gar nichts in das obere Feld ein!!!
> Wie meinst du das mit beliebiger 3-elementiger Teilmenge?
> Beispiel?
Also, angenommen, du hast die vierelementige Menge [mm] \{1,2,3,4\}. [/mm] Dann hast du folgende dreielementige Teilmengen:
[mm] \{1,2,3\}
[/mm]
[mm] \{1,2,4\}
[/mm]
[mm] \{1,3,4\}
[/mm]
[mm] \{2,3,4\}
[/mm]
Und jetzt machst du das Gleiche mit deinen Vektoren!
> Da blick ich nicht ganz durch, wie ich das berechnen
> soll...
Wenn's nur das war, was du nicht verstanden hast, dann dürfte das ja jetzt klappen. Ansonsten solltest du dir bitte mal ein bisschen was zu den Stichwörtern "Basis", "linear (un-)abhängig" u. Ä. angucken, dann verstehst du meine Erklärung auch!
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Do 26.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Max!
Wegen
[mm] $v_1 [/mm] = [mm] 2v_2 [/mm] - [mm] v_3$
[/mm]
sind die drei Vektoren linear abhängig. Schmeiße einen raus und ergänze die verbleibenden zwei (die dann in jedem Fall linear unabhängig sind) zu einer Basis des [mm] $\IR^4$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:14 So 29.01.2006 | | Autor: | matux |
Hallo Supermax!
Leider konnte Dir keiner mit Deinem Problem vollständig in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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