Linearität und Zeitinvarianz < Regelungstechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Überprüfen Sie, ob das Übertragungsglied eines Integrators linear und zeitinvariant ist. |
Hallo,
da die Formel für das Übertragungsverhalten eines Integrators nicht gegeben ist, habe ich sie mir herausgesucht, sie lautet:
[mm] v=-\bruch{1}{RC}\integral [/mm] u dt
Ich habe gleich die Eingangsgröße u genannt und die Ausgangsgröße v.
Ich kenne auch die Bedeutung von Linearität und Zeitinvarianz, aber ich weiß nicht, wie ich es zeigen soll.
Linearitätsprinzip: Die Kombination von Überlagerungs und Verstärkungsprinzip ergibt das Linearitätsprinzip.
[mm] c*x_{e1}(t)+c*x_{e2}(t) \to c*x_{a1}(t)+c*x_{a2}(t)
[/mm]
Was ist hier überhaupt das Übertragungsglied? Der Term rechts vom Gleichheitszeichen?
EDIT: Beim Lesen ist mir gerade die Definition des Begriffes "Integrator" ins Auge gefallen. Ein Integrator ist ein linearer Speicher. Dann liege ich mit meinem Integrierer wohl daneben. Aber wie sieht denn so ein Integrator formelmäßig aus?
Gruß, Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:12 Do 20.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum muss man eigentlich sowas zitieren?
siehe http://de.wikipedia.org/wiki/I-Glied
Gruss leduart
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Die Begriffsmäßigkeit war nicht ganz klar. Sorry dafür!
Mit dem Übertragungsglied eines Integrators ist also ein I-Glied gemeint, d.h. es gilt:
[mm] v(t)=K_{I}\integral [/mm] u(t)dt
(u: Eingangsgröße, v: Ausgangsgröße)
Überprüfen ob linear mit Linearitätsprinzip:
[mm] c*v_1(t)+c*v_2(t)=K_{I}\integral c*u_1(t)+c*u_2(t) [/mm] dt
= [mm] K_{I}\integral c*u_1(t)dt [/mm] + [mm] K_{I}\integral c*u_2(t)dt
[/mm]
[mm] =c*K_{I}\integral u_1(t)dt [/mm] + [mm] c*K_{I}\integral u_2(t)dt
[/mm]
Es folgt der Form: [mm] c*u_1(t) [/mm] + [mm] c*u_2(t)=c*v_1(t)+c*v_2(t), [/mm] also ist Linearität gegeben. Ist das so richtig gezeigt?
Überprüfen auf Zeitinvarianz mittels Verschiebungsprinzip:
Ansatz:
[mm] v(t-\tau)=K_{I}\integral_{t_1}^{t_2}{u(t-\tau) dt}
[/mm]
Ich glaube der Ansatz ist nicht sinnvoll gewählt, ich komme hier nämlich nicht weiter.
Gruß, Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Fr 21.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Ansatz scheint richtig, was sind denn die Grenzen am Integral?
gruß leduart
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Dann müssen die Grenzen wohl auch die Zeitverschiebung beinhalten?
[mm] v(t-\tau)=K_{I}\integral_{t_{1}-\tau}^{t_{2}-\tau}{u(t-\tau) dt}
[/mm]
Kann ich das mit Substitution zeigen? Indem ich sage:
[mm] (t-\tau)=z
[/mm]
[mm] v(z)=K_{I}\integral_{z_1}^{z_2}{u(z) dz} [/mm] = [mm] K_{I}[u(z_2)-u(z_1)]
[/mm]
Rücksubstituieren:
[mm] v(t-\tau)=K_{I}[u(t_2-\tau)-u(t_1-\tau)]
[/mm]
Damit wäre die Gleichung zeitinvariant, da sich das Verhalten im Laufe der Zeit nicht ändert.
Gruß, Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 So 23.03.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo Andi,
ja, diese Substitution ist okay und damit hast Du die Behauptung gezeigt.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 So 23.03.2014 | | Autor: | Mathe-Andi |
Klasse, das freut mich. Danke!
Viele Grüße,
Andreas
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