Linearität zeigen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Mo 14.06.2010 | | Autor: | wieschoo |
| Aufgabe | | Sei V ein unitärer Vektorraum. [mm] $f\in [/mm] End(V)$ ein Endormorphismus. Man definiert [m]=[/m]. Zeigen Sie f ist linear. |
Es ist einfach zu sehen (berechen), dass
[m]= \forall x,y,z\in V[/m]
[m]= \forall x,y,z\in V[/m]
gilt. Das heißt aber leider noch nicht, dass f linear ist, sondern nur das das Skalarprodukt übereinstimmt.
Ich finde leider kein Argument, das jetzt folger: f ist linear.
Bleibt mir noch etwas anderes übrig als [m] \forall x,y\in V[/m] auszurechnen und Null zu erhalten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Mo 14.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei V ein unitärer Vektorraum. [mm]f\in End(V)[/mm] ein
> Endormorphismus. Man definiert [m]=[/m]. Zeigen
> Sie f ist linear.
> Es ist einfach zu sehen (berechen), dass
>
> [m]= \forall x,y,z\in V[/m]
>
> [m]= \forall x,y,z\in V[/m]
>
> gilt. Das heißt aber leider noch nicht, dass f linear ist,
> sondern nur das das Skalarprodukt übereinstimmt.
> Ich finde leider kein Argument, das jetzt folger: f ist
> linear.
>
> Bleibt mir noch etwas anderes übrig als
> [m] \forall x,y\in V[/m]
> auszurechnen und Null zu erhalten?
Merkwürdig, merkwürdig, .......
Du hast doch als Voraussetzung: $ [mm] f\in [/mm] End(V) $ ist ein Endormorphismus.
D.h.: f ist eine lineare Selbstabbildung von V. Die Linearität von f ist also vorausgesetzt !!!
Und was soll das bedeuten: "Man definiert $ <f(x),f(y)>=<x,y> $" ???
Bitte gib die vollständige Aiufgabenstellung wieder
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Mo 14.06.2010 | | Autor: | wieschoo |
Tschuldigung das war Quatsch. Natürlich kein Endomorphismus. Bin auf falschen Zettel gelandet.
Die Frage steht trotzdem. Gibt es jetzt schon ein Argument. Oder muss ich den ganz großen Term ausmultiplizieren
$ <f(ax+by)-af(x)-bf(y),f(ax+by)-af(x)-bf(y)> [mm] \forall x,y\in [/mm] V $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Mo 14.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Tschuldigung das war Quatsch. Natürlich kein
> Endomorphismus. Bin auf falschen Zettel gelandet.
> Die Frage steht trotzdem. Gibt es jetzt schon ein
> Argument. Oder muss ich den ganz großen Term
> ausmultiplizieren
> [mm] \forall x,y\in V[/mm]
Nochnmal: wie lautet die komplette Aufgabenstellung ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Mo 14.06.2010 | | Autor: | wieschoo |
| Aufgabe | Gegeben seien ein endlich-dimensionaler unitärer Vektorraum V und eine Abbildung $f : V [mm] \rightarrow [/mm] V$ mit
$(f(x)|f(y)) = (x|y) [mm] \forall [/mm] x, y [mm] \in [/mm] V$ . Zeigen Sie, dass f linear ist. |
Meine Frage ist ob es schon ein Argument gibt nach
$ <f(ax+by),f(z)>=<af(x)+bf(y),f(z)> [mm] \forall x,y,z\in [/mm] V $
$ <f(x),f(ay+bz)>=<f(x),af(y)+bf(z)> [mm] \forall x,y,z\in [/mm] V $
aufzuhören und es elegant begründen kann. (die zwei sachen sind einfach zu zeigen). Allerdings sagt es ja nur aus, das das Skalarprodukt übereinstimmt und nicht das erste Argument. Es gibt ja z.B. mehrere Vektoren die senkrecht auf einander stehen aber dennoch nicht gleich sind.
Oder muss man
$ <f(ax+by)-af(x)-bf(y),f(ax+by)-af(x)-bf(y)> [mm] \forall x,y\in [/mm] V $
komplett durchrechnen.
Hoffe bei diesem Anlauf klappt es.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Mo 14.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben seien ein endlich-dimensionaler unitärer
> Vektorraum V und eine Abbildung [mm]f : V \rightarrow V[/mm] mit
> [mm](f(x)|f(y)) = (x|y) \forall x, y \in V[/mm] . Zeigen Sie, dass
> f linear ist.
> Meine Frage ist ob es schon ein Argument gibt nach
> [mm]= \forall x,y,z\in V[/mm]
So geht das natürlich nicht ! Du benutzt ja schon die Linearität von f. Die sollst Du aber doch zeigen !!!
Für x,y [mm] \in [/mm] V und a, b [mm] \in \IC [/mm] setze
$z:= f(ax+by)-af(x)-bf(y)$
Zeige nun: $<z,z> = 0$
Ist Dir klar, dass Du damit alles gezeigt hast ?
FRED
>
> [mm]= \forall x,y,z\in V[/mm]
>
> aufzuhören und es elegant begründen kann. (die zwei
> sachen sind einfach zu zeigen). Allerdings sagt es ja nur
> aus, das das Skalarprodukt übereinstimmt und nicht das
> erste Argument. Es gibt ja z.B. mehrere Vektoren die
> senkrecht auf einander stehen aber dennoch nicht gleich
> sind.
> Oder muss man
> [mm] \forall x,y\in V[/mm]
>
> komplett durchrechnen.
>
> Hoffe bei diesem Anlauf klappt es.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Mo 14.06.2010 | | Autor: | wieschoo |
> > Gegeben seien ein endlich-dimensionaler unitärer
> > Vektorraum V und eine Abbildung [mm]f : V \rightarrow V[/mm] mit
> > [mm](f(x)|f(y)) = (x|y) \forall x, y \in V[/mm] . Zeigen Sie,
> dass
> > f linear ist.
> > Meine Frage ist ob es schon ein Argument gibt nach
> > [mm]= \forall x,y,z\in V[/mm]
>
> So geht das natürlich nicht ! Du benutzt ja schon die
> Linearität von f. Die sollst Du aber doch zeigen !!!
>
> Für x,y [mm]\in[/mm] V und a, b [mm]\in \IC[/mm] setze
>
> [mm]z:= f(ax+by)-af(x)-bf(y)[/mm]
>
> Zeige nun: [mm] = 0[/mm]
>
> Ist Dir klar, dass Du damit alles gezeigt hast ?
Ja. Ich habe nur gehofft, dass es einen schöneren Weg gibt. Ich komme zwar auf [mm] = 0[/mm]. Aber der ist mir definitiv zu lang zum aufschreiben. Vielleicht sieht ja einer einen Kniff.
>
>
> FRED
>
>
> >
> > [mm]= \forall x,y,z\in V[/mm]
> >
> > aufzuhören und es elegant begründen kann. (die zwei
> > sachen sind einfach zu zeigen). Allerdings sagt es ja nur
> > aus, das das Skalarprodukt übereinstimmt und nicht das
> > erste Argument. Es gibt ja z.B. mehrere Vektoren die
> > senkrecht auf einander stehen aber dennoch nicht gleich
> > sind.
> > Oder muss man
> > [mm] \forall x,y\in V[/mm]
>
> >
> > komplett durchrechnen.
> >
> > Hoffe bei diesem Anlauf klappt es.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Mo 14.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > Gegeben seien ein endlich-dimensionaler unitärer
> > > Vektorraum V und eine Abbildung [mm]f : V \rightarrow V[/mm] mit
> > > [mm](f(x)|f(y)) = (x|y) \forall x, y \in V[/mm] . Zeigen Sie,
> > dass
> > > f linear ist.
> > > Meine Frage ist ob es schon ein Argument gibt nach
> > > [mm]= \forall x,y,z\in V[/mm]
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> >
> > So geht das natürlich nicht ! Du benutzt ja schon die
> > Linearität von f. Die sollst Du aber doch zeigen !!!
> >
> > Für x,y [mm]\in[/mm] V und a, b [mm]\in \IC[/mm] setze
> >
> > [mm]z:= f(ax+by)-af(x)-bf(y)[/mm]
> >
> > Zeige nun: [mm] = 0[/mm]
> >
> > Ist Dir klar, dass Du damit alles gezeigt hast ?
> Ja. Ich habe nur gehofft, dass es einen schöneren Weg
> gibt. Ich komme zwar auf [mm] = 0[/mm]. Aber der ist mir
> definitiv zu lang zum aufschreiben.
Na denn, .... Pech für die junge sympathische Mannschaft
FRED
> Vielleicht sieht ja
> einer einen Kniff.
> >
> >
> > FRED
> >
> >
> > >
> > > [mm]= \forall x,y,z\in V[/mm]
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> > >
> > > aufzuhören und es elegant begründen kann. (die zwei
> > > sachen sind einfach zu zeigen). Allerdings sagt es ja nur
> > > aus, das das Skalarprodukt übereinstimmt und nicht das
> > > erste Argument. Es gibt ja z.B. mehrere Vektoren die
> > > senkrecht auf einander stehen aber dennoch nicht gleich
> > > sind.
> > > Oder muss man
> > > [mm] \forall x,y\in V[/mm]
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> >
> > >
> > > komplett durchrechnen.
> > >
> > > Hoffe bei diesem Anlauf klappt es.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Mo 14.06.2010 | | Autor: | wieschoo |
Nö diese benutze ich noch nicht
$(f(ax+by),f(z)=(ax+by,z)=(ax,z)+(by,z)=a(x,z)+b(x,z)=a(f(x),f(z))+b(f(y),f(z))=(af(x)+bf(y),f(z))$
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