Linearität zeigen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum mit dimV < [mm] \infty [/mm] und g ein kovarianter Tensor zweiter Stufe.Man beweise:
f:V [mm] \to V^{\*}, [/mm] f(v)(w)=g(v,w) ist eine K-lineare Abbildung. |
Hallo^^
Ich versuche grad die Linearität von f zu zeigen, aber irgendwie zeige ich nur die Linearität von f(v).Ich muss doch folgende Dinge zeigen:
[mm] 1.f(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+f(v_{2}). [/mm] Und ich hab jetzt gezeigt, dass [mm] f(v_{1}+v_{2})(w)=g(v_{1}+v_{2},w)=g(v_{1},w)+g(v_{2},w)=f(v_{1})(w)+f(v_{2})(w). [/mm] Daraus folgt, dass f(v) linear ist. Aber wie kann ich das denn für f zeigen?
2. [mm] \lambda*f(v)(w)=\lambda*g(v,w)=g(\lambda*v,w)=g(v,\lambda*w)=f(\lambda*v)(w)=f(v)(\lambda*w). [/mm]
Das ist aber wieder die Linearität von f(v) und nicht die von f.
Ich weiß nicht wie ich sonst für die Linearität von f ansetzen soll.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank
lg
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Hallo,
> Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum mit dimV < [mm]\infty[/mm] und
> g ein kovarianter Tensor zweiter Stufe.Man beweise:
> f:V [mm]\to V^{\*},[/mm] f(v)(w)=g(v,w) ist eine K-lineare
> Abbildung.
> Hallo^^
>
> Ich versuche grad die Linearität von f zu zeigen, aber
> irgendwie zeige ich nur die Linearität von f(v).
Du sollst ja die Linearität von $f(v)$ zeigen.
> Ich muss
> doch folgende Dinge zeigen:
>
> [mm]1.f(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+f(v_{2}).[/mm]
> Und ich hab jetzt
> gezeigt, dass
> [mm]f(v_{1}+v_{2})(w)=g(v_{1}+v_{2},w)=g(v_{1},w)+g(v_{2},w)=f(v_{1})(w)+f(v_{2})(w).[/mm]
> Daraus folgt, dass f(v) linear ist. Aber wie kann ich das
> denn für f zeigen?
Das sieht aber eher wie die Linearität von $f$ aus, Linearität von $f(v)$ wäre doch
[mm] $f(v)(w_1+w_2)=f(v)(w_1)+f(v)(w_2)$
[/mm]
> 2.
> [mm]\lambda*f(v)(w)=\lambda*g(v,w)=g(\lambda*v,w)=g(v,\lambda*w)=f(\lambda*v)(w)=f(v)(\lambda*w).[/mm]
> Das ist aber wieder die Linearität von f(v) und nicht die
> von f.
Hier hast du beides.
[mm] $f(v)(\lambda w)=\lambda [/mm] f(v)(w)$ ist Linearität von $f(v)$
[mm] $f(\lambda v)(w)=\lambda [/mm] f(v)(w)$ ist Linearität von $ f$
> Ich weiß nicht wie ich sonst für die Linearität von f
> ansetzen soll.
> Kann mir jemand weiterhelfen?
>
> Vielen Dank
> lg
Gruss Strangelet
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| Aufgabe | | b) Angenommen f ist invertierbar.Man definiere einen kontravarianten Tensor mit Hilfe von [mm] f^{-1}. [/mm] |
Hallo,
> Hier hast du beides.
> [mm]f(v)(\lambda w)=\lambda f(v)(w)[/mm] ist Linearität von [mm]f(v)[/mm]
> [mm]f(\lambda v)(w)=\lambda f(v)(w)[/mm] ist Linearität von [mm]f[/mm]
>
Jetzt habe ich beide Linearitäten gezeigt, aber ich hatte die Aufgabe halt so verstanden, dass ich die Linearität von f zeigen soll und nicht die von f(v).
Ich habe versucht die b) zu machen und habe mir folgendes überlegt:
Wenn f invertierbar ist, habe ich zunächst eine Abbildung [mm] f^{-1}:V^{\*} \to [/mm] V. Ein kontravarianter Tensor ist eine Abbildung die von [mm] V^{\*} [/mm] nach K (Körper) geht. Ich weiß nur nicht von welcher Stufe der sein soll.
Ein k.T. erster Stufe würde so aussehen: [mm] t:V^{\*} \to [/mm] K, von zweiter Stufe so [mm] t:V^{\*} \times V^{\*}\to [/mm] K.
Jetzt müsste ich das V in [mm] f^{-1} [/mm] durch ein K ersetzen,aber das kann ich nicht einfach so machen. Wie geht man hier am besten vor?
Vielen Dank
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 31.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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