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| Aufgabe | Stellen Sie [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 4} [/mm] als Linearkombination der Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1} [/mm] ;
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] ; [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 0} [/mm] dar. |
Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Zur oben genannten Aufgabe haben wir den Lösungsweg bekommen, den ich allerdings absolut nicht nachvollziehen kann:
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 4} [/mm] = [mm] k_{1} \vektor{1 \\ 2 \\ 1} [/mm] + [mm] k_{2}\vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] k_{3}\vektor{3 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
= [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 4} [/mm] = -8 [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1} [/mm] + [mm] 12\vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] 3\vektor{3 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
= [mm] \vektor{-8+0+9 \\ -16+12+6 \\ +8+12+0}
[/mm]
= [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 4}
[/mm]
Wäre super nett, wenn mir jemand diese Aufgabe erklären kann. Ich verstehe nicht, wie man auf die Faktoren -8 ; 12 ; 3 kommt.
Liebe Grüße,
Sarah 
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Hallo Sarah,
> Stellen Sie [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 4}[/mm] als
> Linearkombination der Vektoren [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm] ;
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm] ; [mm]\vektor{3 \\ 2 \\ 0}[/mm] dar.
> Hallo Zusammen ,
>
> Zur oben genannten Aufgabe haben wir den Lösungsweg
> bekommen, den ich allerdings absolut nicht nachvollziehen
> kann:
>
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 4}[/mm] = [mm]k_{1} \vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> + [mm]k_{2}\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm] + [mm]k_{3}\vektor{3 \\ 2 \\ 0}[/mm]
>
> = [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 4}[/mm] = -8 [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> + [mm]12\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm] + [mm]3\vektor{3 \\ 2 \\ 0}[/mm]
>
> = [mm]\vektor{-8+0+9 \\ -16+12+6 \\ +8+12+0}[/mm]
>
> = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 4}[/mm]
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> Wäre super nett, wenn mir jemand diese Aufgabe erklären
> kann. Ich verstehe nicht, wie man auf die Faktoren -8 ; 12
> ; 3 kommt.
Da hat einer aber ganz scharf hingesehen und die Lösung abgelesen..
Die Berechnung der Koeffizienten [mm] $k_1, k_2, k_3$ [/mm] läuft auf das Lösen eines Gleichungssystems hinaus
[mm] $\vektor{1 \\ 2 \\ 4}=k_{1} \vektor{1 \\ 2 \\ 1}+k_{2}\vektor{0 \\ 1 \\ 1}+k_{3}\vektor{3 \\ 2 \\ 0}$
[/mm]
[mm] $\gdw \vektor{1 \\ 2 \\ 4}=\vektor{k_1 \\ 2k_1 \\ k_1}+\vektor{0 \\ k_2 \\ k_2}+\vektor{3k_3 \\ 2k_3 \\ 0}$
[/mm]
hier habe ich die Skalare in die Vektoren reingezogen, so ist ja die Multiplikation von Vektoren mit Skalaren (Zahlen) definiert
Nun kannst du "zeilenweise" vergleichen, es müssen jeweils die 1., 2. und 3. Zeile in der Gleichung übereinstimmen, also:
$(a) [mm] 1=k_1+0+3k_3$
[/mm]
$(b) [mm] 2=2k_1+k_2+2k_3$
[/mm]
$(c) [mm] 4=k_1+k_2+0$
[/mm]
oder schön zusammengefasst:
$(a) [mm] k_1+3k_3=1$
[/mm]
$(b) [mm] 2k_1+k_2+2k_3=2$
[/mm]
$(c) [mm] k_1+k_2=4$
[/mm]
Dieses Gleichungssystem mit 3 Gleichungen in 3 Unbekannten [mm] (k_1, k_2, k_3) [/mm] musst du nun lösen mit deinem Lieblingsverfahren
Dann solltest du auf die angegebene Lösung kommen
Give it a try
>
>
> Liebe Grüße,
>
> Sarah
Dir auch
schachuzipus
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Hey du ,
> Da hat einer aber ganz scharf hingesehen und die Lösung
> abgelesen..
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Verstehe ich nicht, die Lösungen standen doch da.
Also, ich konnte jeden deiner Schritte verstehen und nachvollziehen, und eigentlich auch den folgenden, da dieser natürlich logisch ist:
> Dieses Gleichungssystem mit 3 Gleichungen in 3 Unbekannten
> [mm](k_1, k_2, k_3)[/mm] musst du nun lösen mit deinem
> Lieblingsverfahren
Habe ich mit dem Gauss-Verfahren versucht und und die drei k`s durch x,y und z ersetzt, aber es kommt bei mir nicht auf:
(a) x + z = 1 *(-1) mit (b) *(-2) mit (c)
(b) x + y = 4
(c)2x + y +2z = 2
------------------
x + z = 1
y -2z = 3 *(-1) mit (c.2)
y + z = 1
------------------
x + z = 1
y -2z = 3
3z = -2
Wenn ich nun nach z auflöse, dann erhalte ich -0,67, stimmt ja nicht mit der Lösung überein...
Wo liegt mein Fehler?
Liebe Grüße,
Sarah
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Hallo Sarah!
>
> (a) x + z = 1 *(-1) mit (b) *(-2) mit (c)
> (b) x + y = 4
> (c)2x + y +2z = 2
> ------------------
> x + z = 1
> y -2z = 3 *(-1) mit (c.2)
> y + z = 1
> ------------------
> x + z = 1
> y -2z = 3
> 3z = -2
>
> Wenn ich nun nach z auflöse, dann erhalte ich -0,67, stimmt
> ja nicht mit der Lösung überein...
>
> Wo liegt mein Fehler?
>
>
> Liebe Grüße,
>
> Sarah
Du hast die erste Zeile mit -1 multipliziert und dann zur 2. Zeile addiert das ist ok aber du erhältst die gleichung y-z=3 du aber schreibst y-2z=3. genau das selbe argument wo du die 1. zeile mit -2 multiplizierst und dann zur 2. zeile hinzuaddierst da hast du dich auch vertan.
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:47 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Halt stopp. du hast auch dein LGS falsch aufgestellt. schau mal wo ist die 3z hin...
Gruß
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Huhu Tyskie ,
Ich habe das Ergebnis raus *gg*
Aber ich habe eine Frage zu dem, was ich da alles gerechnet habe.
Als ich die Aufgabenstellung gelesen hatte, da wäre ich drauf gekommen, dass ich die einzelnen Vektoren mit einer Zahl x,y,z multiplizieren muss.
Kannst du mir die Aufgabenstellung erklären?
Liebe Grüße,
Sarah
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Hallo!
Du hast insgesamt 4 vektoren. den einen vektor sollst du mit den anderen 3 anderen vektoren linear kombinieren. das bedeutet dass du ein lgs aufstellen musst mit 3 unbekannten und dieses dann lösen musst. versuche dir das in einem koordinatensystem zu veranschaulichen was du da machst.
Gruß
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