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Linearkombination: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:49 Mi 05.05.2004
Autor: tonymontana120979

Wie kann ich zeigen das ein Vektor x durch zwei Vektoren a1 und a2 erzeugt werden?

z.b.

x sei (0,1), a1 sei (1,-1) und a2(1,1)

gruss j

        
Bezug
Linearkombination: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:10 Mi 05.05.2004
Autor: Marc

Hallo tonymontana120979,

willkommen im MatheRaum! :-)

> Wie kann ich zeigen das ein Vektor x durch zwei Vektoren a1
> und a2 erzeugt werden?
>  
> z.b.
>  
> x sei (0,1), a1 sei (1,-1) und a2(1,1)

Indem man zeigt, dass [mm] \vec{x} [/mm] als eine Linearkombination der beiden Vektoren [mm] \vec{a_1}, \vec{a_2} [/mm] dargestellt werden kann, formal also so:

[mm] $\vec [/mm] x = [mm] r*\vec{a_1}+s*\vec{a_2}$ [/mm]

Dort setzt du nun die Komponenten ein

$ [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] = r* [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}+s* \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm]

und stellst die zugehörigen Komponentengleichungen auf

0 = r + s
1 = -r+s

Dies ist nun ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsweg du wahrscheinlich kennst (Additionsverfahren? Gauß-Algorithmus?)

Es ergibt sich [mm] $r=-\bruch{1}{2}$ [/mm] und [mm] $s=\bruch{1}{2}$. [/mm]

Für das Ausgangsproblem bedeutet das nun, dass

[mm] $\vec [/mm] x = [mm] -\bruch{1}{2}*\vec{a_1}+\bruch{1}{2}*\vec{a_2}$ [/mm]

dass also [mm] \vec{x} [/mm] eine Linearkombination der beiden anderen Vektoren ist.
Eine alternative Sprechweise ist wohl auch, dass [mm] \vec{x} [/mm] von den beiden Vektoren erzeugt wird, obwohl ist erzeugen nur im Zusammenhang mit Vektorräumen kenne.

Bei weiteren Unklarheiten frag' einfach nach.

Viele Grüße,
Marc


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