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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:29 Di 26.05.2009 | | Autor: | Foster |
| Aufgabe | Welche der folgenden Matrizen sind nicht
als Linearkombinationen der anderen darstellbar?
[mm] \vmat{ 1 & -1 \\ 1 & 2 } \vmat{ -1 & 2 \\ 3 & 1 } \vmat{ 2 & -3 \\ -3 & 2 } \vmat{ 1 & 1 \\ 1 & 6 } [/mm] |
wie gehe ich hier vor? Bei einem Einheitsvektor ist mir klar was ich machen muß, aber nicht bei Matrizen. Ich hoffe ich bekomme einen kleinen Tipp.
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Hallo,
Du kannst 2x2 Matrizen selbst wieder als Vektoren im Vektorraum der 2x2 Matrizen auffassen. Dann gilt wieder
[mm] \{m1, m2, ... mn\} [/mm] linear unabhängig, genau dann wenn:
a1*m1 + a2*m2 + ... + an*mn = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a1..an = 0.
alternativ kannst du die Matrizen auch als Vektoren des [mm] \IR^{}] [/mm] interpretieren.
viel Erfolg!
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> Welche der folgenden Matrizen sind nicht
> als Linearkombinationen der anderen darstellbar?
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> [mm]\vmat{ 1 & -1 \\ 1 & 2 } \vmat{ -1 & 2 \\ 3 & 1 } \vmat{ 2 & -3 \\ -3 & 2 } \vmat{ 1 & 1 \\ 1 & 6 }[/mm]
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> wie gehe ich hier vor? Bei einem Einheitsvektor ist mir
> klar was ich machen muß, aber nicht bei Matrizen. Ich hoffe
> ich bekomme einen kleinen Tipp.
Hallo,
Du bewegst Dich jetzt in einem Vektorraum, dessen Vektoren (also Elemente) Matrizen sind.
Willst Du wissen, ob [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 2 } [/mm] von den anderen dreien linear abhängig ist, mußt Du prüfen, ob man diesen Vektor (=Element des Vektorraumes) als Linearkombination der anderen drei darstellen kann, ob es also r,s,t [mm] \in \IR [/mm] gibt mit
[mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 2 }=r\pmat{ -1 & 2 \\ 3 & 1 } +s\pmat{ 2 & -3 \\ -3 & 2 } +t\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 6 }.
[/mm]
Für die anderen entsprechend.
Möchtest Du zunächst die lineare Unabhängigkeit der 4 Vekoren prüfen, so mußt Du schauen, ob aus
[mm] q\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 2 }+r\pmat{ -1 & 2 \\ 3 & 1 } +s\pmat{ 2 & -3 \\ -3 & 2 } +t\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 6 }=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] folgt, daß q=r=s=r=0 ist.
Gruß v. Angela
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