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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Mo 27.10.2008 | | Autor: | kami. |
| Aufgabe | Für v R² mit v!=0 betrachten wir die Gerade:
[mm] L_v [/mm] : = { x R²| es existiert ein µ R : x = µv }
Es sei nun v,w R² \ {0}, dann beweise man:
...
(d) Wenn [mm] L_v [/mm] geschnitten [mm] L_w [/mm] = {0} gilt, so lässt sich jedes x R² aufeindeutige Weise als "Linearkombination" von v und w, das heißt in der Form:
x = ß* v + µ *w mit ß, µ R darstellen |
Ich habe mir diesen Sachverhalt geometrisch aufgezeichnet und verstehe es voll und ganz. Ich sehe aber irgendwie nicht den Weg wie ich es mathematisch beweisen kann. Zumal ich zusätzlich nicht ganz verstehe warum nicht schon ein einziger Vektor v bzw. w ausreicht jeden Vektor x darzustellen, z.b. durch so etwas wie x = ( [mm] ß*x_1 [/mm] , µ * [mm] x_2)
[/mm]
Ein Ansatz oder etwas ähnliches würde mir sehr weiterhelfen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Für v R² mit v!=0 betrachten wir die Gerade:
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> [mm]L_v[/mm] : = { x R²| es existiert ein µ R : x = µv }
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> Es sei nun v,w R² \ {0}, dann beweise man:
> ...
> (d) Wenn [mm]L_v[/mm] geschnitten [mm]L_w[/mm] = {0} gilt, so lässt sich
> jedes x R² aufeindeutige Weise als "Linearkombination"
> von v und w, das heißt in der Form:
>
> x = ß* v + µ *w mit ß, µ R darstellen
Hallo,
überleg Dir mal wie Du zeigen kannst, daß v und w linear unabhängig sind.
So könntest Du beginnen: sei av+bw=0.
Nun überleg' Dir, warum [mm] a\not=0 [/mm] ein Widerspruch zu [mm]L_v[/mm] geschnitten [mm]L_w[/mm] = {0} ist.
Füt b genauso.
Tja, und zwei linear unabhängige Vektoren im [mm] \IR^2 [/mm] bilden eine ....
> Zumal
> ich zusätzlich nicht ganz verstehe warum nicht schon ein
> einziger Vektor v bzw. w ausreicht jeden Vektor x
> darzustellen, z.b. durch so etwas wie x = ( [mm]ß*x_1[/mm] , µ *
> [mm]x_2)[/mm]
>
Für sowas brauchst Du zwei Vektoren, von denen der eine mit [mm] \beta [/mm] und der andere mit [mm] \mu [/mm] multipliziert wird: x = ( [mm]ß*x_1[/mm] , µ *
> [mm]x_2)[/mm][mm] =\beta([/mm] [mm]x_1[/mm] , 0) + [mm] \mu [/mm] (0, [mm] x_2)
[/mm]
Gruß v. Angela
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