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Forum "Prozesse und Matrizen" - Linearkombination aus Eigenvek
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Linearkombination aus Eigenvek: Textaufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:16 Mi 06.12.2023
Autor: Otto8

Aufgabe
Eine Industriebrache soll mit Bäumen aufgeforstet werden. Zu Begin werden 45 Bäume und 100 Setzlinge gepflanzt. Jeder Baum erzeugt im Durchschnitt sechs Setzlinge jährlich. Von diesen wachsen 6% in einem Jahr zu jungen Bäumen heran, die übrigen gehen ein oder werden vom Wild gefressen. Jedes Jahr sterben 10% der erwachsenen Bäume oder müssen gefällt werden.
a) Begründen Sie das sich der Prozess durch die Übergangsmatrix A = [mm] \pmat{ 0.9 & 0.06 \\ 6 & 0 } [/mm] beschreiben lässt.
b) Zeigen Sie, dass [mm] \vec{w_{1}} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 5} [/mm] und [mm] \vec{w_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -20} [/mm] Eigenvektoren von A sind und geben Sie die zugehörigen Eigenwerte an.
c) Stellen Sie den Anfangszustand als Linearkombination von  [mm] \vec{w_{1}} [/mm] und [mm] \vec{w_{2}} [/mm] dar.
d) Stellen Sie den Zustand nach n Jahren mithilfe der Eigenwerte und Eigenvektoren dar und bestimmen Sie das langfristige Verhalten des Prozesses.

Die Aufgaben a) und b) habe ich komplett gelöst.
Kurz zu a):
1. Spalte: Wenn 10% Bäume wegfallen überleben 90% = 0,9 und 6, weil pro Baum 6 Setzlinge p.a. hinzukommen.
2. Spalte: 0,06 bewirkt das 6% p.a. an Setzlingen hinzukommen und 0, weil Setzlinge keine neuen Setzlinge reproduzieren.
Kurz zu b):
A [mm] *\vec{w_{1}} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 5} [/mm] ergibt [mm] \vektor{1.2 \\ 6} [/mm]
A [mm] *\vec{w_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -20} [/mm] ergibt [mm] \vektor{1.2 \\ 6} [/mm]
Also identische Richtung.
Für Lambda 1 habe ich 1,2 berechnet und für Lambda 2 dementsprechend -0,3.
Für die beiden Aufgaben c) und d) fehlt mir komplett das Verständnis.
Trotzdem eine Überlegung zu c):
Der Anfangszustand sollte doch [mm] \vektor{45 \\ 100} [/mm] aufgrund der Bäume und Setzlinge zu Beginn sein?!
Überlegung zu d):
Multiplizieren ich den Startvektor [mm] \vektor{45 \\ 100} [/mm] mit der Übergangsmatrix A so erhalte ich [mm] \pmat{ 40.5 & 6 \\ 270 & 0 }... [/mm] D. h. die Zahl der Setzlinge, die zu Bäumen werden steigt von Jahr zu Jahr?!

Über eure Hilfe würde ich mich sehr freuen. Vielen Dank vorab!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Linearkombination aus Eigenvek: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:02 Mi 06.12.2023
Autor: meili

Hallo Otto8,

[willkommenmr]

> Eine Industriebrache soll mit Bäumen aufgeforstet werden.
> Zu Begin werden 45 Bäume und 100 Setzlinge gepflanzt.
> Jeder Baum erzeugt im Durchschnitt sechs Setzlinge
> jährlich. Von diesen wachsen 6% in einem Jahr zu jungen
> Bäumen heran, die übrigen gehen ein oder werden vom Wild
> gefressen. Jedes Jahr sterben 10% der erwachsenen Bäume
> oder müssen gefällt werden.
>  a) Begründen Sie das sich der Prozess durch die
> Übergangsmatrix A = [mm]\pmat{ 0.9 & 0.06 \\ 6 & 0 }[/mm]
> beschreiben lässt.
>  b) Zeigen Sie, dass [mm]\vec{w_{1}}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 5}[/mm] und
> [mm]\vec{w_{2}}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ -20}[/mm] Eigenvektoren von A sind
> und geben Sie die zugehörigen Eigenwerte an.
>  c) Stellen Sie den Anfangszustand als Linearkombination
> von  [mm]\vec{w_{1}}[/mm] und [mm]\vec{w_{2}}[/mm] dar.
>  d) Stellen Sie den Zustand nach n Jahren mithilfe der
> Eigenwerte und Eigenvektoren dar und bestimmen Sie das
> langfristige Verhalten des Prozesses.
>  Die Aufgaben a) und b) habe ich komplett gelöst.
>  Kurz zu a):
> 1. Spalte: Wenn 10% Bäume wegfallen überleben 90% = 0,9
> und 6, weil pro Baum 6 Setzlinge p.a. hinzukommen.
>  2. Spalte: 0,06 bewirkt das 6% p.a. an Setzlingen
> hinzukommen und 0, weil Setzlinge keine neuen Setzlinge
> reproduzieren.

[ok]

>  Kurz zu b):
>  A [mm]*\vec{w_{1}}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 5}[/mm] ergibt [mm]\vektor{1.2 \\ 6}[/mm]
>  
> A [mm]*\vec{w_{2}}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ -20}[/mm] ergibt [mm]\vektor{1.2 \\ 6}[/mm]
>  
> Also identische Richtung.
>  Für Lambda 1 habe ich 1,2 berechnet und für Lambda 2
> dementsprechend -0,3.

Du hast die richtigen Eigenwerte herausbekommen, aber wenn [mm]\vec{w_{1}}[/mm] und [mm]\vec{w_{2}}[/mm] Eigenvektoren von A sind
und [mm] $\lambda_1$ [/mm] und [mm] $\lambda_2$ [/mm] die zugehörigen Eigenwerte von A sind, so ist:

[mm]A \vec{w_{1}} = \lambda_1\vec{w_{1}} [/mm] und [mm]A \vec{w_{2}} = \lambda_2 \vec{w_{2}} [/mm]

>  Für die beiden Aufgaben c) und d) fehlt mir komplett das
> Verständnis.
>  Trotzdem eine Überlegung zu c):
>  Der Anfangszustand sollte doch [mm]\vektor{45 \\ 100}[/mm] aufgrund
> der Bäume und Setzlinge zu Beginn sein?!

[ok]
Und dieser Vektor soll als Linearkombination der Vektoren [mm]\vec{w_{1}}[/mm] und [mm]\vec{w_{2}}[/mm]  dargestellt werden.

Also es sind Zahlen a und b (wahrscheinlich $ [mm] \in \IR$) [/mm] gesucht mit:

[mm]a * \vektor{1 \\ 5} + b* \vektor{1 \\ -20} =\vektor{45 \\ 100} [/mm]

a und b lassen sich aus dem linearen Gleichungssystem

a+b=45
5a-20b=100

berechnen.

>  Überlegung zu d):
>  Multiplizieren ich den Startvektor [mm]\vektor{45 \\ 100}[/mm] mit
> der Übergangsmatrix A so erhalte ich [mm]\pmat{ 40.5 & 6 \\ 270 & 0 }...[/mm]
> D. h. die Zahl der Setzlinge, die zu Bäumen werden steigt
> von Jahr zu Jahr?!

Ja, aber man multipliziert die Übergangsmatrix A mit dem Startvektor:

[mm]\pmat{ 0.9 & 0.06 \\ 6 & 0 }\vektor{45 \\ 100} = \vektor{46,5 \\ 270}[/mm]

und erhält dann die Bäume und Setzlinge nach einem Jahr.

Macht man das wiederholt, wären es nach n Jahren:

[mm]\pmat{ 0.9 & 0.06 \\ 6 & 0 }^n\vektor{45 \\ 100} [/mm]

Matrizen potenzieren ist recht mühsam, dashalb ist es einfacher mit den Eigenvektoren und Eigenwerten zu rechnen.

Setzt man für den Startvektor die Linearkombination des Startvektors aus den Eigenvektoren ein, ergibt sich:

[mm]\pmat{ 0.9 & 0.06 \\ 6 & 0 }\vektor{45 \\ 100} = \pmat{ 0.9 & 0.06 \\ 6 & 0 }\left(a\vektor{1 \\ 5} + b \vektor{1 \\ -20} \right) = a\lambda_1\vektor{1 \\ 5} + b\lambda_2 \vektor{1 \\ -20} [/mm]

Macht man das wiederholt, ergibt es für n Jahre:

[mm]a\lambda_1^n\vektor{1 \\ 5} + b\lambda_2^n \vektor{1 \\ -20} [/mm]

>  
> Über eure Hilfe würde ich mich sehr freuen. Vielen Dank
> vorab!
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Linearkombination aus Eigenvek: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:26 Mi 06.12.2023
Autor: Otto8

zu c)
Also berechne ich a und b durch ein lineares Gleichungssystem...
Hier komme ich auf a = 40 und b = 5
zu d)
komplett schlüssig

Vielen, vielen Dank!!!


Bezug
                        
Bezug
Linearkombination aus Eigenvek: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:51 Mi 06.12.2023
Autor: meili


> zu c)
>  Also berechne ich a und b durch ein lineares
> Gleichungssystem...
>  Hier komme ich auf a = 40 und b = 5

[ok]

>  zu d)
>  komplett schlüssig
>  
> Vielen, vielen Dank!!!
>  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Prozesse und Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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