Lineartransformation < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Do 22.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Hallo,
Ich soll die Matrix einer Lineartransformation l,die den Vektor [mm] \vektor{1 \\ 0\\1} [/mm] an der x-y Ebene spiegelt,in Richtung des Vektors [mm] \vektor{0 \\ 2\\0} [/mm] um den Faktor 2 streckt und den Vektor [mm] \vektor{-1 \\ 1\\1} [/mm] im Ursprung spiegelt.
Nun steht noch als Tipp dabei die Matrix B besteht aus den geg. Vektoren und B'besteht aus den Spaltenvektoren der Bilder der geg. Vekotren und AB=B' muss erfüllt sein
[mm] B=\pmat{ 1 & 0&-1 \\ 0 & 2&1\\1&0&1 } [/mm] Bei B' hab ich mir gedacht ich schau mir die 3 geg. Vektoren an und führe aus was dabei steht. also [mm] \vektor{1 \\ 0\\1} [/mm] an x-y Ebene spiegeln bedeutet [mm] \vektor{1 \\ 0\\-1} ,\vektor{0 \\ 2\\0} [/mm] um Faktor 2 strecken = [mm] \vektor{0 \\ 4\\0} [/mm] und [mm] \vektor{-1 \\ 1\\1} [/mm] im Ursprung spiegeln = [mm] \vektor{1 \\ -1\\-1}
[/mm]
Somit würde ich auf die Matrix B' = [mm] \pmat{ 1 & 0&1 \\ 0 & 4&-1\\-1&0&-1 } [/mm]
Die Matrix A würde ich ja bekommen indem ich folgendes ausführe :
A*B*B^-1=B'*B^-1
A=B'*B^-1 aber das stimmt bei mir nicht,ich glaub ich hab etwas falsch verstanden
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Do 22.03.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> Ich soll die Matrix einer Lineartransformation l,die den
> Vektor [mm]\vektor{1 \\
0\\
1}[/mm] an der x-y Ebene spiegelt,in
> Richtung des Vektors [mm]\vektor{0 \\
2\\
0}[/mm] um den Faktor 2
> streckt und den Vektor [mm]\vektor{-1 \\
1\\
1}[/mm] im Ursprung
> spiegelt.
>
>
> Nun steht noch als Tipp dabei die Matrix B besteht aus den
> geg. Vektoren und B'besteht aus den Spaltenvektoren der
> Bilder der geg. Vekotren und AB=B' muss erfüllt sein
>
> [mm]B=\pmat{ 1 & 0&-1 \\
0 & 2&1\\
1&0&1 }[/mm] Bei B' hab ich mir
> gedacht ich schau mir die 3 geg. Vektoren an und führe aus
> was dabei steht. also [mm]\vektor{1 \\
0\\
1}[/mm] an x-y Ebene
> spiegeln bedeutet [mm]\vektor{1 \\
0\\
-1} ,\vektor{0 \\
2\\
0}[/mm]
> um Faktor 2 strecken = [mm]\vektor{0 \\
4\\
0}[/mm] und [mm]\vektor{-1 \\
1\\
1}[/mm]
> im Ursprung spiegeln = [mm]\vektor{1 \\
-1\\
-1}[/mm]
>
> Somit würde ich auf die Matrix B' = [mm]\pmat{ 1 & 0&1 \\
0 & 4&-1\\
-1&0&-1 }[/mm]
>
> Die Matrix A würde ich ja bekommen indem ich folgendes
> ausführe :
> A*B*B^-1=B'*B^-1
> A=B'*B^-1 aber das stimmt bei mir nicht,ich glaub ich
> hab etwas falsch verstanden
Ja,
vermutlich die Aussage 2.
Ich interpretiere das so, dass aus einem Vektor [mm]\vektor{a\\
b\\
c}[/mm] (wobei a und c nicht Null sein müssen) der Vektor [mm]\vektor{a\\
2b\\
c}[/mm] wird.
Gruß Abakus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:42 Do 22.03.2012 | | Autor: | racy90 |
ja aber das hab ich doch gemacht
der geg. Spaltenvektor lautet [mm] :\vektor{0 \\ 2\\0} [/mm] dieser wird in Richtung des Vektors um den Faktor 2 gestreckt [mm] =\vektor{0 \\ 4\\0}
[/mm]
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> Hallo,
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> Ich soll die Matrix einer Lineartransformation l,die den
> Vektor [mm] b_1:=[/mm] [mm]\vektor{1 \\
0\\
1}[/mm] an der x-y Ebene spiegelt,in
> Richtung des Vektors [mm] b_2:=[/mm] [mm]\vektor{0 \\
2\\
0}[/mm] um den Faktor 2
> streckt und den Vektor [mm] b_3:=[/mm] [mm]\vektor{-1 \\
1\\
1}[/mm] im Ursprung
> spiegelt.
>
>
> Nun steht noch als Tipp dabei die Matrix B besteht aus den
> geg. Vektoren und B'besteht aus den Spaltenvektoren der
> Bilder der geg. Vekotren und AB=B' muss erfüllt sein
Hallo,
schauen wir uns die Sache genauer an.
Gegeben ist hier eine Basis [mm] B:=(b_1, b_2, b_3) [/mm] und eine lineare Abbildung l durch die Bilder der Basisvektoren von B.
Die Matrix, die die Vektoren von B in ihrene Spalten enthält, nennst Du ebenfalls B:
>
> [mm]B=\pmat{ 1 & 0&-1 \\
0 & 2&1\\
1&0&1 }[/mm]
Was hat es mit dieser Matrix auf sich?
Es ist eine Basistransformationsmatrix.
Sie verwandelt Vektoren, die in Koodinaten bzgl B gegeben sind, in solche bzgl der Standardbasis E.
Ich weiß nicht, welche Schreibweisen an Deiner Schule üblich sind, mancherorts wird Deine Matrix B jedenfalls mit [mm] M^E_B(id) [/mm] oder - noch selbsterklärender - mit [mm] _EM(id)_B [/mm] bezeichnet.
Man füttert mit einem Koordinatenvektor bzgl. B und bekommt hinten denselben Vektor in Koordinaten bzgl E heraus.
> Bei B' hab ich mir
> gedacht ich schau mir die 3 geg. Vektoren an und führe aus
> was dabei steht. also [mm]\vektor{1 \\
0\\
1}[/mm] an x-y Ebene
> spiegeln bedeutet [mm]\vektor{1 \\
0\\
-1} ,\vektor{0 \\
2\\
0}[/mm]
> um Faktor 2 strecken = [mm]\vektor{0 \\
4\\
0}[/mm] und [mm]\vektor{-1 \\
1\\
1}[/mm]
> im Ursprung spiegeln = [mm]\vektor{1 \\
-1\\
-1}[/mm]
Richtig.
>
> Somit würde ich auf die Matrix B' = [mm]\pmat{ 1 & 0&1 \\
0 & 4&-1\\
-1&0&-1 }[/mm]
>
Ja. Nun sollte man allerdings auch hier überlegen, was die Matrix B' leistet:
füttere ich sie mit einem Koordinatenvektor bzgl. B, so liefert sie mir sein Bild unter l, allerdings in Koordinaten bzgl. E.
In den oben genannten Schreibweisen ist also [mm] B'=M^B_E(l) [/mm] bzw. [mm] B_=_EM(l)_B.
[/mm]
> Die Matrix A würde ich ja bekommen indem ich folgendes
> ausführe :
> A*B*B^-1=B'*B^-1
> A=B'*B^-1 aber das stimmt bei mir nicht,ich glaub ich
> hab etwas falsch verstanden
Zweierlei: was bekommst Du, warum glaubst Du das es nicht stimmt, was willst Du bekommen?
Übrigens wäre es mehr als gut, wenn Du die Aufgabe im kompletten Originalwortlaut posten würdest.
Ich muß nämlich ein bißchen raten, was Du überhaupt bestimmen sollst:
die Matrix A, welche die Darstellungsmatrix von l bzgl. der Standardbasis ist.
Es gilt ja in "meiner" Schreibweise: [mm] A=_E_M(l)_E, [/mm] und es ist
[mm] _EM(l)_E*_EM(id)_B=_EM(l)_B.
[/mm]
Eigentlich also sollte Dein tun durchaus funktionieren.
Vielleicht hast Du ja richtig gerechnet und erkennst nur nicht, daß es funktioniert?
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Fr 23.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Es steht dort ,finden sie die Matrix A einer Lineartranformation l,die den
Vektor [mm]b_1:=[/mm] [mm]\vektor{1 \\
0\\
1}[/mm] an der x-y Ebene
spiegelt,in
Richtung des Vektors [mm]b_2:=[/mm] [mm]\vektor{0 \\
2\\
0}[/mm] um den
Faktor 2
streckt und den Vektor [mm]b_3:=[/mm] [mm]\vektor{-1 \\
1\\
1}[/mm] im
Ursprung spiegelt.Überlegen sie sich,warum die Matrix A die Matrixgleichung AB=B' erfüllt und berechnen sie A.
A= B'B^-1 = bei mir [mm] \pmat{ 1/2 & 0 &-1/2\\ 0 & 2&0\\-1/2&0&1/2 }
[/mm]
Ich habe dann nachkontrollieren wollen ob AB=B' ergibt und da bin ich misstrauisch geworden weil es bei mir nicht die Matrix B' ergibt
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> Es steht dort ,finden sie die Matrix A einer
> Lineartranformation l,die den
> Vektor [mm]b_1:=[/mm] [mm]\vektor{1 \\
0\\
1}[/mm] an der x-y Ebene
> spiegelt,in
> Richtung des Vektors [mm]b_2:=[/mm] [mm]\vektor{0 \\
2\\
0}[/mm] um den
> Faktor 2
> streckt und den Vektor [mm]b_3:=[/mm] [mm]\vektor{-1 \\
1\\
1}[/mm] im
> Ursprung spiegelt.Überlegen sie sich,warum die Matrix A
> die Matrixgleichung AB=B' erfüllt und berechnen sie A.
>
> A= B'B^-1 = bei mir [mm]\pmat{ 1/2 & 0 &-1/2\\
0 & 2&0\\
-1/2&0&1/2 }[/mm]
>
> Ich habe dann nachkontrollieren wollen ob AB=B' ergibt und
> da bin ich misstrauisch geworden weil es bei mir nicht die
> Matrix B' ergibt
Hallo,
das sollte wirklich zu denken geben.
Wenn die Matrix A richtig wäre, müßte ja auch [mm] A*b_1=$\vektor{1 \\ 0\\ -1}$, Ab_2=2b_2 [/mm] und [mm] Ab_3=-b_3 [/mm] sein.
Nun sehe ich nicht, was Du gerechnet hast.
Entweder ist beim Invertieren etwas mißglückt, oder beim anschließenden Multiplizieren.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Fr 23.03.2012 | | Autor: | racy90 |
okay hab noch mal nachgerechnet und es war beim mulitplizieren
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