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Linienintegral: Grenzen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:46 Sa 09.09.2006
Autor: MrMibay

Aufgabe
Gegeben seien das Vektofeld [mm] \vec{F}(x,y,z) [/mm] und eine Raumkurve C mit der Parameterdarstellung [mm] \vec{r}(t) [/mm] durch
[mm] \vec{F}(x,y,z)= \begin{pmatrix} xy\\ yz \\ xz \end{pmatrix} [/mm] bzw [mm] \vec{r}(t) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} t \\ t^2 \\ t^3 \end{pmatrix} [/mm]
Berechnen Sie das Linienintegral [mm] \int_{C} \vec{F}\, d\vec{r} [/mm]
vom Punkt A=(-1,1,-1) bis zum Punkt B=(1,1,1).

Also bis zum Integral komm ich wohl noch, das müsste:

[mm] \integral_{C}{5t^6+t^3 dt} [/mm]

sein.
Aber jetzt weiß ich nicht was ich für Grenzen einsetzen muss. Kann mir da jemand weiterhelfen? Vielen Dank schon mal im voraus!
mfg

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
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Linienintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:47 Sa 09.09.2006
Autor: EvenSteven

Hallo
Wenn du bei deiner Parameterdarstellung von C t=-1 setzt, kriegst du den Punkt A; für t=1 kriegst du den Punkt B. Die Grenzen sind also [-1,1].

Gruss

EvenSteven

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Linienintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 Sa 09.09.2006
Autor: MrMibay

muss ich immer die x koordinaten der punkte einsetzen oder woher weiß ich das ich -1 und 1 einsetzen muss?
danke schon mal!!!

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Linienintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:43 Sa 09.09.2006
Autor: EvenSteven


> muss ich immer die x koordinaten der punkte einsetzen

Nein, das ist hier Zufall.

> woher weiß ich das ich -1 und 1 einsetzen muss?
>  danke schon mal!!!

Ja eigentlich habe ich es ja schon geschrieben, aber hier nochmals ausführlich:
Du suchst für die Raumkurve C mit der Parameterdarstellung

[mm] \vec{r}(t)=\begin{pmatrix} t \\ t^2 \\ t^3 \end{pmatrix} [/mm]

jenes [mm]t_{1}[/mm] bzw. [mm]t_{2}[/mm], für welches gilt

[mm] \vec{r}(t_{1})= A = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm]
bzw.
[mm] \vec{r}(t_{2})= B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]

Man sieht, es muss [mm]t_{1}=-1[/mm] und [mm]t_{2}=1[/mm] gelten.
Ist es nun klar?

Gruss

EvenSteven

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Linienintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:10 Sa 09.09.2006
Autor: MrMibay

hm ja für diesen fall schon, aber was ist wenn ich statt (1,1,1) (2,-5,8) habe? Wie berechne ich denn die Grenzen?

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Linienintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:43 Sa 09.09.2006
Autor: Christian

Hallo!

> hm ja für diesen fall schon, aber was ist wenn ich statt
> (1,1,1) (2,-5,8) habe? Wie berechne ich denn die Grenzen?

Ganz einfach. Für den Fall B=(2,-5,8) liegt der Punkt B überhaupt nicht auf der Kurve und die ganze Aufgabe macht keinen Sinn.

Gruß,
Christian

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Linienintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:57 Sa 09.09.2006
Autor: MrMibay

ok, anders gefragt, statt (1,1,1) nehmen wir (a,b,c) ich möchte ja nur wissen wie man vorgeht, wie man das t ermittelt....

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Linienintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:10 Sa 09.09.2006
Autor: Christian

Hallo.

Nun, der Punkt (a,b,c) muß auf der Kurve liegen.
Das gibt uns die 3 Gleichungen
[mm] $\vektor{a\\b\\c}=\vektor{t,t^2,t^3}$, [/mm]
von denen wir eine nach $t$ auflösen, falls der Punkt tatsächlich auf der Kurve liegt, sind die anderen dann automatisch erfüllt.
In diesem konkreten Beispiel ist die erste Gleichung natürlich die Subtrivialste:
t=a.

Gruß,
Christian

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