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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Fr 04.06.2010 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Betrachtet werden Linienintegrale entlang der Parabel y=2x² in der Ebene z=0, zwischen den Punkten P₁=(0,0,0) und P₂=(1,2,0). Ein Kraftfeld [mm] \vec{F}:=3xye_{x}-y²e_{y} [/mm] sei vorhanden.
(a) Bestimmen Sie die Bogenlänge der Parabel zwischen P₁ und P₂.
(b) Ermitteln Sie die Arbeit [mm] W:=\int_{C} d\vec{r}\cdot \vec{F}.
[/mm]
(c) Sei letztendlich [mm] F=\frac{mgR^{2}r}{r^{3}}, [/mm] wobei g≈9,8(m/(s²)) und R≈6400 km. Ein Körper mit Masse m=1kg wird vom r=R nach [mm] r=\infty [/mm] geschossen. Ermitteln Sie die Arbeit W in disem Fall. |
Hallo,
ich komme so ein bisschen mit den Ansätzen durcheinander.
Zu (a):
Folgende Definition ist mir bekannt: Die Bogenlänge zwischen [mm] t_{a} [/mm] und [mm] t_{b} [/mm] wird als [mm] s:=\int_{t_{a}}^{t_{b}}dt|\frac{d\vec{r}}{dt}|=\int_{t_{a}}^{t_{b}}\sqrt{(\sum_{k}(\frac{dx_{k}}{dt}^2)} [/mm] definiert.
Ich kann das allerdings nicht so recht auf die Aufgabenstellung übersetzen. Wie muss ich denn [mm] t_a [/mm] und [mm] t_b [/mm] wählen? Das sind doch Punkte, die von drei Koordinaten abhängen?
Ich bekomme also keinen Ansatz hin.
Ähnlich ist es bei (b). Hier hab ich mir folgendes gedacht. Ich schreibe
[mm] \vec{r}(x)=(x,y,z)=(x,2x^2,0). [/mm] Dann gilt [mm] \frac{\vec{r}(x)}{dx}=(1,4x,0) [/mm] und dann berechne ich: [mm] W=\int_{C}d\vec{r}\vec{F}=\int_{0}^{1}dx\frac{\vec{r}(x)}{dx}\vec{F}=\int_{0}^{1}dx(6x^3-16x^5)=-\frac{7}{6}.
[/mm]
Mich wundert, dass das negativ ist. Muss man das anders machen?
Gruß Unk.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Sa 05.06.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo unk,
bei diesen Kurvenintegralen nimmt man eine Parametrisierung vor, indem man die Kurvenkomponenten durch einen gemeinsamen Parameter beschreibt. Bei der gegebenen Parabel ist dies relativ einfach, Du kannst Sie beispielsweise als Funktion des Parameters t folgendermaßen schreiben:
$$ [mm] \vec{K}(t) [/mm] = [mm] \vektor{ t \\ 2t^2 \\0} [/mm] $$ und dabei lässt Du t von 0 bis 1 laufen.
Die Bogenlänge ergibt sich dann durch den von Dir bereits angegebenen Ausdruck als
$$ s = [mm] \int_0^1 \wurzel{ 1 + {(4t)}^2}\, [/mm] dt $$
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:28 So 06.06.2010 | | Autor: | Unk |
> Hallo unk,
> bei diesen Kurvenintegralen nimmt man eine Parametrisierung
> vor, indem man die Kurvenkomponenten durch einen
> gemeinsamen Parameter beschreibt.
Ok. Im Prinzip hab ich das doch bei Teil (b) so gemacht, meine Parametrisierung ist dann [mm] \vec{r}(x)=(x,2x^2,0).
[/mm]
Meine angegebene Rechnung liefert aber immer etwas negatives, was mir komisch erscheint.
Bei (c) weiß ich nicht so recht, wie ich das mit der Parametrisierung machen soll. Im Prinzip kann ich mir ja eine Kurve frei wählen, an der entlang ich integriere. Ich habe deshalb die Gerade y=x gewählt und erhalte die Parametrisierung [mm] \vec{r}(t)=(t,t,0). [/mm] Aber wie mache ich das dann mit den Grenzen, also wie ist der Integralansatz?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 So 06.06.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo unk.
bei der Bestimmung des y-Anteils des Integrals ist etwas schiefgegangen. Dieser y-Anteil beträgt doch -y und y haben wir durch [mm] 2t^2 [/mm] parametrisiert. Damit bekomme ich
$$ W = [mm] \int_0^1 [/mm] (3 t [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] t^2 [/mm] - 2 [mm] t^2 \cdot [/mm] 4t ) [mm] \, [/mm] dt $$
Viele Grüße,
Infinit
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> Hallo unk.
> bei der Bestimmung des y-Anteils des Integrals ist etwas
> schiefgegangen. Dieser y-Anteil beträgt doch -y und y
> haben wir durch [mm]2t^2[/mm] parametrisiert. Damit bekomme ich
> [mm]W = \int_0^1 (3 t \cdot 2 t^2 - 2 t^2 \cdot 4t ) \, dt[/mm]
>
> Viele Grüße,
> Infinit
Heyho!
Tut mir Leid, ich komme mit der Parametrisierung [mm] K(t):=\vektor{t \\ 2*t^{2} \\ 0} [/mm] auch auf das Ergebnis von unk...
Ich kann dir überhaupt nicht folgen... Was ist mit der y-Komponente?
Zu c):
Kann man da nicht einfach über die x-Achse integrieren, von R bis [mm] \infty? [/mm] Da steht ja auch garnicht bei, was R eigentlich ist und bis wohin man das integrieren soll, das sind ja keine Punkte...
Ich hab jetzt gedacht, dass damit vielleicht (R,0,0) und [mm] "(\infty,0,0)" [/mm] gemeint sein könnten...
Sei [mm] r(t):=\vektor{ t \\ 0 \\ 0 } [/mm]
[mm] \Rightarrow F(r(t))=\vektor{\bruch{m*g*R^{2}}{t^2} \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow W=\integral_{R}^{\infty}{\bruch{m*g*R^{2}}{t^{2}}}=m*g*R
[/mm]
Allerdings erscheint mir das Ergebnis ein bisschen komisch...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Mo 07.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Warum ist das Ergebnis "komisch" ich würd einfach über r statt x integrieren, aber das Ergebnis ist richtig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Mo 07.06.2010 | | Autor: | Unk |
Entschuldigun, ich hatte mich bei dem Kraftfeld verschrieben: Es soll so aussehen: [mm] \vec{F}=3xy\vec{e}_x-y^2\vec{e}_y.
[/mm]
Ist mein Ergebnis damit richtiger? Oder noch falscher, also muss man was anders rechnen, sodass was positives rauskommt?
Gruß Unk
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Mo 07.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Damit ist dein Ergebnis richtig. natürlich kann ne Arbeit auch negativ sein!
Gruss leduart
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