Linienintegral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral der Funktion [mm]f(x) = \frac{e^{iz}}{z}[/mm] längs der in der Abbildung dargestellten geschlossenen Kurve.
Führen Sie die Grenzübergänge [mm]\epsilon \to 0[/mm] und [mm]R \to \infty[/mm] durch und zeigen Sie auf diese Weise [mm]\int\limits_0^{\infty} \frac{ \sin (x)}{x} dx = \frac{\pi}{2}[/mm].
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Ich bin ehrlich gesagt ein wenig ratlos. Wir knüppeln gerade komplexe Integration in den physikalischen Rechenmethoden durch, und hatten für komplexe Infinitesimalrechnung jetzt drei Zeitstunden - wirklich mitgekommen ist niemand.
Ich hatte erst überlegt, die Kurve aufzuteilen, in die beiden Geraden und Halbkreise, und dann entweder entsprechend nur den Realteil zu betrachten oder die Kurve passend zu parametrisieren.
Dann scheitert es jedoch am Integral, welches offenbar nicht elementar lösbar ist.
Sachdienliche Hinweise bitte nicht an die nächste Polizeidienststelle, sondern direkt an mich ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 Mo 23.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechnen Sie das Integral der Funktion [mm]f(x) = \frac{e^{iz}}{z}[/mm]
> längs der in der Abbildung dargestellten geschlossenen
> Kurve.
>
> Führen Sie die Grenzübergänge [mm]\epsilon \to 0[/mm] und [mm]R \to \infty[/mm]
> durch und zeigen Sie auf diese Weise [mm]\int\limits_0^{\infty} \frac{ \sin (x)}{x} dx = \frac{\pi}{2}[/mm].
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Ich bin ehrlich gesagt ein wenig ratlos. Wir knüppeln
> gerade komplexe Integration in den physikalischen
> Rechenmethoden durch, und hatten für komplexe
> Infinitesimalrechnung jetzt drei Zeitstunden - wirklich
> mitgekommen ist niemand.
> Ich hatte erst überlegt, die Kurve aufzuteilen, in die
> beiden Geraden und Halbkreise, und dann entweder
> entsprechend nur den Realteil zu betrachten oder die Kurve
> passend zu parametrisieren.
> Dann scheitert es jedoch am Integral, welches offenbar
> nicht elementar lösbar ist.
Aufteilen ist eine gute Idee, aber nur die halbe Miete. Der Trick bei der Sache ist, einmal das Integral von [mm] $\frac{e^{iz}}{z}$ [/mm] über den gesamten Weg mit Mitteln der komplexen Analysis zu berechnen, und andererseits in vier Integrale über die einzelnen Wegstücke aufzuteilen. Beide Ausdrücke müssen gleich sein.
Also: berechne erst einmal das komplexe Integral. Dann teilst du auf und parametrisierst, allerdings ohne die Integrale auszurechnen. Was passiert, wenn du dann die beiden Grenzübergänge [mm]\epsilon \to 0[/mm] und [mm]R \to \infty[/mm] machst?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Erst einmal vielen Dank für deine Hilfe!
Ich bin mir noch nicht sicher, ob ich das ganz verstehe. Ich habe nochmal eine selbst erstellte Skizze angehängt (jetzt unnötig, da die Skizze in Beitrag 1 freigeschaltet wurde):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Weg wird dabei im mathematisch positiven Sinne durchlaufen.
Innerhalb des Weges liegen ja keine Pole der Funktion (der ist ja bei z=0), also müsste das Integral doch nach Cauchy 0 sein?
Aufgeteilt käme man dann ja auf
[mm]\oint f(z) dz = 0 = \int\limits_{-R}^{-\epsilon } \frac{e^{ix}}{x} dx + \int\limits_{\pi }^{0} \frac{e^{i\epsilon e^{i\phi }}}{\epsilon e^{i\phi }} d\phi + \int\limits_{\epsilon }^{R} \frac{e^{ix}}{x} dx + \int\limits_{0}^{\pi} \frac{e^{iRe^{i\phi }}}{Re^{i\phi }} d\phi[/mm]
Doch für [mm]\epsilon \to 0[/mm] nähert man sich beim zweiten Integral ja immer näher der Singularität an. Muss man das beachten?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Mo 23.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Erst einmal vielen Dank für deine Hilfe!
>
> Ich bin mir noch nicht sicher, ob ich das ganz verstehe.
> Ich habe nochmal eine selbst erstellte Skizze angehängt
> (jetzt unnötig, da die Skizze in Beitrag 1 freigeschaltet
> wurde):
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Der Weg wird dabei im mathematisch positiven Sinne
> durchlaufen.
> Innerhalb des Weges liegen ja keine Pole der Funktion (der
> ist ja bei z=0), also müsste das Integral doch nach Cauchy
> 0 sein?
> Aufgeteilt käme man dann ja auf
> [mm]\oint f(z) dz = 0 = \int\limits_{-R}^{-\epsilon } \frac{e^{ix}}{x} dx + \int\limits_{\pi }^{0} \frac{e^{i\epsilon e^{i\phi }}}{\epsilon e^{i\phi }} d\phi + \int\limits_{\epsilon }^{R} \frac{e^{ix}}{x} dx + \int\limits_{0}^{\pi} \frac{e^{iRe^{i\phi }}}{Re^{i\phi }} d\phi[/mm]
Du hast bei allen Integralen die Ableitung der Kurve vergessen. Für den Weg [mm] $\gamma:[a,b]\to \IC$ [/mm] ist
[mm] \integral_\gamma f(z)dz = \integral_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t) dt [/mm].
Daher ist zum Beispiel das zweite Integral mit [mm] $\gamma(\phi) =\epsilon e^{i\phi}$:
[/mm]
[mm] \integral_{\pi }^{0} \bruch{e^{i\epsilon e^{i\phi }}}{\epsilon e^{i\phi }}* i\epsilon e^{i\phi }d\phi = i \integral_{\pi }^{0}e^{i\epsilon e^{i\phi }}d\phi [/mm] .
>
> Doch für [mm]\epsilon \to 0[/mm] nähert man sich beim zweiten
> Integral ja immer näher der Singularität an. Muss man das
> beachten?
Wie du jetzt siehst, ist dieses Integral regulär. Zur Berechnung entwickelst du am besten die äußere Exponentialfunktion in ihre Reihe.
Aber zunächst einmal schau dir den ersten und dritten Summanden an: Was fällt dir auf? (Tipp: Substituiere [mm] $x\to [/mm] -x$ im ersten Integral!)
Dann schätze den Betrag des vierten Summanden nach oben ab.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
