Linienintegral berechnen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Di 31.07.2012 | | Autor: | tinf |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Linienintegral
L = [mm] \integral_{C}^{}{y dx + z dy - x dz}
[/mm]
wobei der Integrationsweg C entlang der geraden Linie, welche die beiden Punkte P1 = (0; 1;1); und P2 = (1; 2; 1) miteinander verbindet, zu wählen ist. |
Hallo,
ich Steh grade ein wenig auf dem Schlauch was diese Aufgabe angeht.
Ich habe eine ähnliche Beispielaufgabe gelöst, diese hatte jedoch den Verbindungsweg C vorgegeben, jedoch auch nur 2D und ohne z. So konnte man nach t ableiten und diese Ausdrücke in das Linienintegral einsetzen.
Bei dieser Aufgabe bin ich nicht sicher wie ich x, y und z berechnen kann. Oder kann ich den Verbindungsweg anhand der Punkte berechnen mit x = 1; y = t+1 und z = 2t-1
dann die Ableitungen: dx = dt; dy = [mm] (0,5t^2+t)dt; [/mm] dz = [mm] (t^2-t)dt
[/mm]
und alles in das Linienintegral einsetzen:
[mm] \integral_{0}^{1}{(t+1) dx + (2t-1) dy - (1) dz}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1}{(t+1) dt + (2t-1) (0,5t^2+t) dt - (1) (t^2-t)dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1}{(t^3+0,5t^2+t+1)dt}
[/mm]
= [1/4 [mm] t^4 [/mm] +1/6 [mm] t^3 [/mm] +1/2 t +t] in den Grenzen 0 bis 1
= 23/12
Aber kann das richtig sein?? Habe leider absolut keine Kontrollmöglichkeiten. Also bedanke ich mich jetzt schon für euro Hilfe!
Grüße, tinf
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo tinf,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen Sie das Linienintegral
> L = [mm]\integral_{C}^{}{y dx + z dy - x dz}[/mm]
> wobei der
> Integrationsweg C entlang der geraden Linie, welche die
> beiden Punkte P1 = (0; 1;1); und P2 = (1; 2; 1) miteinander
> verbindet, zu wählen ist.
> Hallo,
> ich Steh grade ein wenig auf dem Schlauch was diese Aufgabe
> angeht.
> Ich habe eine ähnliche Beispielaufgabe gelöst, diese
> hatte jedoch den Verbindungsweg C vorgegeben, jedoch auch
> nur 2D und ohne z. So konnte man nach t ableiten und diese
> Ausdrücke in das Linienintegral einsetzen.
> Bei dieser Aufgabe bin ich nicht sicher wie ich x, y und z
> berechnen kann. Oder kann ich den Verbindungsweg anhand der
> Punkte berechnen mit x = 1; y = t+1 und z = 2t-1
Diese Parameterisierung ist nicht richtig.
Richtig ist: [mm]x=\red{t}; y=t+1;z=\red{1}[/mm]
> dann die Ableitungen: dx = dt; dy = [mm](0,5t^2+t)dt;[/mm] dz =
> [mm](t^2-t)dt[/mm]
> und alles in das Linienintegral einsetzen:
> [mm]\integral_{0}^{1}{(t+1) dx + (2t-1) dy - (1) dz}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{0}^{1}{(t+1) dt + (2t-1) (0,5t^2+t) dt - (1) (t^2-t)dt}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{1}{(t^3+0,5t^2+t+1)dt}[/mm]
> = [1/4 [mm]t^4[/mm] +1/6 [mm]t^3[/mm] +1/2 t +t] in den Grenzen 0 bis 1
> = 23/12
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> Aber kann das richtig sein?? Habe leider absolut keine
> Kontrollmöglichkeiten. Also bedanke ich mich jetzt schon
> für euro Hilfe!
>
> Grüße, tinf
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Di 31.07.2012 | | Autor: | tinf |
Hallo MathePower,
vielen vielen Danke für die schnelle Antwort.
Leider verstehe ich nicht warum x = t und z = 1 ist. Könntest du mir da nochmal kurz auf die Sprünge helfen?
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Eine Parametrisierung soll immer einen Weg zwischen zwei Punkten durch einen Parameter darstellen. Von welchem Punkt startest du und zu welchem Punkt möchtest du?
Die Parametrisierung soll linear sein, dass sagt uns schonmal, das t nur in der ersten Potenz vorkommen darf. Daher kein [mm] t^2 [/mm] etc.
Dann muss für jede Komponente der Weg erfüllt sein. Von wo nach wo bewegt man sich denn auf der x-Achse vom Anfangs- zum Endpunkt? Doch von 0 zu 1. Wie soll da x=1 funktionieren? Dann müsstest du ja fest bei x=1 zu jeder Zeit sein. Die Parametrisierung muss aber Anfangs- und Endpunkt für $t=[0,1]$ beinhalten.
Mit diesen Tipps solltest du leicht auf MathePowers Parametrisierung kommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 Di 31.07.2012 | | Autor: | tinf |
Ja, x = t macht natürlich Sinn.
Beim Kopieren der Aufgabe ist mir ein Minus-Zeichen verloren gegangen. Sorry! Die beiden Punkte waren P1 = (0; 1; -1); und P2 = (1; 2; 1). Dann müsste auch hoffendlich z = 2t-1 stimmen.
Aber ich denke ich habe es nun verstanden. :)
Danke für Eure Hilfe!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 Di 31.07.2012 | | Autor: | Adamantin |
> Ja, x = t macht natürlich Sinn.
> Beim Kopieren der Aufgabe ist mir ein Minus-Zeichen
> verloren gegangen. Sorry! Die beiden Punkte waren P1 = (0;
> 1; -1); und P2 = (1; 2; 1). Dann müsste auch hoffendlich z
> = 2t-1 stimmen.
> Aber ich denke ich habe es nun verstanden. :)
>
> Danke für Eure Hilfe!!
Jop, dann ist die Parametrisierung:
[mm] $w(t)=\vektor{t \\ t+1 \\ 2t-1}, [/mm] t=[0,1]$
richtig
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